高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省大連市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)、是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，集合，則，有.故選：C.2.為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田．這n塊地的畝產(chǎn)量（單位：kg）分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來(lái)評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是（）A.x1，x2，…，xn的平均數(shù) B.x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差C.x1，x2，…，xn的最大值 D.x1，x2，…，xn的中位數(shù)【答案】B【解析】評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的指標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)差或方差.故選：B.3.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，可得：，若，則，則“”是“”的充分必要條件.故選：C.4.若向量，且，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.－2 B.－ C.1 D.－2或1【答案】D【解析】因?yàn)橄蛄?，且，所以，解得m=－2或1，故A，B，C錯(cuò)誤.故選：D.5.用二分法研究函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)過(guò)計(jì)算得，，則零點(diǎn)所在的區(qū)間和第二次應(yīng)計(jì)算的函數(shù)值分別為（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以零點(diǎn)所在的區(qū)間，再計(jì)算的符號(hào).故選：C.6.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象（）A.關(guān)于直線對(duì)稱 B.關(guān)于y軸對(duì)稱C.關(guān)于x軸對(duì)稱 D.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱【答案】A【解析】的反函數(shù)滿足，化簡(jiǎn)可得，所以，因?yàn)榉春瘮?shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，即與關(guān)于直線對(duì)稱.故選：A.7.已知平行四邊形ABCD，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F滿足，則等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由于，，，由于點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，所以，，，故.故選：B.8.已知函數(shù)定義域?yàn)?，，?duì)任意的，，當(dāng)時(shí)，有.若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知，當(dāng)時(shí)，有，即，即，令，則當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，可得，即，所以，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某商場(chǎng)組織了一次幸運(yùn)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，袋中裝有標(biāo)號(hào)分別為1~8的8個(gè)大小形狀相同的小球，現(xiàn)抽獎(jiǎng)?wù)邚闹谐槿?個(gè)小球.事件“取出的小球編號(hào)為奇數(shù)”，事件“取出的小球編號(hào)為偶數(shù)”，事件“取出的小球編號(hào)小于6”，事件“取出的小球編號(hào)大于6”，則下列結(jié)論正確的是（）A.A與B互斥 B.A與B相互對(duì)立C.C與D相互對(duì)立 D.B與D相互獨(dú)立【答案】ABD【解析】抽獎(jiǎng)?wù)邚闹腥稳∫粋€(gè)球的樣本空間為，事件，事件，事件，事件，且，則與互斥，且與互為對(duì)立事件，AB正確；且真包含于，事件C與D不相互對(duì)立，C錯(cuò)誤；，，事件B與D相互獨(dú)立，D正確.故選：ABD.10.下列關(guān)于向量說(shuō)法，正確的是（）A.若，，則B.在△ABC中，若，則△AOC與△ABC的面積之比為C.兩個(gè)非零向量，，若，則與共線且反向D.若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得【答案】BC【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量都平行，所以，成立，而此時(shí)不一定平行，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)?，所以，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則，所以，所以點(diǎn)到的距離等于點(diǎn)到的距離的3倍，所以△AOC與△ABC的面積之比為，所以B正確，對(duì)于C，由，得，化簡(jiǎn)得，所以，所以與的夾角為，所以與共線且反向，所以C正確，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，不存在唯一實(shí)數(shù)使得，所以D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知若方程有四個(gè)不同的解，，，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】作出函數(shù)的圖象，如下圖所示：方程有四個(gè)不同的解，則，，故A錯(cuò)誤，C正確；，所以，故B正確；設(shè)，所以，因?yàn)?，所以，則，則的取值范圍為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.為了快速了解某學(xué)校學(xué)生體重（單位：kg）的大致情況，隨機(jī)抽取了10名學(xué)生稱重，得到的數(shù)據(jù)整理成莖葉圖如圖所示，估計(jì)這個(gè)學(xué)校學(xué)生體重的40%分位數(shù)為_(kāi)_______kg.【答案】48【解析】這10個(gè)數(shù)從小到大依次45，46，46，47，49，49，51，58，59，60，因?yàn)?，所以這10個(gè)數(shù)的40%分位數(shù)為，所以這個(gè)學(xué)校學(xué)生體重的40%分位數(shù)約為48kg.13.冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則________.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，符合題意.14.不等式的解集為_(kāi)_______.【答案】【解析】原不等式等價(jià)于，令，則，所以，因?yàn)?，和在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以原不等式的解集為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)（其中a為常數(shù)）是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù).（1）求的解析式，并直接寫出的單調(diào)區(qū)間和最小值；（2）解不等式.解：（1）因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以對(duì)，都有，即，整理得，所以，，令，則，由可得，所以，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，結(jié)合奇偶性可得的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是，的最小值是.（2）因?yàn)槭桥己瘮?shù)，且在是增函數(shù)，所以等價(jià)于，解得：，所以不等式的解集是.16.甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為．（1）分別求甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率；（2）從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，求至少有一個(gè)一等品的概率．解：（1）設(shè)A、B、C分別為甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件，由題設(shè)條件有即解得，，．即甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工零件是一等品的概率分別是，，.（2）記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)至少有一個(gè)一等品的事件，則．故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，至少有一個(gè)一等品的概率為．17.如圖，在中，.（1）若E是BD的中點(diǎn)，試用和表示；（2）若G是AD上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)G的直線交AB于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)H.若，，其中，均為正實(shí)數(shù)，求的最小值.解：（1）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)镋是BD的中點(diǎn)，所以.（2）由，，得，，因?yàn)?，，所以，因?yàn)镕，G，H三點(diǎn)共線，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.18.某公司生產(chǎn)A、B兩種型號(hào)電動(dòng)汽車電機(jī)，為了了解電機(jī)的某項(xiàng)指標(biāo)，從這兩種電機(jī)中各抽取100臺(tái)進(jìn)行檢測(cè)，獲得該項(xiàng)指標(biāo)的頻率分布直方圖，如圖所示：假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以樣本估計(jì)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.（1）估計(jì)B型電機(jī)該項(xiàng)指標(biāo)的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值為代表）；（2）從A型電機(jī)指標(biāo)在內(nèi)采用分層抽樣方式抽取2件，B型電機(jī)指標(biāo)在內(nèi)采用分層抽樣方式抽取4件，再?gòu)倪@6件中任意抽取2件，求指標(biāo)在和內(nèi)各抽取1件的概率；（3）根據(jù)檢測(cè)結(jié)果確定該項(xiàng)指標(biāo)的一個(gè)臨界值m，且，某汽車廠準(zhǔn)備用A、B兩種型號(hào)電機(jī)生產(chǎn)C牌和D牌汽車各1萬(wàn)輛，有以下兩種方案可供選擇：方案一：將A型電機(jī)用于生產(chǎn)C牌汽車，其中該指標(biāo)小于等于臨界值m的電機(jī)會(huì)導(dǎo)致每臺(tái)汽車損失7000元；將B型電機(jī)用于生產(chǎn)D牌汽車，其中該指標(biāo)大于等于臨界值m的電機(jī)會(huì)導(dǎo)致每臺(tái)汽車損失3000元；方案二：重新檢測(cè)所用的電機(jī)，會(huì)避免方案一的損失費(fèi)用，但檢測(cè)費(fèi)用共需1010萬(wàn)元.請(qǐng)從汽車廠節(jié)約成本的角度考慮，選擇合理的方案，并說(shuō)明理由.解：（1）由頻率分布直方圖得B型電機(jī)該項(xiàng)指標(biāo)的平均值為：.（2）根據(jù)分層抽樣得，來(lái)自A型電機(jī)指標(biāo)在和的各1臺(tái)，分別記為x，y，來(lái)自B型電機(jī)指標(biāo)在和分別為3臺(tái)和1臺(tái)，分別記為，，和p.從中任意抽取兩件，樣本空間可記為，共15個(gè)樣本點(diǎn)，記事件M：指標(biāo)在和內(nèi)各抽取1件，則共含3個(gè)樣本點(diǎn)，所以.（3）設(shè)將A、B兩種型號(hào)電機(jī)應(yīng)用C牌、D牌汽車時(shí)，該汽車廠損失y（萬(wàn)元），，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.綜上所述，當(dāng)臨界值時(shí)，選擇方案二；當(dāng)臨界值時(shí)，選擇方案一或二都行；當(dāng)臨界值時(shí)，選擇方案一.19.兩個(gè)定義域相同的函數(shù)和，存在實(shí)數(shù)m，n，使，則稱為和的函數(shù).（1）函數(shù)為和的函數(shù)，且.判斷函數(shù)的圖象是否有對(duì)稱中心，并說(shuō)明理由.（2）函數(shù)為和的函數(shù)，且.①判斷單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；②證明：函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，，且.解：（1），因?yàn)?，所以，有?duì)稱中心，理由如下：的定義域?yàn)?，且，都有，，所以的圖象關(guān)于中心對(duì)稱.（2），因?yàn)椋?/p>