高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省新余市2025屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題；本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，則；由，得，則，所以.故選：B2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（其中i為虛數(shù)單位），則z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限【答案】D【解析】由，得，故在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第一象限，故選：．3.已知直線與直線平行，則m的值為（）A.3 B. C.3或 D.3或4【答案】B【解析】由題設(shè)，，可得或，當(dāng)時(shí)，、平行，符合題設(shè)；當(dāng)時(shí)，、重合，不合題設(shè)；∴.故選：B.4.設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由得，故是遞增數(shù)列，反之也成立，所以為充要條件．選C．5.已知拋物線恰好經(jīng)過(guò)圓的圓心，則拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由圓的方程可得圓心，拋物線恰好經(jīng)過(guò)圓心M，，解得，拋物線C的方程為，拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：D.6.已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集是A. B. C. D.【答案】A【解析】由，求得，故函數(shù)的定義域?yàn)椋俑鶕?jù)函數(shù)滿足，可得函數(shù)為奇函數(shù)，故關(guān)于的不等式，即．再由函數(shù)、在的定義域上單調(diào)遞增，可得函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞增，可得，解得，故選：A．7.已知球與圓臺(tái)的上下底面和側(cè)面都相切．若圓臺(tái)的側(cè)面積為；上、下底面的面積之比為，則球的表面積為（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】依據(jù)題意，球內(nèi)切與圓臺(tái)，畫(huà)出兩者的軸截面，球的截面為圓，圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，設(shè)球的半徑為，則，設(shè)圓臺(tái)的母線為，即，上、下底面的面積之比為，即，，由圓的切線長(zhǎng)定理可知，，圓臺(tái)的側(cè)面積為，解得，則，即，則球的表面積.故選：A.8.若對(duì)任意的，不等式恒成立，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，對(duì)任意恒成立，即，令，，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，即，，又由切線放縮可知，，，即，所以的最大值為.故選：A.二、多選題；本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某農(nóng)科院研制出了一種防治玉米病蟲(chóng)害的新藥．為了解該藥的防治效果，科研人員選用了100粒玉米種子（其中一部分用該藥做了處理）進(jìn)行試驗(yàn)，從中任選1粒，發(fā)現(xiàn)此粒種子抗病蟲(chóng)害的概率為0.8．未填寫(xiě)完整的列聯(lián)表如下，則（）抗病蟲(chóng)害不抗病蟲(chóng)害合計(jì)種子經(jīng)過(guò)該藥處理60種子未經(jīng)過(guò)該藥處理14合計(jì)100附：．0.10.010.0050.0012.7066.635787910.828A.這100粒玉米種子中經(jīng)過(guò)該藥處理且不抗病蟲(chóng)害的有6粒B.這100粒玉米種子中抗病蟲(chóng)害的有84粒C.的觀測(cè)值約為13.428D.根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為該新藥有效【答案】AD【解析】由題可將列聯(lián)表補(bǔ)充完整如下：抗病蟲(chóng)害抗病蟲(chóng)害不抗病蟲(chóng)害合計(jì)種子經(jīng)過(guò)該藥處理60666種子未經(jīng)過(guò)該藥處理201434合計(jì)8020100由上表可知A正確，B錯(cuò)誤；由表可知，因此根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為該新藥有效，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD10.已知遞增數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且其前項(xiàng)和為，則（）A.存在公差為1的等差數(shù)列，使得B.存在公比為2的等比數(shù)列，使得C.若，則D.若，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A，設(shè)公差為的等差數(shù)列的首項(xiàng)為，．根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得．若，則，解得，所以不存在這樣的等差數(shù)列，A選項(xiàng)錯(cuò)誤．

對(duì)于B，設(shè)公比為的等比數(shù)列的首項(xiàng)為，．根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可得．若，則，解得，所以存在這樣的等比數(shù)列，B選項(xiàng)正確．

對(duì)于C，已知，因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列且各項(xiàng)均為正整數(shù)．要使盡可能大，則前面的項(xiàng)要盡可能小，設(shè)，，，，，．則．由，可得，即，解得．所以，所以成立，C選項(xiàng)正確．

對(duì)于D，同樣因?yàn)?，要使盡可能小，則前面的項(xiàng)要盡可能小，設(shè)，，，，．由前面計(jì)算可知，解得，所以，所以成立，D選項(xiàng)正確．故選：BCD11.已知，，，，，，記．當(dāng)，，，，中含個(gè)6時(shí)，所有不同值的個(gè)數(shù)記為．下列說(shuō)法正確的有（）A.若，則B.若，則C.對(duì)于任意奇數(shù)D.對(duì)于任意整數(shù)【答案】AC【解析】當(dāng)，，故，A正確；當(dāng)，，，當(dāng)時(shí)，，解得，B錯(cuò)誤；，設(shè)，，則，于，C正確；因?yàn)?，?gòu)造二項(xiàng)分布，則，因此，D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題；本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知點(diǎn)是橢圓：上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為_(kāi)____.【答案】【解析】由題意得，且所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，故答案為：13.函數(shù)=的最小值為_(kāi)________．【答案】【解析】由函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值.14.已知正四面體的棱長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)P滿足，用所有這樣的點(diǎn)P構(gòu)成的平面截正四面體，則所得截面的面積為_(kāi)_______.【答案】【解析】建立正四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)四個(gè)頂點(diǎn)為，每條棱長(zhǎng)均為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，，，，，，，因?yàn)?，所以，即所有滿足條件的點(diǎn)構(gòu)成的平面為平面（平面），而為正方體的頂點(diǎn)（如圖所示），且該正方體的中心為原點(diǎn)，由對(duì)稱性可得棱交于，棱交于，棱交于，棱交于，截面四邊形的頂點(diǎn)為，在平面上形成一個(gè)菨形，其對(duì)角線的長(zhǎng)度為，故面積為2.故答案為：.四、解答題；本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.某人工智能研究實(shí)驗(yàn)室開(kāi)發(fā)出一款全新聊天機(jī)器人，它能夠通過(guò)學(xué)習(xí)和理解人類的語(yǔ)言來(lái)進(jìn)行對(duì)話．聊天機(jī)器人的開(kāi)發(fā)主要采用（人類反饋強(qiáng)化學(xué)習(xí)）技術(shù)，在測(cè)試它時(shí)，如果輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤，則它的回答被采納的概率為80%，當(dāng)出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤時(shí)，它的回答被采納的概率為40%．（1）在某次測(cè)試中輸入了8個(gè)問(wèn)題，聊天機(jī)器人的回答有5個(gè)被采納，現(xiàn)從這8個(gè)問(wèn)題中抽取4個(gè)，以X表示抽取的問(wèn)題中回答被采納的問(wèn)題個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)輸入問(wèn)題出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率為p，若聊天機(jī)器人的回答被采納的概率為70%，求p的值．解：（1）由題可知X的所有取值為1，2，3，4，，，，，故X的分布列為：X1234P則．（2）記“輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤”為事件A，記“輸入的問(wèn)題有語(yǔ)法錯(cuò)誤”為事件B，記“回答被采納”為事件C，由已知得，，，，，，所以由全概率公式得，解得．16.在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架，的邊長(zhǎng)都是1，且它們所在平面互相垂直，活動(dòng)彈子分別在正方形對(duì)角線和上移動(dòng)，且和的長(zhǎng)度保持相等，記，活動(dòng)彈子在上移動(dòng).（1）求證：直線平面；（2）為上的點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值的最大值.（1）證明：在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，由，得，而，，則，，，于是，又，則，而平面，，平面，因此平面，同理平面，又平面，平面，，則平面平面，而平面，所以直線平面.（2）由平面平面，平面平面，，平面，得平面，又，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，，，，設(shè)是平面的法向量，則，取，得，設(shè)與平面所成的角為，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則，因此，，所以與平面所成角的正弦值的最大值為.17.已知點(diǎn)分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，.（1）求雙曲線的離心率；（2）過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)向該雙曲線的一條漸近線作垂線，垂足為，若的面積為，求該雙曲線的方程；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)分別為雙曲線的左?右頂點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在一條定直線上.（1）解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)，所以，所以，即，所以，即，所以，即，解得（舍去.（2）解：由（1）可得，，所以可設(shè)，計(jì)算可得，點(diǎn)，該雙曲線的一條漸近線的方程為，即，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得，又，所以，可得，所以因此，可得該雙曲線的方程為.（3）證明：由（2）可知，，設(shè)，則直線，直線，聯(lián)立兩式相除可得，所以，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，不滿足題意，所以設(shè)直線，則，代入可得，聯(lián)立整理得，所以所以，則，注意到，所以，解得，所以點(diǎn)在直線上.18.已知函數(shù).（1）若，求在處的切線方程；（2）設(shè)函數(shù)，討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（3）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，證明：.（1）解：當(dāng)時(shí)，，則，所以，，所以切線方程為；，即.（2）解：由，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3）證明：由（2）知若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則，且gx由過(guò)原點(diǎn)的切線方程為，則，則，即，所以，，∴在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，，且時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.∴，是的兩個(gè)極值點(diǎn).fx且，∴-ln而，∴，令φt=t所以在上單調(diào)遞增，故，所以，令t=x2可得，即，即，，.19.如圖，已知給定線段長(zhǎng)為2，以為底邊作頂角為的等腰三角形，取的腰的三等分點(diǎn)，（靠近），以為底邊向外部作頂角為的等腰三角形……依次類推，取的腰的三等分點(diǎn)，（靠近），以為底邊向外部作頂角為的等腰三角形，得到三角形列.（1）用表示出的外接圓半徑；（2）當(dāng)時(shí)，證明：各頂點(diǎn)均在外接圓上或其內(nèi)部；（3）若各頂點(diǎn)均在外接圓上或其內(nèi)部，求的取值范圍.（1）解：設(shè)的外接圓半徑為，由題意知，，，又，故.故的外接圓半徑為.（2）證明：設(shè)的外心為，外接圓半徑為，的中點(diǎn)為，，則，，.注意到的中點(diǎn)也為，故的中