2025屆高考數(shù)學(xué)模擬試題（卷）（四）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，，則（）A.B.C. D.【答案】A【解析】由，則，所以，所以，又，所以，則，.故選：A．2．若復(fù)數(shù)滿足，其共軛復(fù)數(shù)為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限B.C.的虛部為D.【答案】B【解析】由兩邊乘以得，，所以對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限，的虛部為，，，所以B選項(xiàng)正確，ACD選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B3．已知，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【解析】由于，那么，，則，故選：C．4．已知向量滿足與垂直，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．3【答案】C【詳解】由與垂直，得，則，所以1，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為故選：C5．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，把展開(kāi)式中的項(xiàng)重新排列，則有理項(xiàng)互不相鄰的排法種數(shù)為（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，令，得，所以展開(kāi)式中的有理項(xiàng)有項(xiàng)，把展開(kāi)式中的項(xiàng)重新排列，先把項(xiàng)無(wú)理項(xiàng)全排列，再把項(xiàng)有理項(xiàng)插入形成的個(gè)空中，所以有理項(xiàng)互不相鄰的排法種數(shù)為種.故選：D.6．已知函數(shù)（，），，，且在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值為(

).A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意知，，則，因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)，所以，解得，則的最大值為.故選：B.7．如圖所示，直三棱柱是一塊石材，測(cè)量得，，，．若將該石材切削、打磨，加工成幾個(gè)大小相同的健身手球，則一個(gè)加工所得的健身手球的最大體積及此時(shí)加工成的健身手球的個(gè)數(shù)分別為（

）A．，3 B．，3 C．，4 D．，4【答案】A【解析】中，，，.則斜邊的長(zhǎng)度為.當(dāng)健身手球與直三棱柱的三個(gè)側(cè)面均相切時(shí)，健身手球的體積最大．易知，設(shè)健身手球的半徑為，則，解得．則健身手球的最大直徑為4．一個(gè)健身手球的最大體積.直三棱柱的高，則由，說(shuō)明直三棱柱的高最多能容納個(gè)球的直徑長(zhǎng)度，故加工成的健身手球的個(gè)數(shù)為.故選：D.8．已知函數(shù)（不恒為零），其中為的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)于任意的，，滿足，且，，則（

）A．B．是偶函數(shù)C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．【答案】D【詳解】A選項(xiàng)：由，令，則，即，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：令，可知，又不恒為，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，令，則，即，即，又，則，所以，所以為奇函數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：由B選項(xiàng)可知，兩邊同時(shí)求導(dǎo)可知，即函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，所以函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：由B選項(xiàng)可知，即函數(shù)的一個(gè)周期，由上述分析和已知條件，，所以，D選項(xiàng)正確；故選：D.二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．某農(nóng)業(yè)研究所為了解種植新品種玉米的畝產(chǎn)量情況，從某地區(qū)隨機(jī)抽查100畝種植新品種玉米的畝產(chǎn)量（單位：kg），整理出如下統(tǒng)計(jì)表：畝產(chǎn)量頻數(shù)102020155已知這100畝的畝產(chǎn)量均在內(nèi)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．這100畝種植新品種玉米的畝產(chǎn)量的極差介于400kg至600kg之間B．這100畝種植新品種玉米的畝產(chǎn)量的中位數(shù)大于1100kgC．估計(jì)該地區(qū)種植新品種玉米的畝產(chǎn)量不低于1000kg的占比為D．估計(jì)該地區(qū)種植新品種玉米的畝產(chǎn)量的平均值介于1150kg至1200kg之間【答案】AC【詳解】由表中數(shù)據(jù)可知，這100畝種植新品種玉米的畝產(chǎn)量的極差小于等于，大于，故A正確；由表可知，，所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1100kg，故B錯(cuò)誤；估計(jì)該地區(qū)種植新品種玉米畝的產(chǎn)量不低于1000kg的占比為，故C正確；根據(jù)表中數(shù)據(jù)，畝產(chǎn)量在的有，估計(jì)該地區(qū)種植新品種玉米的畝產(chǎn)量的平均數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在底面內(nèi)部（包含邊界）.則下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．當(dāng)點(diǎn)在棱上移動(dòng)時(shí)，總存在點(diǎn)，使得成立B．當(dāng)點(diǎn)在棱上移動(dòng)時(shí)，存在點(diǎn)和，使得成立C．三棱錐體積的最大值是D．的最小值是【答案】ACD【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，則有，設(shè)，則，則，對(duì)于A，若，則，解得，所以當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，滿足題意，故A正確；對(duì)于B，若，則，且，，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，點(diǎn)在棱上時(shí)，的面積最大，此時(shí)，，故C正確；對(duì)于D，在平面內(nèi)作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接,則有，三點(diǎn)共線.由于平面，平面，則，故只需三點(diǎn)共線且時(shí)，取最小值.由于平面，這樣可使平面，又平面，從而，此時(shí)取最小值，由，,則，則，故D正確.故選：ACD.11．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則（）A.當(dāng)時(shí)， B.C.數(shù)列單調(diào)遞增，單調(diào)遞減 D.當(dāng)時(shí)，恒有11.【答案】ACD【解析】由題意可得：，，由可知：，但，可知對(duì)任意的，都有，對(duì)于選項(xiàng)A：若，則，即，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：，即，故B錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋?，則，且，可知是等比數(shù)列，則，設(shè)，，可得，，因?yàn)?，可知為遞增數(shù)列，所以數(shù)列單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，，由，可得，即，則，即；由，可得，即，則，即；以此類推，可得對(duì)任意的，都有，又因?yàn)?，則，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則．【答案】【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，，所以，即，所以數(shù)列的公差，所以，故答案為：13．一組從小到大排列的數(shù)據(jù)：，若刪去前后它們的百分位數(shù)相同，則．【答案】【詳解】原來(lái)有10個(gè)數(shù)據(jù)，，原來(lái)第百分位數(shù)為，刪去后有9個(gè)數(shù)據(jù)，，則第百分位數(shù)，依題意可得，解得．故答案為：14．2025春節(jié)檔國(guó)產(chǎn)影片《哪吒之魔童鬧海》接連破全球票房記錄，影片中哪吒與敖丙是不可分割的二人組，其中敖丙的武器“盤(pán)龍冰錘”相撞后形成了如圖所示的曲線，可以用來(lái)表示數(shù)學(xué)上特殊的曲線.如圖所示的曲線C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，C上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之積為定值.當(dāng)時(shí)，C上第一象限內(nèi)的點(diǎn)P滿足的面積為，則.【答案】【詳解】因?yàn)樵c(diǎn)在上，所以上的點(diǎn)到的距離之積為，設(shè)為C上任意一點(diǎn)，此時(shí)，整理得，因?yàn)榈拿娣e，所以，所以點(diǎn)是曲線C：與以為直徑的圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，聯(lián)立，解得，所以故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．（13分）已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，滿足，且，，成等比數(shù)列.（1）求；（2）若，求.【解】（1）由正弦定理及，得，（2分）即，（4分）由余弦定理得，所以，（5分）因?yàn)?,成等比數(shù)列，所以，（6分）所以.（7分）（2）因?yàn)?，整理得，?分）因?yàn)椋?，所以，?0分）代入得，（12分）則根據(jù)正弦定理有.（13分）16．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)增區(qū)間；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先求得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求解即可；（2）首先根據(jù)導(dǎo)數(shù)得出在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則，再構(gòu)造函數(shù)說(shuō)明，再用作差法及基本不等式得出即可證明．【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，則，解得，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，故的單調(diào)增區(qū)間為．（2）由，解得，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增；故，設(shè)，則，解得，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以，即，所以，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，得證．16．（15分）已知拋物線與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6．（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，證明：直線必過(guò)定點(diǎn)．【解析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，（1分）雙曲線的漸近線方程為，（2分）因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的漸近線上，所以，（3分）所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，（4分）又點(diǎn)在拋物線上，所以，所以，（5分）故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（6分）（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消得，，（8分）方程的判別式，即，（9分）設(shè)，則，（10分）設(shè)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，（11分）則直線的方程為，（12分）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知定點(diǎn)必定在軸上，令得：（13分）．（14分）直線過(guò)定點(diǎn)．（15分）18．（17分）如圖，三棱柱中，側(cè)面與底面垂直，且，，為側(cè)棱的中點(diǎn)，三棱錐的體積為.（1）求三棱柱的高；（2）已知點(diǎn)在上，且，若平面，求實(shí)數(shù)的值；（3）若，求平面與平面的夾角的余弦值.【解析】（1）因?yàn)槠矫?，所以，又，所以，?分）在中，，，所以，（2分）所以，所以，（3分）設(shè)三棱柱的高為，則，解得；（4分）（2）設(shè)的中點(diǎn)為，連接、，因?yàn)榍?，所以四邊形為平行四邊形，?分）所以，又平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，平面，?分）所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，（7分）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，所以，即；（8分）（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，因?yàn)閭?cè)面與底面垂直，側(cè)面底面，所以平面，（9分）因?yàn)榍?，所以，又，平面，所以平面，?0分）又平面，所以，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)槠矫?，所以，，則，，，，因?yàn)椋瑒t，所以，則，又，，（11分）設(shè)平面的法向量為，則，取，（12分）又，設(shè)平面的法向量為，則，取，（13分）設(shè)平面與平面的夾角為，則，（14分）所以平面與平面的夾角的余弦值為.（15分）19．（17分）2025年冰雪節(jié)來(lái)臨之際，搭建冰雕主題樂(lè)園需要大量的冰塊，A，B，C三個(gè)工程隊(duì)負(fù)責(zé)從冰凍的江中采出尺寸相同的冰塊.在雕刻的過(guò)程中，有時(shí)會(huì)導(dǎo)致冰塊碎裂，且一旦有裂痕冰塊就不能使用了.A，B，C三個(gè)工程隊(duì)所采冰塊總數(shù)之比為6：7：5，冰塊利用率即所使用冰塊數(shù)占所采冰塊總數(shù)的比例分別為0.8，0.6，0.6.在計(jì)算以上數(shù)值的過(guò)程中忽略了少量冰塊對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，這種思路可用于整個(gè)問(wèn)題求解的過(guò)程中.現(xiàn)在從三個(gè)工程隊(duì)采出的所有冰塊中隨機(jī)抽取冰塊，用頻率估計(jì)概率.（1）若只取1塊，求它是由B隊(duì)所采的概率；（2）若抽取2塊，其中由A隊(duì)采出的冰塊數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）假設(shè)每年使用的冰塊數(shù)一樣多，已知往年任意一塊冰被利用的概率為0.65，那么能否判斷今年冰塊的利用率有顯著提升？你有什么好的建議？【解析】（1）由題意知，冰塊之間是沒(méi)有差異的，所以，從三個(gè)工程隊(duì)采出的所有冰塊中隨機(jī)抽取一塊抽到每一塊冰的可能性可以看作是相等的.因?yàn)锳，B，C三個(gè)工程隊(duì)所采冰塊總量之比為6：7：5，（2分）所以若只取1塊，它是B隊(duì)所采的概率為.（3分）（2）據(jù)題意知在計(jì)算過(guò)程中可以忽略少量冰塊對(duì)計(jì)算結(jié)果影響，即可以將“從三個(gè)工程隊(duì)采出的所有冰塊中隨機(jī)抽取”看作是有放回的抽取.設(shè)事件A，B，C分別表示隨機(jī)抽取的一塊冰是由A，B，C二個(gè)隊(duì)分別采回的，（4分）與（1）同理可求得若只取1塊