14.3.1角平分線的性質人教版八年級上冊教材分析角平分線的性質是在學習了“全等三角形的性質和判定”后，通過一些實際問題討論角的平分線的性質．教材中通過實際問題來引入本節(jié)內容，這樣設計是能更好的體現(xiàn)角的平分線的實際背景，反映數(shù)學與實際的關系，即數(shù)學理論來源于實際又服務于實際．通過本節(jié)的學習可以為后繼研究幾何圖形打下良好的鋪墊．同時，可以鍛煉學生的觀察、分析、歸納能力，培養(yǎng)學生的探究精神和創(chuàng)新意識。教學目標1.會用尺規(guī)作圖：作一個角的平分線.2.探索并證明角平分線的性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.3.會用角平分線的性質解決實際問題.新知導入1.角平分線的概念從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的角平分線.∵∠1=∠2∴BD是∠ABC的平分線2.通過折紙的方法做一個角的平分線新知講解下面是利用角平分儀平分一個角的演示過程.你能說明它的道理嗎？其中AB=AD，BC=DC.將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE為∠α的角平分線.你能用學過的知識說明為什么嗎？

新知講解上述平分角的方法告訴了我們一種作已知角的平分線的方法.已知：∠AOB求作：∠AOB的平分線.AOBM作法:(1)以點O

為圓心，適當長為半徑作弧，交OA

于M，交OB

于點N；N新知講解

A

OBMN

C

作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖，大家一定要掌握!新知講解任意作一個角∠AOB，作出∠AOB的平分線OC，在OC上任取一點P，過點P畫出OA和OB的垂線，分別記垂足為D，E，PD和PE有什么關系？DPEAOBC猜想：PD=PE你能結合三角形全等的知識證明這個結論嗎？新知講解已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D，E.求證：PD=PE證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定義）在△PDO和△PEO中∴PD=PE（全等三角形的對應邊相等）

∴△PDO≌△PEO（AAS）DPEAOBC歸納總結文字語言：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.※角平分線的性質幾何語言：∵點P在∠AOB的平分線上，且PD⊥OA，PE⊥OB.∴PD=PE定理應用所具備的條件：

（1）角的平分線；（2）點在該平分線上；

（3）垂直距離。定理的作用：

證明線段相等。新知講解一般情況下，我們要證明一個幾何命題時，可以按照類似的步驟進行，即1.明確命題中的已知和求證；2.根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學符號表示已知和求證；3.經過分析，找出由已知推出要證的結論的途徑，寫出證明過程.典例精析例1已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且

BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為

E，F(xiàn).求證：EB=FC.ABCDEF證明：∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴

DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.課堂練習【知識技能類作業(yè)】必做題：1．如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點A，點Q是射線OM上的一個動點，若PA＝2，則PQ的最小值為()A．1B．2C．3D．42.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于點D.如果∠A＝30°，AE＝6cm，那么CE等于()A.1cmB．2cmC．3cm

D．4cmBC課堂練習【知識技能類作業(yè)】必做題：3.如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F(xiàn)，DE=DF，∠EDB=60°，則∠EBF=

度，BE=

.4.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,則點D到AB的距是

.60BF3課堂練習【知識技能類作業(yè)】選做題：5.如圖，在

Rt△ABC

中，AC＝BC，∠C＝90°，AP

平分∠BAC

交

BC

于點

P，若

PC＝m，AB＝14.(1)求△APB的面積(用含

m的式子表示)；解：如圖，過點P作PD⊥AB于點D，∵AP

平分∠BAC

，PC⊥AC,∴PD=PC=m，

ABCPD課堂練習【知識技能類作業(yè)】選做題：ABCPD(2)求△PDB

的周長.

課堂練習【綜合拓展類作業(yè)】6.如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M為BC邊上的一點，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.求證：M為BC的中點．課堂練習【綜合拓展類作業(yè)】證明：如圖，過點M作MN⊥AD于點N.∵∠B＝90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD.又∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM＝MN，MN＝CM.∴BM＝CM，即M為BC的中點．課堂總結角平分線的性質性質定理一個點：角平分線上的點；二距離：點到角兩邊的距離；兩相等：兩條垂線段相等過角平分線上一點向兩邊作垂線段輔助線添加角平分線的畫法板書設計角平分線的性質性質：角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等.作業(yè)布置【知識技能類作業(yè)】必做題：1.如圖,OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分別是C,D,下列結論中錯誤的是(

)A.PC＝PDB.OC＝OD C.∠CPO＝∠DPOD.OC＝PC2.如圖，AD是△ABC的角平分線，若AB＝10，AC＝8，則S△ABD∶S△ADC＝()A．1∶1B．4∶5C．5∶4

D．16∶25DC作業(yè)布置【知識技能類作業(yè)】選做題：3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于點E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3.求DE的長；解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC⊥CD.又∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴DE＝CD，又∵CD＝3，∴DE＝3.作業(yè)布置【綜合拓展類作業(yè)】4.如圖，已知AD∥BC，P是∠BAD與∠ABC的平分線的交點，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD與BC之間的距離.解：過點P作M