專題11銳角三角函數(shù)

目錄

01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識(shí)體系。

02盤(pán)·基礎(chǔ)知識(shí)：甄選核心知識(shí)逐項(xiàng)分解，基礎(chǔ)不丟分。（3大模塊知識(shí)梳理）

知識(shí)模塊一：銳角三角函數(shù)

知識(shí)模塊二：解直角三角形

知識(shí)模塊三：解直角三角形的應(yīng)用

03究·考點(diǎn)考法：對(duì)考點(diǎn)考法進(jìn)行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（9大基礎(chǔ)考點(diǎn)）

考點(diǎn)一：理解銳角三角函數(shù)的概念

考點(diǎn)二：求角的三角函數(shù)值

考點(diǎn)三：由三角函數(shù)求邊長(zhǎng)

考點(diǎn)四：由特殊角的三角函數(shù)值求解

考點(diǎn)五：在平面直角坐標(biāo)系中求銳角三角函數(shù)值

考點(diǎn)六：在網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值

考點(diǎn)七：三角函數(shù)綜合

考點(diǎn)八：解直角三角形的相關(guān)計(jì)算

考點(diǎn)九：構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長(zhǎng)或面積

04破·重點(diǎn)難點(diǎn)：突破重難點(diǎn)，沖刺高分。（4大重難點(diǎn)）

重難點(diǎn)一：運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決視角相關(guān)問(wèn)題

重難點(diǎn)二：運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決方向角相關(guān)問(wèn)題

重難點(diǎn)三：運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決坡角、坡度相關(guān)問(wèn)題

重難點(diǎn)四：12345模型

05辨·易混易錯(cuò)：點(diǎn)撥易混易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)，夯實(shí)基礎(chǔ)。（2大易錯(cuò)點(diǎn)）

易錯(cuò)點(diǎn)1：未在直角三角形中求銳角三角函數(shù)的值

易錯(cuò)點(diǎn)2：誤認(rèn)為三角函數(shù)值與三角形各邊的長(zhǎng)短有關(guān)

1

知識(shí)模塊一：銳角三角函數(shù)

知識(shí)點(diǎn)一：正弦，余弦，正切

正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的對(duì)邊a與斜邊c的比叫做

A的對(duì)邊a

∠A的正弦，記作sinA，即sinA；

斜邊c

余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做

A的鄰邊b

∠A的余弦，記作cosA，即cosA；

斜邊c

正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A

A的對(duì)邊a

的正切，記作tanA，則tanA

A的鄰邊b

【注意】1）正弦、余弦、正切是在直角三角形中進(jìn)行定義的，本質(zhì)是兩條線段的比，因此沒(méi)有單位，只與

角的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長(zhǎng)無(wú)關(guān).

2

2）根據(jù)定義求三角函數(shù)值時(shí)，一定根據(jù)題目圖形來(lái)理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時(shí)需要通過(guò)輔

助線來(lái)構(gòu)造直角三角形.

3）表示，可以寫(xiě)成，不能寫(xiě)成(正弦、余弦相同).

知識(shí)點(diǎn)二：銳角三角函數(shù)

銳角三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函數(shù)．（其中：0＜∠A＜90°）

取值范圍：在Rt△ABC中，∠C=90°，由于直角邊一定比斜邊短，故有如下結(jié)論：0sinA1，0cosA1，

tanA0.

增減變化：當(dāng)0°＜∠A＜90°，sinA，tanA隨∠A的增大而增大，cosA隨∠A的增大而減小.

【補(bǔ)充】利用銳角三角函數(shù)值的增減變化規(guī)律可比較銳角的大小.

知識(shí)點(diǎn)三：特殊角的三角函數(shù)值

利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，如下表所示：

三角函數(shù)值特殊角

30°45°60°

sinα1

23

2

22

cosα1

322

22

tanα

33

1

3

知識(shí)點(diǎn)四：銳角三角函數(shù)的關(guān)系

在Rt△ABC中，若∠C為直角，則∠A與∠B互余時(shí)，有以下兩種關(guān)系：

1）同角三角函數(shù)的關(guān)系：

①平方關(guān)系：；

22

②商數(shù)關(guān)系：sinA+cos.A=1

sinA

2)互余兩角的三t角an函A數(shù)=關(guān)c系os：A

①互余關(guān)系：

sinA=cos(90°-∠A)=cosB，即一個(gè)銳角的正弦值等于它的余角的余弦值.

3

sinB=sin(90°-∠A)=cosA，即一個(gè)銳角的余弦值等于它的余角的正弦值.

②倒數(shù)關(guān)系：

tanA?tanB=1

知識(shí)模塊二：解直角三角形

知識(shí)點(diǎn)一：解直角三角形

定義：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角．由直角三角形中的已知

元素，求出其余未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形．

在解直角三角形的過(guò)程中，一般要用到下面一些關(guān)系：

1）直角三角形的五個(gè)元素：邊：a、b、c，角：∠A、∠B.

2）三邊之間的關(guān)系：（勾股定理）.

222

3）兩銳角之間的關(guān)系：a∠+Ab＋=∠cB＝90°.

4）邊角之間的關(guān)系：sinA=，sinB=，cosA=，cosB=，tanA=，tanB=.

abbaab

【補(bǔ)充】三角函數(shù)是連接邊與c角的橋梁.cccba

11

5）面積公式Sabch（h為斜邊上的高）.

22

知識(shí)點(diǎn)二：解直角三角形的常見(jiàn)類型

已知條件解法步驟圖示

斜邊和一直角邊(如c，a)

由sinA，求，∠B=90°－∠A，bc2a2

兩a

=c∠A

邊兩直角邊(如a，b)

由tanA，求，∠B=90°－∠A，ca2b2

a

=b∠A

斜邊和一銳角（如c，∠A）∠B=90°－∠A，acsinA,bccosA

一

邊aa

一直角邊和一銳角（如a，∠A）∠B=90°－∠A，b,c

一tanAsinA

角

另一直角邊和一銳角（如b，∠A）b

∠B=90°－∠A，abtanA,c

cosA

【注意】已知兩個(gè)角不能解直角三角形，因?yàn)橛袃蓚€(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，但不一定全等，因此

其邊的大小不確定.

【總結(jié)】在直角三角形中，除直角外的五個(gè)元素中，已知其中的兩個(gè)元素(至少有一條邊)，可求出其余的

三個(gè)未知元素(知二求三).

【已知一邊一角的記憶口訣】有斜求對(duì)用正弦，有斜求鄰用余弦，無(wú)斜求對(duì)(鄰)用正切.

4

知識(shí)模塊三：解直角三角形的應(yīng)用

知識(shí)點(diǎn)一：仰角、俯角

視角：視線與水平線的夾角叫做視角．

仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．

俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．

【注意】仰角和俯角是相對(duì)于水平線而言的，在不同的位置觀測(cè)，仰角和俯角是不同的.

知識(shí)點(diǎn)二：坡度、坡角

坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作.

h

坡角：坡面與水平面的夾角α叫做坡角.i=l

【注意】坡度與坡角是兩個(gè)不同的概念，坡角是兩個(gè)面的夾角，坡度(用字母i表示)是比；兩者之壓間的

關(guān)系是，坡角越大，坡度越大.

h

i=l

知識(shí)點(diǎn)三：方位角、方向角

方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標(biāo)方向PA，PB，

PC的方位角分別為是40°，135°，245°.

方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標(biāo)方向線

5

OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方

向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西

45°

知識(shí)點(diǎn)四：解直角三角形實(shí)際應(yīng)用的一般步驟

①弄清題中名詞、術(shù)語(yǔ)，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；

②將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題；當(dāng)有些圖

形不是直角三角形時(shí)，可適當(dāng)添加輔助線，把它們分割成直角三角形或矩形.

③選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確；

④得出數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，從而得到問(wèn)題的解．

【常見(jiàn)類型】航海、建橋修路、測(cè)量樓高、塔高等.

考點(diǎn)一：理解銳角三角函數(shù)的概念

1．（2022·吉林長(zhǎng)春·中考真題）如圖是長(zhǎng)春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場(chǎng)的一臺(tái)起重機(jī)的示意圖，該

起重機(jī)的變幅索頂端記為點(diǎn)A，變幅索的底端記為點(diǎn)B，垂直地面，垂足為點(diǎn)D，，垂足為點(diǎn)C．設(shè)

，下列關(guān)系式正確的是（）????⊥??

∠???=?

A．B．C．D．

????????

sin?=??sin?=??sin?=??sin?=??

【答案】D

【分析】根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義判斷即可．

【詳解】BCAC，

ABC是∵直角⊥三角形，

∴△ABC=α，

∵∠

6

，

??

∴sin?=??

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了正弦三角函數(shù)的定義．在直角三角形中任意銳角A的對(duì)邊與斜邊之比叫做A的正弦，

記作sinA．掌握正弦三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．∠∠

2．（20∠24·天津紅橋·一模）如圖，在中，，為邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足

為，則下列結(jié)論中正確的是（）RtΔ???∠???=90°??????⊥??

?

A．B．C．D．

????????

sin?=??cos?=??tan?=??tan?=??

【答案】B

【分析】本題考查解直角三角形，關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)定義．由銳角的三角函數(shù)定義，即可判斷．

【詳解】解：，

∵??⊥??，

∴、∠???=∠?，?故?=9不0°符合題意；

??

A、結(jié)sin論?正=確??，故A符合題意；

B、，故B不符合題意；

??

Ctan?=??C

、，故不符合題意．

??

Dtan?=???

故選：B．

3．（2024廣州市模擬預(yù)測(cè)）在中，，各邊都擴(kuò)大2倍，則銳角A的三角函數(shù)值（）

A．?dāng)U大2倍B．不變Rt△???C∠．?縮=小90°D．?dāng)U大

11

22

【答案】B

【分析】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)

的定義，三角形相似的判定和性質(zhì)，根據(jù)三角形相似的判定，可以確定各邊擴(kuò)大后的三角形與原三角形相

似，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知銳角A的度數(shù)不變，所以銳角A對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值就不變．

【詳解】解：因?yàn)楦鬟厰U(kuò)大后的三角形與原三角形相似，銳角A的度數(shù)不變，銳角A對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值就

不變．

故選：B．

7

考點(diǎn)二：求角的三角函數(shù)值

1．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，在四邊形中，，平分．若，

，則．????∠?=∠???=90°??∠?????=1

??=3sin∠???=

【答案】

6

【分析】過(guò)6點(diǎn)作的垂線交于，證明出四邊形為矩形，為等腰三角形，由勾股定理算出

，?，即?可?求解．?????△?????=

【5詳解??】=解：6過(guò)點(diǎn)作的垂線交于，

????

，

∴∠???=90°

∵四∠?邊=形∠???為=矩90形°，

∴????，

∴??//??,??=，??=1

∴∠??平?分=∠??，?

∵??∠???，

∴∠???=，∠???

∵??//??，

∴∠C?D?B?==C∠B?D??

∴∠∠，

∴??=??=3，

∵??=?，?=1

∴??=2，

22

∴??=?????=9?4=5

8

22

∴??=??+??=5+1=6

，

??16

∴sin∠???=??=6=6

，

6

∴sin∠???=6

故答案為：．

6

【點(diǎn)睛】本題6考查了銳角三角函數(shù)、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造

直角三角形求解．

2．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，把矩形紙片沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，與

交于點(diǎn)F，若，，則的值是????．??????

??=6??=8cos∠???

【答案】

24

【分析】本25題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．

折疊問(wèn)題優(yōu)先考慮利用勾股定理列方程，證，再利用求出邊長(zhǎng)，從而求解即可．

【詳解】解：折疊，??=??Rt△???

∵，

∴四∠?邊?形?=∠??是?矩形，

∵?，???，

∴??∥????=，??=8

∴∠???=∠???，

∴∠???=，∠???

∴??=??，

∴在??=???中?，?=8???，

222

Rt△?????+?，?=??

222

解∴6得+(8??，?)=??

25

??=4

，

??24

∴cos∠???=??=25

故答案為：．

24

25

9

3．（2024·江西·中考真題）將圖所示的七巧板，拼成圖所示的四邊形，連接，則．

12??????tan∠???=

【答案】/

1

【分析】本2題0.5考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)，如圖，設(shè)等腰直角

的直角邊為，利用圖形的位置關(guān)系求出大正方形的邊長(zhǎng)和大等腰直角三角形的直角邊1長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)△正?切?的?

定義即可求解?，掌握等腰直角三角形和正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：如圖，設(shè)等腰直角的直角邊為，則，小正方形的邊長(zhǎng)為，

，1△??????=2??

∴??=2?，

22

∴??=2?+2，?=22?

∴??=??=22?，

∴如?圖?=，2過(guò)2點(diǎn)??作2?=2?的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，，

由圖（2）可得?，??⊥??，???=????=，??

1，??=??，=22???=2?+2?=22?

∴??=22???=22?，

∴??=22?+22?=4，2?

??22?1

∴tan∠???=??=42?=2

故答案為：．

1

2

考點(diǎn)三：由三角函數(shù)求邊長(zhǎng)

1．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，點(diǎn)E在矩形的邊上，將沿折疊，點(diǎn)D恰好落在邊

??????△?????

上的點(diǎn)F處，若．，則．

4

????=10sin∠???=5??=

10

【答案】5

【分析】利用矩形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)可得，，可得，

4

，設(shè)，則??=??=10??，=利??用勾股?定?理=可?得??sin∠???=10×，5進(jìn)=而8

22222

?可?得=結(jié)果??．???=6??=???=?????=8????=??+??

【詳解】解：四邊形是矩形，

∵?，???，，

∴根∠據(jù)?折=疊∠?可=知∠，?可=知90°??=??，??=??=，10

則，在中，??=??=10??=??，則，

4

Rt△?????，=則???sin∠???=10，×5=8??=8

22

∴設(shè)??=?，?則???=6??=??，???=4

在??=?中?，?=?????=8?，?即：，

222222

解得Rt：△???，??=??+???=8??+4

即：?=5，

故答案??為=：55．

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、解直角三角形，靈活運(yùn)用折疊的性質(zhì)得到相等線段是解決問(wèn)

題的關(guān)鍵．

2．（2024·山東青島·中考真題）如圖，中，，以為直徑的半圓O分別交，于點(diǎn)D，

E，過(guò)點(diǎn)E作半圓O的切線，交于點(diǎn)△M?，?交?的?延?長(zhǎng)=線??于點(diǎn)N?．?若，??，?則?半徑

3

的長(zhǎng)為．??????=10cos∠???=5??

【答案】6

11

【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，等邊對(duì)等角，平行線的性質(zhì)與判定等等，解題的關(guān)

鍵在于證明，根據(jù)等邊對(duì)等角推出，則可證明得到，再由

切線的性質(zhì)得∠?到??=∠???，則解求出∠?=的∠長(zhǎng)?即??可．??∥??∠???=∠???

【詳解】解：如圖∠?所??示=，9連0接°，Rt△?????

??

，，

∵??=???，?=??，

∴∠?=∠???，∠???=∠???

∴∠?=∠?，??

∴??∥??，

∴∠??是?=∠的??切?線，

∵??⊙?，

∴在∠???=90°中，，

??3

∴Rt△???cos∠???=cos∠???=??=5

，

3

∴??=5??=6

半徑的長(zhǎng)為6，

∴故答案?為?：．

3．（2023·山6東·中考真題）如圖，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)，在邊上，若，

，則．△???????∠???=30°

1

tan∠???=3??=

【答案】

【分析】過(guò)3?點(diǎn)A3作于H，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再由，可得

，再根?據(jù)?⊥??，可得∠?，??從=而6可0°得??⊥??∠???，+利

1

∠???=30°∠???+∠???=30°∠???=∠???tan∠???=tan∠???=3

12

用銳角三角函數(shù)求得，再由，求得，即可求得結(jié)果．

????1

??=???sin60°=33??=33=3??=3

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作于H，

是等邊三角形，??⊥??

∵△???，，

∴??=??，=??=6∠???=60°

∵??⊥??，

1

∴∠???=2∠???=30，°

∴∠???+∠??，?=30°

∵∠???=30°，

∴∠???+∠???，=30°

∴∠???=∠???，

1

∴tan∠???=tan∠???=3

，

1

∵??=2??=3

，

3

∵??=???sin60°=6×2=33

，

????1

∴??=33=，3

∴??=3，

∴故?答?案=為??：???=．3?3

3?3

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)證明是解

題的關(guān)鍵．∠???=∠???

考點(diǎn)四：由特殊角的三角函數(shù)值求解

1．（2024·山東青島·中考真題）計(jì)算：．

1?1

【答案】/18+3?2sin45°=

22+33+22

13

【分析】本題主要考查了二次根式的加減計(jì)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和求特殊角三角函數(shù)值，先計(jì)算特殊角三角

函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和化簡(jiǎn)二次根式，再根據(jù)二次根式的加減計(jì)算法則求解即可．

【詳解】解：

1?1

18+3?2sin45°

2

=32+3?2×

2

=32+3，?2

=故答2案2為+3：．

2．（2023·山2東2·+中3考真題）計(jì)算：．

0

【答案】1|3?2|+2sin60°?2023=

【分析】根據(jù)先計(jì)算絕對(duì)值，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，再進(jìn)行加減計(jì)算即可．

【詳解】解：

0

3?2+2sin60°?2023

3

=2?3+2×?1

2

=故答1案為：1．

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握絕對(duì)值、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．

3．（2022·黑龍江綏化·中考真題）定義一種運(yùn)算；，

．例如：當(dāng)，時(shí)，sin(?+?)=sin?cos?+cos?sin?，則sin(???的)=值s為in?cos??．

23216+2

cos?sin??=45°?=30°sin45°+30°=2×2+2×2=4sin15°

【答案】

6?2

【分析】根4據(jù)代入進(jìn)行計(jì)算即可．

【詳解】解：sin(???)=sin?cos??cos?sin?

=sin15°=sin(45°?30°)

sin45°cos30°?cos45°sin30°

=

2321

2×2?2×2

=

62

4?4

=．

6?2

4

故答案為：．

6?2

【點(diǎn)睛】此題4考查了公式的變化，以及銳角三角函數(shù)值的計(jì)算，掌握公式的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．

14

考點(diǎn)五：在平面直角坐標(biāo)系中求銳角三角函數(shù)值

1．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在直線上，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4，

3

?=4?

直角三角板的直角頂點(diǎn)C落在x軸上，一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，另一條直角邊與直線交于點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)C在

x軸上移動(dòng)時(shí)，線段的最小值為．??

??

【答案】

15

4

【分析】利用一次函數(shù)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用勾股定理求出，當(dāng)點(diǎn)C在x軸上移動(dòng)時(shí)，作與關(guān)于

'

對(duì)稱，且交x軸于點(diǎn)，由對(duì)稱性質(zhì)可知，，??，當(dāng)軸于點(diǎn)?時(shí)?，????

''''''

?最?短，記此時(shí)點(diǎn)?C所在位置為，作??=??于∠點(diǎn)???，有=∠???，設(shè)??⊥??，則??=??=

''''''''

??+??，利用銳角三角函數(shù)???⊥??建?立等?式?求=出??，證?明?=??=???，=再?利?用?

'

????3

'''''

相??似=三4角?形?性質(zhì)求出，最后根據(jù)sin∠???=??=??=5求解，即可解?題．△???∽△???

'''

【詳解】解：點(diǎn)A在?直?線上?，?且=點(diǎn)??A的=橫??坐+標(biāo)?為?4，

3

∵?=4?

點(diǎn)A的坐標(biāo)為，

∴，4,3

∴當(dāng)?點(diǎn)?C=在5x軸上移動(dòng)時(shí)，作與關(guān)于對(duì)稱，且交x軸于點(diǎn)，

''

?????????

由對(duì)稱性質(zhì)可知，，

'

當(dāng)軸于點(diǎn)?時(shí)?，=??最短，記此時(shí)點(diǎn)C所在位置為，

''''

由對(duì)??稱⊥性?質(zhì)可知，???=??=，??+???

''

作于點(diǎn)，∠有???=∠??，?

'''

設(shè)??⊥???，則??=??，

''''

??=??=???=?????=4??

15

，

'

????3

'

∴sin∠???=??=??=5

，

?3

∴4??=5

解得，

3

?=2

經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解，

3

?=2，，

'''''

∵∠???+∠???，=90°∠???+∠???=90°

'''

∴∠???=∠???，

'''

∵∠???=∠???=，90°

'''

∴△???，∽△???

''

????

'

∴??=??

3，

'

??2

3

∴2=3

解得，

'3

??=4

．

'315

∴??=??=3+4=4

故答案為：．

15

【點(diǎn)睛】本題4考查了軸對(duì)稱性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，相似三角形性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)，垂

線段最短，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)和垂線段最短找出最短的情況．

2．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線（是常數(shù)）

2

經(jīng)過(guò)點(diǎn)．點(diǎn)、是該拋物線上不重合的兩點(diǎn)，橫?坐標(biāo)分別為、，?點(diǎn)=的?橫+坐2?標(biāo)+為??，點(diǎn)

的縱坐標(biāo)?與2,點(diǎn)?2的縱坐?標(biāo)相?同，連結(jié)、．?????5??

?????

(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)求證：當(dāng)取不為零的任意實(shí)數(shù)時(shí)，的值始終為2；

(3)作的垂?直平分線交直線于點(diǎn)，ta以n∠??為?邊、為對(duì)角線作菱形，連結(jié)．

???????????????

16

當(dāng)與此拋物線的對(duì)稱軸重合時(shí)，求菱形的面積；

①當(dāng)此??拋物線在菱形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)??隨??的增大而增大時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍．

②【答案】(1)???????

2

(2)見(jiàn)詳解?=?+2??2

(3)菱形；或或

①?????=9②?≤?3?1≤?<00<?≤4?13

【分析】（1）將代入，解方程即可；

2

（2）過(guò)點(diǎn)B作?2,?于2點(diǎn)H，由?題=意?得+2?+?，則，

22

??

??⊥??，因此??,?+；2??2,???,??2??2??=???=4?

??

??=?????=2?tan∠???=??=2

（3）記交于點(diǎn)M，，而對(duì)稱軸為直線，則，解得：，

2??+5?1

①??,????5?,?+2??2?=?12=?1?=2

則，，由，得，則，因此菱形；

3????

3

????

??=2??=3tan∠???=??=2=2??=3??=6?=9

分類討論，數(shù)形結(jié)合，記拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)F，則，故菱形中只包含在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線，當(dāng)

②時(shí)，符合題意；當(dāng)m繼續(xù)變大，直至當(dāng)直線??經(jīng)1,過(guò)?點(diǎn)3F時(shí)，符合題意，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)Q，

由?>0，得到，解得：??或（舍），故??⊥??，

2

?+2??2??3

∠???=∠????1??5?=2?=4?13?=4+130<?≤4?13

當(dāng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)此時(shí)菱形包含了對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線，不符合題意；當(dāng)時(shí)，符合題意：當(dāng)m

繼續(xù)?變>小4?，直1至3點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，此時(shí)，故；當(dāng)m繼續(xù)變小?，<直0線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F時(shí)，也

符合題意，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，?同上=?可1得，?1≤?<0，解得：或??（舍），當(dāng)

FQ2

?+2??2??3

?1??

m繼續(xù)變小時(shí)，仍符合題??意⊥，?因?此，故m的取值范圍為：=2或?=?3或?=?1．

【詳解】（1）解：將代?入≤?3，?≤?3?1≤?<00<?≤4?13

2

得：，?2,?2?=?+2?+?

解得：4?4+?，=?2

拋物線?表=?達(dá)2式為：；

2

∴（2）解：過(guò)點(diǎn)B作?=?+于2?點(diǎn)?H2，則，

??⊥??∠???=90°

17

由題意得：，

22

??,?+2?，?2,???,??2??，2

????

∴在??=???中，=4???=???=；2?

??4?

∴Rt△???tan∠???=??=2?=2

（3）解：如圖，記交于點(diǎn)M，

①??,??

由題意得，，

2

由??5?，,?+2??2

?2

得：?2對(duì)?稱=?軸2為=直?線1：

四邊形是菱形?，=?1

∵點(diǎn)A、C?關(guān)?于??對(duì)稱，，

∴與此拋物線?的?對(duì)稱軸?重?合=，2??,??=2??

∵??，

??+5?

∴2=?1

解得：，

1

?=2

，

1

∴??=2

13

∴??=2，??1=2

∴??=3，

????

3

∵tan∠???=??=2=2

，則，

∴??=3??=6

菱形；

1

∴?????=2??×??=9

記拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)F，把代入，得：，

2

②，?=?1?=?+2??2?=?3

∴?拋物?1線,?在3菱形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)隨的增大而增大，

∵??????

18

菱形中只包含在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線，

∴當(dāng)時(shí)，如圖，符合題意，

?>0

當(dāng)m繼續(xù)變大，直至當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F時(shí)，符合題意，如圖：

??

過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)Q，

四邊形??⊥是?菱?形，

∵??，??

∴??=??，

∴∠???=∠???，

??

∴tan∠???=tan∠???=??=2

，

2

?+2??2??3

解∴得?：1??5?=2或（舍），

?=4?1，3?=4+13

∴當(dāng)0<?≤4?時(shí)13，如圖，發(fā)現(xiàn)此時(shí)菱形包含了對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線，不符合題意；

?>4?13

19

當(dāng)時(shí)，如圖，符合題意：

?<0

當(dāng)m繼續(xù)變小，直至點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，此時(shí)，符合題意，如圖：

?=?1

；

∴當(dāng)?m1≤繼?續(xù)變<小0，直至直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F時(shí)，也符合題意，如圖：

??

20

過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)Q，同上可得，

??⊥??，

??

tan∠???=??=2

，

2

?+2??2??3

解∴得：?1??=或2（舍），

當(dāng)m繼?續(xù)=變?小3時(shí)，?仍=符?合1題意，如圖：

，

綜∴?上≤所?述3，m的取值范圍為：或或．

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與?幾何≤?的3綜合?，1菱≤形?的<性0質(zhì)，0待<定?系≤數(shù)4法?求1函3數(shù)解析式，求銳角的正切值，正

確理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想，找出臨界狀態(tài)是解決本題的關(guān)鍵．

3．（2024·西藏·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，

2

兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為直線l．?=??+??+3?≠0??1,0?3,0

21

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖（甲），設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，在直線l上是否存在一點(diǎn)P，使有最大值？若

存在，求出的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；?????

?????

(3)如圖（乙），設(shè)點(diǎn)M為拋物線上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)M作交直線l于點(diǎn)N．若，

2

????⊥??tan∠???=3

求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

【答案】(1)

2

(2)存?在=?最?大+值2；?最+大3值為

(3)點(diǎn)??M?的??坐標(biāo)為或或10或

115315

?1,02,42,43,0

【分析】（1）把，代入拋物線求出a、b的值，即可得出拋物線的解析式；

（2）先求出點(diǎn)C的?坐?1標(biāo),0為?3，,0連接、、，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出，，

得出當(dāng)最大時(shí)，0,3最大?，?根?據(jù)?當(dāng)點(diǎn)??A、C、P三點(diǎn)在同一直線?上?時(shí)=，?????最??大=，?即?當(dāng)?點(diǎn)??P

在點(diǎn)時(shí)??，???最大，??求?出?最?大值即可；?????

'

（3）?過(guò)點(diǎn)M??作???軸，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)N作于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：

2

，得出??∥???⊥??，??⊥??，證明，?得,?出?+

22