§2.9對數(shù)函數(shù)課標要求1.通過實例,了解對數(shù)函數(shù)的概念,會畫對數(shù)函數(shù)的圖象,理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.2.了解指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0,且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0,且a≠1)互為反函數(shù).1.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域(0,＋∞)值域R性質(zhì)過定點(1,0),即x＝1時,y＝0當x>1時,y>0；當0<x<1時,y<0當x>1時,y<0；當0<x<1時,y>0增函數(shù)減函數(shù)2.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0,且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0,且a≠1)互為反函數(shù),它們的圖象關(guān)于直線y＝x對稱.1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝loga2x(a>0,且a≠1)是對數(shù)函數(shù).(×)(2)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0,且a≠1)是增函數(shù).(×)(3)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0,且a≠1)的圖象恒過定點(1,0).(√)(4)函數(shù)y＝log2x與y＝log12x的圖象關(guān)于x軸對稱.(√2.函數(shù)f(x)＝ln(4-x)x-3A.(－∞,4) B.(3,4)C.(－∞,3)∪(3,4) D.(－∞,3)∪(3,＋∞)答案C解析因為f(x)＝ln(4-所以要使函數(shù)有意義,則4-x>0,x-3≠0,解得x所以f(x)的定義域為(－∞,3)∪(3,4).3.函數(shù)f(x)＝loga|x|＋1(a>1)的圖象大致為()答案A解析f(x)＝loga|x|＋1的定義域為{x|x≠0},因為f(－x)＝loga|－x|＋1＝loga|x|＋1＝f(x),所以f(x)是偶函數(shù),當x∈(0,＋∞)時,f(x)＝logax＋1(a>1)單調(diào)遞增.結(jié)合選項可知選A.4.若對數(shù)函數(shù)f(x)經(jīng)過點(2,1),則它的反函數(shù)g(x)的解析式為.

答案g(x)＝2x解析設(shè)f(x)＝logax(a>0且a≠1),函數(shù)過點(2,1),即f(2)＝loga2＝1,即a＝2,f(x)＝log2x,它的反函數(shù)g(x)的解析式為g(x)＝2x.1.掌握三個對數(shù)函數(shù)圖象的特點(1)不論a>1還是0<a<1,對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0,且a≠1)的圖象都無限靠近y軸,但不會與y軸相交.(2)不論a>1還是0<a<1,對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0,且a≠1)的圖象都經(jīng)過點1a,-1,(1,0),(a,1),且圖象都在y軸右側(cè),據(jù)此可以快速畫出對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0,且a≠1(3)對數(shù)函數(shù)在同一直角坐標系中的圖象如圖所示,其中圖象(C1,C2,C3,C4對應(yīng)的底數(shù)依次為a,b,c,d)的相對位置與底數(shù)大小有關(guān).圖中0<c<d<1<a<b.2.謹防兩個失誤點(1)凡涉及對數(shù)型函數(shù),其真數(shù)與底數(shù)的取值范圍一定不能忽略.(2)在解決對數(shù)型復(fù)合函數(shù)時,當?shù)讛?shù)a的范圍沒有明確時,必須分0<a<1和a>1兩種情況討論.題型一對數(shù)函數(shù)的概念與圖象例1(1)(多選)下列選項正確的是()A.若函數(shù)f(x)＝loga－1x＋a2－5a＋6是對數(shù)函數(shù),則a＝3或a＝2B.函數(shù)f(x)＝1x＋ln(3＋x)的定義域為(－3,0)∪(0,＋∞C.函數(shù)f(x)＝loga(4x－3)(a>0,且a≠1)的圖象過定點(1,0)D.f(x)＝log2(x2－2x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,＋∞)答案BC解析對于A,解得a＝3,A錯誤；對于B,x≠0,3＋x>0,解得x>－3對于C,令4x－3＝1,解得x＝1,則f(1)＝loga1＝0,C正確；對于D,x2－2x>0?x∈(－∞,0)∪(2,＋∞),可知當x>2時,y＝x2－2x單調(diào)遞增,結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,＋∞),D錯誤.(2)(多選)已知函數(shù)f(x)＝lnx,g(x)＝lgx,若f(m)＝g(n),則下列結(jié)論可能成立的為()A.m＝n B.n<m<1C.m<1<n D.1<m<n答案ABD解析根據(jù)題意,在同一直角坐標系中畫出f(x)＝lnx與g(x)＝lgx的圖象,如圖所示,當x＝1時,此時f(x)＝g(x),即f(m)＝g(n),故m＝n＝1,故A正確；當0<x<1時,若f(m)＝g(n),則n<m<1,故B正確；當x>1時,若f(m)＝g(n),則1<m<n,故D正確.思維升華對數(shù)函數(shù)圖象的識別及應(yīng)用方法(1)在識別函數(shù)圖象時,要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項.(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題,利用數(shù)形結(jié)合法求解.跟蹤訓練1(1)(多選)函數(shù)f(x)＝logax(a>0且a≠1),下列說法正確的是()A.當0<a<1時,函數(shù)在其定義域上是減函數(shù)B.f(x)的反函數(shù)為g(x)＝axC.當0<a<1且x>1時,f(x)>0D.若點(2,1)在f(x)的圖象上,則f

14答案ABD解析對于A,當0<a<1時,f(x)＝logax在其定義域上是減函數(shù),故A正確；易知B正確；對于C,當0<a<1時,f(x)＝logax在其定義域上是減函數(shù),所以當x>1時,f(x)＝logax<loga1＝0,故C錯誤；對于D,因為點(2,1)在f(x)的圖象上,所以loga2＝1,則a＝2,所以f(x)＝log2x,則f

14＝log214＝log22－2＝－2,故(2)若函數(shù)y＝ax(a>0,且a≠1)的圖象過點12,13,則函數(shù)y＝loga|x答案B解析由于函數(shù)y＝ax(a>0,且a≠1)的圖象過點1故13＝a1則y＝loga|x|＝log19|x|該函數(shù)為偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對稱,且在(0,＋∞)上單調(diào)遞減,在(－∞,0)上單調(diào)遞增,只有B中圖象符合該函數(shù)圖象特點.題型二對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用命題點1比較對數(shù)式的大小例2(1)(2024·延慶模擬)設(shè)a＝log32,b＝log96,c＝12,則(A.a>b>c B.c>b>aC.b>c>a D.b>a>c答案D解析因為b＝log96＝log32(6)2＝log36,且又3<2<6,函數(shù)y＝log3x在(0,＋∞)上單調(diào)遞增則log33<log32<log36,所以c<a<b(2)(多選)(2025·黑龍江龍東聯(lián)盟聯(lián)考)已知2a＝3b＝6,則a,b滿足()A.a＝log26 B.a<bC.1a＋1b<1 D.答案AD解析A選項,由2a＝6,得a＝log26,故A正確；B選項,由3b＝6,得b＝log36,∵a＝log26>2,b＝log36<2,∴a>b,故B錯誤；C選項,∵1a＋1b＝1log26＋1logD選項,∵a≠b且a>0,b>0,∴由基本不等式得a＋b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋命題點2解簡單的對數(shù)方程或不等式例3(1)已知函數(shù)f(x)＝log2x－x＋1,則不等式f(x)<0的解集是()A.(0,1) B.(0,2)C.(1,2) D.(0,1)∪(2,＋∞)答案D解析f(x)＝log2x－x＋1的定義域為(0,＋∞),f(1)＝log21－1＋1＝0,f(2)＝log22－2＋1＝0,由f(x)<0可得log2x<x－1,即y＝x－1的圖象在y＝log2x圖象的上方,畫出y＝log2x,y＝x－1的圖象,如圖,由圖可知,不等式f(x)<0的解集是(0,1)∪(2,＋∞).(2)(2025·中山模擬)設(shè)實數(shù)a>0,則“2a>2”是“l(fā)ogaa＋12>0”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析由2a>2,可得a>1.由logaa＋1可得logaa＋12>log∴a>1,a解得a>1或0<a<12因此“2a>2”是“l(fā)ogaa＋12>0命題點3對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例4(1)(多選)(2024·煙臺模擬)已知函數(shù)f(x)＝lg(x2＋ax－a),下列說法中正確的是()A.若f(x)的定義域為R,則a的取值范圍是(－4,0)B.若f(x)的值域為R,則a的取值范圍是(－∞,－4]∪[0,＋∞)C.若a＝2,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞,－1)D.若f(x)在(－2,－1)上單調(diào)遞減,則a的取值范圍是-答案ABD解析選項A,x2＋ax－a>0對任意x∈R恒成立,即Δ＝a2＋4a<0,解得－4<a<0,A正確；選項B,x2＋ax－a≤0有解,因此Δ＝a2＋4a≥0,解得a≤－4或a≥0,B正確；選項C,當a＝2時,f(x)＝lg(x2＋2x－2),由x2＋2x－2＝(x＋1)2－3>0得x<－1－3或x>－1＋3,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得其單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞,－1－3),C選項D,f(x)在(－2,－1)上單調(diào)遞減,則-a2≥-1,1-a-(2)(多選)(2025·岳陽模擬)關(guān)于函數(shù)f(x)＝log2x＋log2(4－x),下列說法正確的是()A.f(x)的最大值為1B.f(x)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增C.f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱D.f(x)的圖象關(guān)于點(2,0)對稱答案BC解析函數(shù)f(x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2(4x－x2)＝log2[－(x－2)2＋4](0<x<4),當x＝2時,4x－x2取到最大值4,故此時f(x)＝log2x＋log2(4－x)取到最大值log24＝2,A錯誤；f(x)＝log2(4x－x2)(0<x<4)可以看作是由函數(shù)y＝log2u,u＝－x2＋4x(0<x<4)復(fù)合而成,而y＝log2u是定義域上的增函數(shù),u＝－x2＋4x(0<x<4)在(0,2)上單調(diào)遞增,在(2,4)上單調(diào)遞減,故f(x)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增,在(2,4)上單調(diào)遞減,B正確；因為函數(shù)f(4－x)＝log2(4－x)＋log2x＝f(x),故f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱,C正確；因為f(4－x)＋f(x)＝2f(x)＝0不恒成立,故f(x)的圖象不關(guān)于點(2,0)對稱,D錯誤.思維升華求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題,必須弄清三個問題：一是定義域；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成.跟蹤訓練2(1)已知a＝0.50.9,b＝ln3,c＝log312,則(A.a>b>c B.b>a>cC.c>a>b D.a>c>b答案B解析因為a＝0.50.9∈(0,1),b＝ln3>lne＝1,c＝log312<log31＝0,所以b>a>c(2)(多選)(2025·遼寧教研聯(lián)盟模擬)關(guān)于函數(shù)f(x)＝lg21-x-1,A.f(x)的定義域為(－1,1)B.f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱C.f(x)的圖象關(guān)于原點對稱D.f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增答案ACD解析因為f(x)＝lg21-x-1＝lg1＋x1-x,則所以f(x)的定義域為(－1,1),故A正確；因為f(－x)＝lg1-x1＋x＝－f(x),所以f所以f(x)的圖象關(guān)于原點對稱,故B錯誤,C正確；因為y＝21-x－1在(0,1)上單調(diào)遞增,y＝lgx在(0,＋∞)所以f(x)＝lg21-x-1在(0,1)上單調(diào)遞增,故課時精練[分值：90分]一、單項選擇題(每小題5分,共30分)1.函數(shù)y＝1-xlgx的定義域為A.(0,1] B.(0,1)C.(1,＋∞) D.(0,1)∪(1,＋∞)答案B解析由1-x≥0,x>0,x≠1?0<x<12.設(shè)a＝log0.20.3,b＝log23,c＝log34,則a,b,c的大小關(guān)系為()A.a>b>c B.c>b>aC.b>a>c D.b>c>a答案D解析因為32>23,所以log232>log223,即2log23>3,所以b＝log23>3因為42<33,所以log342<log333＝3,即2log34<3,所以c＝log34<3同時c＝log34>1,所以1<c<32,而a＝log0.20.所以b>32>c>1>a3.已知函數(shù)f(x)＝loga(x－b)(a>0,且a≠1,a,b為常數(shù))的圖象如圖,則下列結(jié)論正確的是()A.a>0,b<－1B.a>0,－1<b<0C.0<a<1,b<－1D.0<a<1,－1<b<0答案D解析因為函數(shù)f(x)＝loga(x－b)為減函數(shù),所以0<a<1,又因為函數(shù)圖象與x軸的交點在正半軸,所以令x－b＝1,則x＝1＋b>0,即b>－1,又因為函數(shù)圖象與y軸有交點,所以b<0,所以－1<b<0.4.若函數(shù)f(x)＝log3ax(a>0,且a≠1)在[－1,2]上的值域為[m,2],則m的值為()A.－4或－1 B.0或－2C.－2或－1 D.－4或－2答案A解析因為函數(shù)y＝log3x在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)y＝ax在[－1,2]上的值域為[3m,9],當0<a<1時,y＝ax在[－1,2]上單調(diào)遞減,則a－1＝9,解得a＝1則3m＝a2＝181,得m＝－當a>1時,y＝ax在[－1,2]上單調(diào)遞增,則a2＝9,解得a＝3或a＝－3(舍去),則3m＝a－1＝13,得m＝－綜上,m＝－4或m＝－1.5.(2024·新鄉(xiāng)模擬)已知函數(shù)f(x)＝loga(3－x)＋loga(x＋1)(0<a<1),若f(x)的最小值為－2,則a等于()A.13 B.33 C.12答案C解析由3-x>0,x＋1>0,得所以函數(shù)f(x)＝loga(3－x)＋loga(x＋1)(0<a<1)的定義域為(－1,3),因為y＝loga(3－x)＋loga(x＋1)＝loga[(3－x)(x＋1)]由外層函數(shù)y＝logat(0<a<1)和內(nèi)層函數(shù)t＝(3－x)(x＋1)復(fù)合而成,當－1<x<1時,內(nèi)層函數(shù)單調(diào)遞增,外層函數(shù)單調(diào)遞減,所以f(x)單調(diào)遞減；當1<x<3時,內(nèi)層函數(shù)單調(diào)遞減,外層函數(shù)單調(diào)遞減,所以f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)min＝f(1)＝loga4＝－2,又因為0<a<1,所以a＝126.若不等式(x－1)2<logax(a>0且a≠1)在x∈(1,2]內(nèi)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為()A.(1,2] B.(1,2)C.(1,2] D.(2,答案B解析若0<a<1,此時x∈(1,2],logax<0,而(x－1)2>0,故(x－1)2<logax無解；若a>1,此時x∈(1,2],logax>0,而(x－1)2>0,令f(x)＝logax,g(x)＝(x－1)2,畫出函數(shù)f(x)與g(x)的圖象,如圖,若不等式(x－1)2<logax在x∈(1,2]內(nèi)恒成立,則loga2>1,解得a∈(1,2).二、多項選擇題(每小題6分,共12分)7.已知函數(shù)y＝logax與y＝logb(－x)的圖象關(guān)于坐標原點對稱,則函數(shù)y＝ax與y＝logbx的大致圖象可能是()答案AC解析在函數(shù)y＝logax的圖象上任取點(x,y),則點(－x,－y)在y＝logb(－x)的圖象上,即y＝logax,-y＝logbx,于是logbx＝－loga當0<a<1時,函數(shù)y＝ax是R上的減函數(shù),b>1,則y＝logbx是(0,＋∞)上的增函數(shù),C符合,D不符合；當a>1時,函數(shù)y＝ax是R上的增函數(shù),0<b<1,則y＝logbx是(0,＋∞)上的減函數(shù),A符合,B不符合.8.已知函數(shù)f(x)＝lg(x2－5x＋4),則下列結(jié)論正確的是()A.函數(shù)f(x)的定義域是RB.函數(shù)f(x)的值域是RC.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(4,＋∞)D.不等式f(x)<1的解集是(－1,6)答案BC解析選項A,令x2－5x＋4>0,解得x>4或x<1,所以函數(shù)f(x)的定義域為(－∞,1)∪(4,＋∞),故A錯誤；選項B,因為真數(shù)x2－5x＋4能取遍所有的正實數(shù),所以函數(shù)f(x)的值域是R,故B正確；選項C,由A項可知,函數(shù)u＝x2－5x＋4在(4,＋∞)上單調(diào)遞增,在(－∞,1)上單調(diào)遞減,y＝lgu在定義域內(nèi)為增函數(shù),所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(4,＋∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞,1),故C正確；選項D,由f(x)＝lg(x2－5x＋4)<1＝lg10,且y＝lgu在定義域內(nèi)為增函數(shù),所以0<x2－5x＋4<10,解得－1<x<1或4<x<6,所以不等式f(x)<1的解集是(－1,1)∪(4,6),故D錯誤.三、填空題(每小題5分,共10分)9.(2025·榆林模擬)函數(shù)f(x)＝loga(2x－1)(a>0,且a≠1)恒過的定點是.

答案(1,0)解析令2x－1＝1,解得x＝1,此時f(1)＝loga1＝0,所以函數(shù)f(x)＝loga(2x－1)(a>0,且a≠1)恒過的定點是(1,0).10.已知函數(shù)y＝f(x),若在定義域內(nèi)存在實數(shù)x,使得f(－x)＝－f(x),則稱函數(shù)y＝f(x)為定義域上的局部奇函數(shù).若函數(shù)f(x)＝log3(x＋m)是[－2,2]上的局部奇函數(shù),則實數(shù)m的取值范圍是.

答案(2,5解析因為f(x)＝log3(x＋m)是[－2,2]上的局部奇函數(shù),所以x＋m>0在[－2,2]上恒成立,所以m－2>0,即m>2,由局部奇函數(shù)的定義,存在x∈[－2,2],使得log3(－x＋m)＝－log3(x＋m),即log3(－x＋m)＋log3(x＋m)＝log3(m2－x2)＝0,所以存在x∈[－2,2],使得m2－x2＝1,即m2＝x2＋1,又因為x∈[－2,2],所以x2＋1∈[1,5],所以m2∈[1,5],即m∈[－5,－1]∪[1,5綜上,m的取值范圍是(2,5]四、解答題(共27分)11.(13分)已知函數(shù)f(x)＝logax(a>0,且a≠1),且函數(shù)的圖象過點(4,2).(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(6分)(2)若f(m2＋m)<1成立,求實數(shù)m的取值范圍.(7分)解(1)∵函數(shù)f(x)＝logax的圖象過點(4,2),∴l(xiāng)oga4＝2,∴a2＝4,∵a>0且a≠1,∴a＝2,∴f(x)＝log2x.(2)由(1)知f(x)＝log2x,f(m2＋m)<1?f(m2＋m)<f(2),∵f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,∴0<m2＋m<2,∴－2<m<－1或0<m<1.∴實數(shù)m的取值范圍為{m|－2<m<－1或0<m<1}.12.(14分)已知函數(shù)f(x)＝log2(ax2＋2x－1),a∈R.(1)若f(x)過定點(1,2),求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(6分)(2)若f(x)值域為R,求a的取值范圍.(8分)解(1)由函數(shù)f(x)＝log2(ax2＋2x－1)過定點(1,2),可得log2(a＋1)＝2,可得a＋1＝4,解得a＝3,所以f(x)＝log2(3x2＋2x－1),令3x2＋2x－1>0,解得x<－1或x>13,即函數(shù)的定義域為(－∞,－1)設(shè)g(x)＝3x2＋2x－1,則函數(shù)g(x)在(－∞,－1)上單