2025屆高三下學期第三次高考模擬考試卷數(shù)學試題一、單選題1.設(shè)集合，則中元素的個數(shù)為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】首先求集合，再求，即可求解元素個數(shù).【詳解】，，依題意可得，則中元素的個數(shù)為5.故選：B2.已知復數(shù)滿足，則復數(shù)的共軛復數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算化簡復數(shù)，再得共軛復數(shù)，即可得其虛部.【詳解】復數(shù)滿足，則，所以，故復數(shù)的共軛復數(shù)的虛部是.故選：D.3.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】首先求出、的坐標，再根據(jù)向量平行的坐標表示得到方程，解得即可.【詳解】因為，，所以，，又，所以，解得.故選：B4.已知，，則（）A.3 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】先展開與，再通過加減運算求出與的值，最后代入的轉(zhuǎn)化式計算.【詳解】由得；由得.兩式相加：，即.兩式相減：，即.因為，代入得.故選：B.5.如圖，雙頭陀螺可以看作是兩個底面積相同的圓錐底面重合后拼接而成的，其中圓錐的底面圓心為，兩個頂點之間的距離是圓錐底面半徑的倍，圓錐的側(cè)面積是圓錐的側(cè)面積的2倍，則圓錐與圓錐的體積比為（）A.2 B.3 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】由題意可得，根據(jù)圓錐的幾何性質(zhì)可得，根據(jù)勾股定理得，從而可得與的關(guān)系，再由圓錐體積公式可得結(jié)論.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，則①，圓錐的側(cè)面積為，圓錐的側(cè)面積，又，所以，即②，由①②可得：，解得或（舍），所以，則圓錐與圓錐的體積比為.故選：C.6.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先分別求兩段函數(shù)單調(diào)遞增得出參數(shù)范圍，再根據(jù)分段函數(shù)解析式的特點得出分界點的不等關(guān)系，解出不等式組即可判斷參數(shù)范圍.【詳解】二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為直線，所以，即得,因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以當時，,此時函數(shù)單調(diào)遞增，又單調(diào)遞增，則，單調(diào)遞增；所以解得，故的取值范圍為．故選：A.7.函數(shù)與函數(shù)的圖象交點個數(shù)為（）A.3 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)的圖象即可得解.【詳解】函數(shù)定義域為，最小正周期為，，當時，，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，當時，，當時，，因此函數(shù)與函數(shù)圖象交點橫坐標只能在區(qū)間上，在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)的部分圖象，如圖：觀察圖象知，函數(shù)與函數(shù)的圖象交點個數(shù)為5.故選：B8.已知函數(shù)的定義域為為奇函數(shù)，，則（）A.為奇函數(shù)B.的圖象關(guān)于直線對稱C.的最小正周期為4D.的圖象關(guān)于點對稱【答案】D【解析】【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，得，從而可知的對稱中心；根據(jù)題意令可知，從而，結(jié)合對稱中心可判斷的對稱軸與奇偶性和最小正周期.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以，所以的圖象關(guān)于點對稱，則的圖象關(guān)于點對稱，項正確；因為函數(shù)的定義域為，易知的定義域為，因為為奇函數(shù)，所以，則，所以，根據(jù)的圖象關(guān)于點對稱，得，所以，故為偶函數(shù)，項錯誤；因為，所以，所以的最小正周期為，則的最小正周期為，項錯誤；根據(jù)為偶函數(shù)，且關(guān)于點對稱，最小正周期為，易知的所有對稱軸為直線，故項錯誤.故選：.二、多選題9.為了解目前宜興市高二學生身體素質(zhì)狀況，對某校高二學生進行了體能抽測，得到學生的體育成績，其中60分及以上為及格，90分及以上為優(yōu)秀則下列說法正確的是（）參考數(shù)據(jù)：隨機變量，則，，．A.該校學生體育成績的方差為10B.該校學生體育成績的期望為70C.該校學生體育成績的及格率不到D.該校學生體育成績不及格的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)相當【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)隨機變量，求得期望和方差，再結(jié)合正態(tài)分布曲線的對稱性，求得相應的概率，即可求解.【詳解】由題意知，隨機變量，可得期望，方差，所以A錯誤，B正確；選項C中：由,所以，所以C正確；選項D中，優(yōu)秀的概率為，不及格的概率為，兩者不同，所以D錯誤.故選：BC.10.已知.不等式的解集為且，則下列說法中正確的是（）A.函數(shù)的極大值點為1B.函數(shù)的對稱中心為C.當時，D.過點且與曲線相切的直線有2條【答案】BCD【解析】【分析】利用三次函數(shù)圖象的特征，結(jié)合不等式的解集可判斷三次方程的根的分布，從而確定參數(shù)，再結(jié)合導數(shù)來研究三次函數(shù)的極值，來判斷A選項，利用導函數(shù)的對稱軸與三次函數(shù)的對稱中心是同一個的取值，來判斷B選項，利用函數(shù)解析式，結(jié)合自變量的范圍來證明不等式是否成立，可判斷C選項，最后利用導數(shù)思想來求過點的切線，通過方程解的個數(shù)來判斷滿足條件的切線條數(shù)，從而可判斷D選項.【詳解】對于A：因為不等式的解集為且，即不等式的解集為且，所以方程的根為和（二重根），得，即，所以，則，得，令，或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極大值點，故A錯誤；對于B：由選項A知，則，所以，即的一個對稱中心為，故B正確；對于C：令，當時，則，只需.而，由，得，即，所以，故C正確；對于D：由選項A知，設(shè)在點的切線方程為，由切線經(jīng)過點得，，整理得，即，因式分解得：，解得或，此時存在兩條切線滿足題意，故D正確.故選：BCD.11.如圖，曲線是一條雙紐線，曲線上的點滿足：到點與的距離之積為，已知點是雙紐線上一點，則下列結(jié)論正確的是（）.A.點在曲線上B.雙紐線的方程為C.D.點在橢圓上，若，則【答案】AD【解析】【分析】利用曲線的定義可判斷A選項；在雙紐線上任取一點，由結(jié)合兩點間的距離公式可化簡得出雙紐線的方程，可判斷B選項；將曲線的方程化為，令可知關(guān)于的方程有解，結(jié)合可判斷C選項；利用橢圓的定義、雙紐線的定義以及勾股定理可判斷D選項.【詳解】對于A選項，記點，則，，所以，所以點在曲線上，A對；對于B選項，在雙紐線上任取一點，由題意可得，即，即，即，即，整理可得，B錯；對于C選項，由可得，令，則，所以關(guān)于在上有解，設(shè)該方程在上的兩根分別為、，所以，解得，故，當時，可得，即，解得，即點在雙紐線上，故的取值范圍不是，C錯；對于D選項，橢圓的標準方程為，所以，，則，所以橢圓的兩個焦點恰好為、，由橢圓的定義可得，由可得，因為，解得，因此，，D對.故選：AD.三、填空題12.曲線在處的切線方程為________.【答案】【解析】【分析】求出切點的縱坐標及切線的斜率，即可得答案.【詳解】，，，所以切線方程為，即.故答案為：13.已知為雙曲線的右焦點，為的右頂點，為上的點且在第一象限，且垂直于軸.若的離心率為2，則的斜率為__________.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可知則，再根據(jù)斜率列出等式求解即可．【詳解】設(shè)雙曲線焦距為，則，則.故答案為：3.14.甲乙丙丁四人打循環(huán)賽，每兩人之間都有一場比賽．已知乙丙丁三人勝率完全相同，而甲水平較高，面對三人時的勝率均為，每場比賽勝者得一分，敗者得零分，總分最高或同為最高者并列冠軍．問：甲拿到冠軍的概率是___________．【答案】【解析】【分析】按甲拿冠軍時的得分情況分類求解可得.【詳解】由題意知，甲乙丙丁四人共進行場比賽，且每人共參加場比賽，故甲拿到冠軍至少拿分，至多拿分，分類情況如下：第一類：甲共得分拿到冠軍，即甲與乙丙丁三人的比賽均獲勝拿到冠軍，故事件“甲共得分拿到冠軍”的概率為；第二類：甲共得分拿到冠軍，即甲恰與乙丙丁三人比賽中場獲勝場敗，且其余三人得分均小于等于分.記事件“甲共得分”，“甲拿到冠軍”，則事件“甲共得分拿到冠軍”即為，則“甲共得分未拿到冠軍”，即甲恰與乙丙丁三人比賽中場獲勝場敗，且乙丙丁中有人得分”，由“甲共得分”，即甲恰輸給乙丙丁中一人，則；若乙丙丁中有人得分，因為每人參加場比賽，至多得分，則得分的人必然是乙丙丁中贏得甲的人，且另外兩人人得分，另人得分.故故“甲共得分拿到冠軍”的概率為；故甲拿到冠軍的概率為.故答案為：.四、解答題15.的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求的值；（2）若的面積為，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理得到，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得到；（2）由三角形面積得到方程，求出，由余弦定理變形得到，求出周長【小問1詳解】由余弦定理可知，.因為，所以，即由，且，解得，則.【小問2詳解】的面積，則.因為，所以由，可得，則，故的周長為.16.已知數(shù)列滿足，．（1）求證：是等差數(shù)列，并求的通項公式；（2）記，求．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)所證數(shù)列的結(jié)構(gòu)，可知對題目所給等式取倒數(shù)，然后移項即可證明，然后求出數(shù)列的通項，變形即可的通項；（2）用列項求和的方法即可.【小問1詳解】因為，，即，數(shù)列是首項，公差的等差數(shù)列，故，小問2詳解】因為，=.17.如圖，直四棱柱的底面是菱形，為銳角，分別為棱的中點，點在棱上，且，點在直線上.（1）證明：平面；（2）若直四棱柱的體積為，當直線與平面所成角的正弦值最大時，求的長.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點，連接，進而可證四邊形是平行四邊形，可得，由已知可證，可得，可證結(jié)論；（2）解法1：由已知可求得，分別以直線為軸，以的邊上的高所在直線為軸，建立空間直角坐標系，設(shè)，求得平面的一個法向量，利用向量法可求得線面角的正弦的最大值，進而求得的長.解法2：由已知可求得，連接，設(shè)，連接，設(shè)，以為原點，分別以直線為軸，建立空間直角坐標系，設(shè)，求得平面一個法向量，利用向量法可求得線面角的正弦的最大值，進而求得的長.解法3：由已知可求得，由（1）知平面且點在直線上，，過作，交的延長線于點，連接，結(jié)合余弦定理求解即可.【小問1詳解】取的中點，連接，因為為的中點，所以，且.又，且，則，且.所以四邊形是平行四邊形，所以.因為，則為的中點.又為的中點，則，所以.因為平面平面，所以平面.【小問2詳解】解法1：由于直四棱柱的體積為，得，得，由于為銳角，則.分別以直線為軸，以的邊上的高所在直線為軸，建立空間直角坐標系.則，，設(shè)，，設(shè)平面的法向量為，直線與平面所成角為，由，即，取，則平面的一個法向量為.則.當時，取得最大值.此時.所以的長為.解法2：由于直四棱柱的體積為，得，得，由于為銳角，則.連接，設(shè)，連接，設(shè)，以為原點，分別以直線為軸，建立空間直角坐標系.則，.設(shè)，即，則設(shè)平面的法向量為，直線與平面所成角為，由，即，令，則，則平面的一個法向量為，,為，則.當時，取得最大值.此時.所以的長為.解法3：由于直四棱柱的體積為，得，得，由于為銳角，則.由（1）知平面且點在直線上，則點到平面的距離為定值.設(shè)直線與平面所成角為，則.當最小時，取得最大值.如圖，過作，交的延長線于點，連接，由于，，則平面.又平面，則.則為所求.在中，.，在中，.18.函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，恒成立，求的取值范圍；（3）證明：當時，．【答案】（1）答案見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求導，分情況討論導函數(shù)的符號，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）分情況討論，分離參數(shù)，可把問題轉(zhuǎn)化為，恒成立的問題，設(shè)，，利用導數(shù)求函數(shù)的最小值即可.（3）問題轉(zhuǎn)化為，設(shè)，，只需證的最小值大于0即可.【小問1詳解】因為，所以.若，則在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；若，由；由.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上：當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】當時，.當時，上式恒成立，即；當時，.設(shè)，，則.設(shè)，，則在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，又，所以在上恒成立.所以由，由.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以.所以.綜上可知：的取值范圍為：.【小問3詳解】時，要證，即.設(shè)，則，.設(shè)，，則在上恒成立.所以在上單調(diào)遞增.又，，則方程只有一解，設(shè)為，且，.當時，當時，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以.因為，所以，，，所以.即.所以在上恒成立.從而原命題成立.19.已知上下頂點分別為的橢圓經(jīng)過點為直線上的動點，且不在橢圓上，與橢圓的另一交點為與橢圓的另一交點為（均不與橢圓上下頂點重合）.（1）求橢圓的方程；（2）證明：直線過定點；（3）設(shè)（2）問中定點為，過點分別作直線的垂線，垂足分別為，記，，的面積分別為，，，試問：是否存在常數(shù)，使得，，總為等比數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）證明見解析（3）存在，【解析】【分析】（1）將點坐標代入即可求得橢圓的方程；（2）設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立橢圓和直線的方程得到兩根之和與之積，因為點在直線上，代入化簡可求得的值，即直線過定點；（3）先表示出為，，，由等比中項知，再將（2）中結(jié)果代入化簡可解得的值，即存在這樣的常數(shù).【小問1詳解】因為橢圓