高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省揚(yáng)州市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)、是符合題目要求的.1.命題“，”的否定是（）A.， B.不存在，C.， D.，【答案】D【解析】全稱命題的否定是特稱命題命題“，”的否定是：，.故選：D.2.集合的真子集個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合的元素個(gè)數(shù)為，該集合的真子集個(gè)數(shù)為.故選：C.3.不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)榈葍r(jià)于，解得：，即：，所以不等式的解集為.故選：C.4.若，，則下列式子一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】A：，對；B：，錯(cuò)；C、D：由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)有、，錯(cuò).故選：A.5.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以為偶函數(shù)，故排除C，D；因?yàn)樵诰鶠樵龊瘮?shù)，且函數(shù)值均為正，所以在上單調(diào)遞增.故選：B．6.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.為偶函數(shù) B.方程的實(shí)數(shù)根為C.在上為增函數(shù) D.的值域?yàn)椤敬鸢浮緽【解析】設(shè)，代入點(diǎn)可得，所以，所以，因?yàn)椋?，即函?shù)的定義域?yàn)?，對于A：因?yàn)榈亩x域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對稱，所以既不是為偶函數(shù)也不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對于B：令，所以，解得，故B正確；對于C，因?yàn)?，因?yàn)?，所以在上為減函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對于D：因?yàn)?，所以，所以，的值域?yàn)?，故D錯(cuò)誤.故選：B.7.已知，，，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，，，所以.故選：C.8.在平面直角坐標(biāo)系中，單位圓上的動(dòng)點(diǎn)、同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)按逆時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，點(diǎn)按順時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度.若兩點(diǎn)相遇時(shí)的坐標(biāo)是，則此時(shí)它們可能是第（）次相遇.A.10 B.11 C.12 D.13【答案】B【解析】由題設(shè)，兩點(diǎn)相遇時(shí)的坐標(biāo)是，則分別最少旋轉(zhuǎn)了、，經(jīng)過秒相遇，有，且，則，所以，要使相遇，則且，即，若，則，此時(shí)，A錯(cuò)；若，則，此時(shí)，B對；若，則，此時(shí)，C錯(cuò)；若，則，此時(shí)，D錯(cuò).故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列三角函數(shù)值的符號為負(fù)的有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】A.角的終邊在第四象限，所以，故A正確；B.的角的終邊在第二象限，所以，故B錯(cuò)誤；C.弧度的角的終邊在第二象限，所以，故C正確；D.的角的終邊在第三象限，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知實(shí)數(shù)滿足且，則下列說法正確的有（）A.若，則對任意實(shí)數(shù)， B.若，則C.的最小值是 D.的最小值是【答案】BCD【解析】A：當(dāng)，此時(shí)，錯(cuò)；B：由，則，即，對；C：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，對；D：由，則，故，當(dāng)時(shí)，取得最小值，對.故選：BCD.11.已知函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)，且值域?yàn)?，則下列說法正確的有（）A.B.C.若，則D.若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】ACD【解析】對于選項(xiàng)A：因?yàn)楹瘮?shù)過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，即.因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，即在處取得最大值，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)x趨于無窮大時(shí)，趨于0，趨于，即，即，故A正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)?，又函?shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，，故C正確；對于選項(xiàng)D：令，，當(dāng)時(shí)，取最小值，當(dāng)或時(shí)，值為0，所以方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.計(jì)算：__.【答案】3；【解析】.13.已知函數(shù)滿足下列三個(gè)條件：①對任意，；②對任意，；③的值域?yàn)?，則______.（寫出滿足要求的一個(gè)函數(shù)即可）【答案】（答案不唯一）【解析】條件①說明函數(shù)的周期為，條件②說明函數(shù)關(guān)于對稱，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)可知，滿足條件的函數(shù)為（答案不唯一）.14.已知函數(shù)，若對任意，，不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】由在上單調(diào)遞增，且過點(diǎn)，在上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，結(jié)合解析式，其大致圖象如下圖，隨變化，的圖象只在軸上平移，令過且平行于的直線為，則，所以，故，聯(lián)立與，消去y得，所以或，對任意，都有成立，由圖知，在上不單調(diào)，必有，需保證，時(shí)有，所以，，整理得，所以，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，.（1）若，求，；（2）若“”是“”的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1），當(dāng)，，所以，.（2）因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾獥l件，所以，所以，解得.16.在平面直角坐標(biāo)系中，角以軸的正半軸為始邊，它的終邊與單位圓交于第四象限內(nèi)的點(diǎn).（1）若，求的值；（2）若，求的值及點(diǎn)的坐標(biāo).解：（1）因?yàn)榻桥c單位圓交于第四象限內(nèi)的點(diǎn)，所以，，，，，由，得，，法1：，法2：，.（2）法1：，因?yàn)?，①所以兩邊平方得，即，所以，由角終邊位于第四象限，得，，所以，②由①②解得：，，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.法2：由角終邊位于第四象限，得，，因?yàn)?，①且，②所以由①②解得：，，所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.17.已知定義在上函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱.（1）求實(shí)數(shù)m的值；（2）判定的單調(diào)性并證明；（3）若實(shí)數(shù)滿足，求的取值范圍.解：（1）因?yàn)樵谏系膱D象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以為奇函數(shù)，所以，即，檢驗(yàn)如下，此時(shí)，所以，故是奇函數(shù)，滿足要求.所以.（2）在上單調(diào)遞減，證明如下：任取且，則，因?yàn)椋?，又，，所以，所以在上單調(diào)遞減.（3）法1：因?yàn)?，所以可化為，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，即，所以，解得.法2：在中，令，則，即，即，所以，即，所以，解得.18.已知用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在一個(gè)周期上的圖象時(shí)，列表如下：（1）求的解析式；（2）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，再將圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.①求在上的單調(diào)增區(qū)間；②若關(guān)于的方程在上有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的值.解：（1）由題意得，，所以.所以.因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所?所以.（2）①將圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度后得到的圖象，再將圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，所以，令，得，又，所以在上的增區(qū)間為.②令，因?yàn)椋?由得，即.因?yàn)榉匠淘谏嫌兴膫€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以方程在上有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以，且，，所以，，所以，所以.19.已知兩個(gè)函數(shù)，，，若對任意的，存在唯一的，使得成立，則稱為的“友好函數(shù)”.（1）判斷函數(shù)，是否為，的“友好函數(shù)”，并說明理由；（2）若函數(shù)，是，的“友好函數(shù)”，求的最小值；（3）已知函數(shù)，，，，若是的“友好函數(shù)”，且也是的“友好函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的值及的最大值.解：（1），不是，的“友好函數(shù)”，理由如下：取，因?yàn)?，所以不存在，使得，所以，不是，的“友好函?shù)”.（2）由題意，對任意，存在唯一使成立，即，所以函數(shù)的值域是函數(shù)值域的子集.因?yàn)?，，所以，其值域?yàn)?，而在上單調(diào)遞增，故值域?yàn)?，從而，即，所?（3）當(dāng)是的“友好函數(shù)”時(shí)，由題意，對任意的，存在唯一的，使成立，即，則的值域是值域的子集.當(dāng)是的“友好函數(shù)”時(shí)，由題意，對任意的，存在唯一的使成立，即，則的值域是值域的子集.所以的值域與值域相同（且值域中的數(shù)值一一對應(yīng)）.當(dāng)是的“友好函數(shù)”時(shí)，因?yàn)?，若存在使得，則不存在，使得，所以當(dāng)時(shí)，