廣東省清遠(yuǎn)市第三中學(xué)教育集團(tuán)2024?2025學(xué)年高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．如圖所示，在正方形鐵皮上剪下一個(gè)扇形和一個(gè)直徑為4的圓，使之恰好圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的高為（

）A． B． C． D．3．若直線與雙曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．4．已知且，函數(shù)，滿足對任意實(shí)數(shù)，，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．， C． D．，5．復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．6．已知菱形的邊長為是的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則（

）A． B． C．1 D．7．已知，則（

）A． B． C． D．8．定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，，則（

）A．點(diǎn)到直線的距離小于B．點(diǎn)到直線的距離大于C．當(dāng)最小時(shí)，D．當(dāng)最大時(shí)，10．已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若為偶函數(shù)，則C．有且僅有個(gè)使得的最小值為D．若函數(shù)的圖象與的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍為11．下列命題中，真命題的是（

）A．中位數(shù)就是第50百分位數(shù)B．已知隨機(jī)變量，若，則C．已知隨機(jī)變量，滿足，若，，則，D．已知采用分層抽樣得到的高三年級男生、女生各100名學(xué)生的身高情況為：男生樣本平均數(shù)172，方差為120，女生樣本平均數(shù)165，方差為120，則總體樣本方差為120三、填空題12．已知分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與其中一條漸近線在第一象限交于點(diǎn)，過點(diǎn)作另一條漸近線的垂線，點(diǎn)恰在此垂線上，則雙曲線的離心率為．13．若圓被直線所截得的弦長為10，過點(diǎn)作圓的切線，其中一個(gè)切點(diǎn)為，則的值為.14．如圖，由9個(gè)單位小方格組成的方格表中共有16個(gè)格點(diǎn)，將每個(gè)格點(diǎn)染成灰色或黑色，滿足：若任意4個(gè)格點(diǎn)構(gòu)成矩形的4個(gè)頂點(diǎn)，則這4點(diǎn)中至多有2點(diǎn)被染成灰色.則被染為灰色的格點(diǎn)數(shù)目最多為.四、解答題15．在中，．（1）求的值；（2）若，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求邊上的高．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．16．已知橢圓的離心率為，以橢圓E的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為．（1）求橢圓C的方程；（2）已知點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線l與橢圓E相交于不同兩點(diǎn)B、C，直線AB、AC分別與直線交于點(diǎn)M、N，當(dāng)時(shí)，求斜率k的取值范圍．17．如圖，在四棱錐中，平面，底面是平行四邊形，且是等邊三角形，.（1）求證：平面；（2）若是等腰三角形，求異面直線與所成角的余弦值.18．已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求的解集；(3)若函數(shù)圖象上有三個(gè)點(diǎn)，，，并且從左到右橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，判斷曲線在點(diǎn)處的切線斜率與，兩點(diǎn)連線斜率的大小關(guān)系．19．已知有限數(shù)列，其中，.在中選取若干項(xiàng)按照一定次序排列得到的數(shù)列稱為的一個(gè)子列，對某一給定正整數(shù)，若對任意的，均存在的相應(yīng)子列，使得該子列的各項(xiàng)之和為，則稱具有性質(zhì).（1）判斷：，，，，，，是否具有性質(zhì)？說明理由；（2）若，是否存在具有性質(zhì)？若存在，寫出一個(gè)，若不存在，說明理由；（3）若，且存在具有性質(zhì)，求的取值范圍.

參考答案1．【答案】C【詳解】集合，則.故選C.2．【答案】D【詳解】由圖知，扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，圓錐底面圓的半徑為，設(shè)扇形半徑為，則有，解得，因此圓錐的母線長為，所以圓錐的高.故選D3．【答案】B【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，又直線過原點(diǎn)，則則的取值范圍是.故選B．4．【答案】D【詳解】解：對任意實(shí)數(shù)，，都有成立，在定義域上是增函數(shù)，函數(shù)在，上是增函數(shù)，在上也是增函數(shù)，且，，解可得，．故選D.5．【答案】D【詳解】.故選D6．【答案】B【詳解】因?yàn)?，則，，所以，所以，所以，故.故選B7．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所?故選D.8．【答案】D【詳解】，令得：，又，反復(fù)利用可得：①，再令，由,可求得,同理反復(fù)利用可得:②，由①②可得：有，，，而所以,故.故選D.9．【答案】ACD【分析】計(jì)算出圓心到直線的距離，可得出點(diǎn)到直線的距離的取值范圍，可判斷AB選項(xiàng)的正誤；分析可知，當(dāng)最大或最小時(shí)，與圓相切，利用勾股定理可判斷CD選項(xiàng)的正誤.【詳解】圓的圓心為，半徑為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，所以，點(diǎn)到直線的距離的最小值為，最大值為，A正確，B錯(cuò)誤；如下圖所示：當(dāng)最大或最小時(shí)，與圓相切，連接，，可知，，，由勾股定理可得，CD正確.故選ACD.【方法總結(jié)】若直線與半徑為的圓相離，圓心到直線的距離為，則圓上一點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是.10．【答案】ACD【詳解】對于A選項(xiàng)，，則，解得，A對；對于B選項(xiàng)，若函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，可得，所以，或，由可得，由解得；由可得，即，所以，或，由可得，由可得，綜上所述，或，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)或，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，由三角不等式可得，解得或，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值，C對；對于D選項(xiàng)，①當(dāng)時(shí)，，可知若與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，只需點(diǎn)在的圖象的下方，即，可得；②當(dāng)時(shí)，，由，可得點(diǎn)在的圖象的下方，此時(shí)的圖象與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，當(dāng)與相切時(shí)，有，令，則，可得，解得（舍去）或，可得與有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，由上知，D對，故選ACD．11．【答案】AB【詳解】對于A選項(xiàng)，中位數(shù)就是第50百分位數(shù)，A選項(xiàng)正確.對于B選項(xiàng)，已知隨機(jī)變量，根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式（其中是試驗(yàn)次數(shù)，是每次試驗(yàn)成功的概率），可得.又因?yàn)椋?、為常?shù)），那么.已知，即，解得，B選項(xiàng)正確.對于C選項(xiàng)，已知隨機(jī)變量，滿足，根據(jù)期望的性質(zhì)（、為常數(shù)），可得.因?yàn)椋?再根據(jù)方差的性質(zhì)（、為常數(shù)），可得.因?yàn)?，所以，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對于D選項(xiàng)，設(shè)男生樣本為，平均數(shù)為，方差為；女生樣本為，平均數(shù)為，方差為.總體樣本平均數(shù).根據(jù)分層抽樣樣本方差公式（其中、分別是男生、女生的樣本數(shù)量），可得：，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選AB.12．【答案】2【詳解】如圖，設(shè)為與漸近線的交點(diǎn)，由題意：，，所以Q是線段的中點(diǎn)，所以.又直線，是雙曲線的漸近線，由雙曲線對稱性知，所以，所以，所以，所以離心率.13．【答案】【詳解】由弦長為，結(jié)合垂徑定理可得：，解得，結(jié)合已知點(diǎn)，可得：所以.14．【答案】6【詳解】若其中一行4個(gè)格點(diǎn)均涂成灰色，則每一列均不能再涂灰色，此時(shí)紅色的格點(diǎn)數(shù)目為4；若其中一行有3個(gè)格點(diǎn)涂成灰色，則這三個(gè)紅色格點(diǎn)所在的列均不能再涂灰色，且剩余一列至多3個(gè)格點(diǎn)可以涂成灰色，此時(shí)灰色的格點(diǎn)數(shù)目最多為6；若每一行有2個(gè)格點(diǎn)可以涂成灰色，這三個(gè)紅色格點(diǎn)所在的列均不能再涂灰色，且剩余2列至多3個(gè)格點(diǎn)可以涂成灰色，此時(shí)灰色的格點(diǎn)數(shù)目最多為5；若每行4個(gè)格點(diǎn)均只有1個(gè)或0個(gè)涂成灰色，符合題意，但灰色的格點(diǎn)數(shù)目不為最多；綜上所述：染為灰色的格點(diǎn)數(shù)目最多為6.15．【答案】（1）（2）條件選擇見解析，答案見解析【詳解】（1）由正弦定理，且，得，即．由，得．所以．由，得，所以．（2）選擇條件①：因?yàn)椋矣嘞液瘮?shù)在上單調(diào)遞減，故，又因?yàn)?，從而可得，與三角形的內(nèi)角和定理矛盾，故①不成立.選擇條件②：由，且，得．由余弦定理，得，解得或（舍）．設(shè)邊上的高為，則三角形面積，所以．選擇條件③：由，且，得．由，且，得．所以．由正弦定理，得，所以邊上的高．16．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由橢圓的離心率為，且橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為，可得，解得，橢圓.（2）設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，則且，可得，所以，設(shè)，則，則直線的方程為，與直線交于點(diǎn)，直線的方程為，與直線交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，且，則，將，代入可得，所以，解得，所以斜率的取值范圍為．17．【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）因?yàn)榈酌媸瞧叫兴倪呅?，且是等邊三角形，所以四邊形是菱形，則有，又平面，平面，所以，又，平面，平面，所以平面；（2）設(shè)，∵是等腰三角形，∴，，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線，分別為x軸，y軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，所以，，設(shè)與所成角為，所以，即與所成角的余弦值為.18．【答案】(1)和；(2)；(3)曲線在點(diǎn)處的切線斜率小于兩點(diǎn)連線的斜率；【詳解】（1）由，，令，得或，由于，則，令，解得或，所以的單調(diào)增區(qū)間為和.（2）當(dāng)時(shí)，，且，又，即在上單調(diào)遞增，所以的解集為.（3）設(shè)，，，且，，曲線在點(diǎn)處切線斜率為，兩點(diǎn)連線斜率為，，令，則，令，，則，令，，即在上單調(diào)遞減，，即，所以在上單調(diào)遞減，故，，又，即，所以，即，所以曲線在點(diǎn)處切線斜率小于兩點(diǎn)連線斜率.19．【答案】（1）具有，理由見解析；（2）不存在，理由見解析；（3）.【詳解】（1）根據(jù)定義知取，有；取，有，取，有，即對