江蘇省南通市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期末測(cè)試模擬卷（一）數(shù)學(xué)試卷考察范圍：集合與常用邏輯用語(yǔ)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)與解三角形、平面解析幾何、復(fù)數(shù)、計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)、平面向量、空間向量與立體幾何、等式與不等式、新文化試題分類(lèi)。題型統(tǒng)計(jì)：?jiǎn)芜x題8道、多選題3道、單空題3道。解答題5道。單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知，則的虛部為（

）A．1 B． C． D．2．若從小明?小紅?小剛等6名同學(xué)中選出3名同學(xué)分別到三個(gè)班級(jí)進(jìn)行學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)分享，則小明?小紅?小剛?cè)瑢W(xué)不去班，且小剛不去班分享學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的概率為（

）A． B． C． D．3．已知集合，則（

）A． B． C． D．4．已知一個(gè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，體積為，若該四棱錐的頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積等于（

）A．9π B．4π C． D．3π5．設(shè)袋中有8個(gè)紅球，4個(gè)白球，若從袋中任取4個(gè)球，則其中有且只有3個(gè)紅球的概率為（

）A． B． C． D．6．已知的最小值為0，則的值為（

）A． B． C． D．7．已知向量滿(mǎn)足，則向量與的夾角（

）A． B． C． D．08．已知，則（

）A． B． C． D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．10．已知中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，則下列命題中，正確的命題是（

）A．若，則為等腰三角形B．若，則；反之，若，則C．，，，要使此三角形的解有兩個(gè)，則的取值范圍為D．，角的平分線(xiàn)交邊于，且，則的最小值為1211．如圖，“錦鯉曲線(xiàn)”由函數(shù)與的部分圖象組成，其中．下列說(shuō)法正確的是（

）A．曲線(xiàn)上任意點(diǎn)，與P對(duì)應(yīng)的點(diǎn)也在曲線(xiàn)上B．曲線(xiàn)的“魚(yú)尾”寬的取值范圍為C．曲線(xiàn)“魚(yú)身”D．存在三條不同的直線(xiàn)被“錦鯉曲線(xiàn)”截得弦長(zhǎng)為1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知事件和事件相互獨(dú)立，，則．13．過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，曲線(xiàn)在，兩點(diǎn)處的切線(xiàn)相交于點(diǎn)，則面積的最小值為．14．在圓內(nèi)接四邊形中，，則，若，則的面積最大值為．四、解答題：本題共5小題，共77分。15．已知函數(shù)．(1)求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值及最小值；(3)若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．16．已知雙曲線(xiàn)的離心率和焦距分別為和，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.(1)求雙曲線(xiàn)的方程；(2)已知是雙曲線(xiàn)的左支上異于點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)交的右支于點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn).（i）記和的面積分別為，且，求直線(xiàn)的方程；（ii）設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)為，證明：點(diǎn)在一條定直線(xiàn)上.17．甲、乙兩所學(xué)校的代表隊(duì)參加詩(shī)詞大賽，在比賽第二階段，兩隊(duì)各剩最后兩個(gè)隊(duì)員上場(chǎng)，甲隊(duì)兩名隊(duì)員通過(guò)第二階段比賽的概率分別是和，乙隊(duì)兩名隊(duì)員通過(guò)第二階段比賽的概率都是，通過(guò)了第二階段比賽的隊(duì)員，才能進(jìn)入第三階段比賽（若某隊(duì)兩個(gè)隊(duì)員都沒(méi)有通過(guò)第二階段的比賽，則該隊(duì)進(jìn)入第三階段比賽的人數(shù)為），所有參賽隊(duì)員比賽互不影響，其過(guò)程、結(jié)果都是彼此獨(dú)立的.(1)求甲、乙兩隊(duì)進(jìn)入第三階段比賽的人數(shù)相等的概率；(2)設(shè)表示進(jìn)入第三階段比賽甲、乙兩隊(duì)人數(shù)差的絕對(duì)值，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.18．如圖所示，在四棱錐中，底面是正方形，．(1)證明：；(2)若二面角為，且，求與平面所成角的余弦值．19．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若對(duì)一切實(shí)數(shù)x，都有恒成立，求a的值；(3)求證．對(duì)于任意的正整數(shù)n．都有.江蘇省南通市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期末測(cè)試模擬卷（一）數(shù)學(xué)試卷（解析）一、單選題1．已知，則的虛部為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)概念即可求解.【詳解】由，可得：，所以的虛部為，故選：B2．若從小明?小紅?小剛等6名同學(xué)中選出3名同學(xué)分別到三個(gè)班級(jí)進(jìn)行學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)分享，則小明?小紅?小剛?cè)瑢W(xué)不去班，且小剛不去班分享學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】基本事件總數(shù)為，利用分步乘法原理結(jié)合排列組合求出符合條件的方案數(shù)，從而可求出概率.【詳解】從6人中選3人排列共有種，由題意得去班的方案有：種；去B班的方案有：種；去C班的方案有：種；所以，滿(mǎn)足條件的方案數(shù)是：.所以所求概率是.故選：D.3．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合的描述法結(jié)合一元二次不等式和分式不等式化簡(jiǎn)集合，再根據(jù)集合的交集元素即可.【詳解】集合，所以.故選：C.4．已知一個(gè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，體積為，若該四棱錐的頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積等于（

）A．9π B．4π C． D．3π【答案】A【分析】先計(jì)算正四棱錐的高以及底面外接圓半徑，再利用球以及正四棱錐的性質(zhì)得出，即可計(jì)算.【詳解】正四棱錐的外接球的球心在它的高上，由已知得，得，易知正四棱錐底面外接圓半徑，球的半徑為，由球的性質(zhì)得，解得，所以球O的表面積為.故選：A．5．設(shè)袋中有8個(gè)紅球，4個(gè)白球，若從袋中任取4個(gè)球，則其中有且只有3個(gè)紅球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，摸出的紅球個(gè)數(shù)服從超幾何分布，根據(jù)超幾何分布的概率分布列計(jì)算即可.【詳解】從袋中任取4個(gè)球，其中紅球的個(gè)數(shù)X服從參數(shù)為的超幾何分布，故有3個(gè)紅球的概率為故選：C.6．已知的最小值為0，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】通過(guò)換元法將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于新變量的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究新變量的取值范圍以及新函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出的值.【詳解】，則令，令，則；令，則，且時(shí)，，則的取值范圍為.則的最小值為0，即的最小值為0，即，則時(shí)，，則．故選：A．7．已知向量滿(mǎn)足，則向量與的夾角（

）A． B． C． D．0【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的模長(zhǎng)求解數(shù)量積，再根據(jù)向量夾角余弦公式求余弦值，即可得向量與的夾角大小.【詳解】向量滿(mǎn)足，所以，則，所以，由于，所以.故選：D.8．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)已知等式，再結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角公式得所求式子的值即可.【詳解】已知,所以，則，即，所以.故選：C.二、多選題9．已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理采用賦值法可得，，，再根據(jù)展開(kāi)式的通項(xiàng)可得，以及的正負(fù)即可判斷得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，令可得，故A正確；令可得，所以，故B不正確；展開(kāi)式的通項(xiàng)為，所以，故C正確；由通項(xiàng)可知，所以，令可得，即，故D正確.故選：ACD.10．已知中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，則下列命題中，正確的命題是（

）A．若，則為等腰三角形B．若，則；反之，若，則C．，，，要使此三角形的解有兩個(gè)，則的取值范圍為D．，角的平分線(xiàn)交邊于，且，則的最小值為12【答案】BCD【分析】應(yīng)用正弦定理計(jì)算判斷A，由正弦定理判斷B，應(yīng)用正弦定理及正弦值域計(jì)算判斷C，應(yīng)用面積法得出，結(jié)合基本不等式判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，則，所以，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，由正弦定理得，若，則，所有；反之，若，則，所有，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，，所以，所以，要使此三角形的解有兩個(gè)，則，所以，則的取值范圍為，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，因?yàn)?，角的平分線(xiàn)交邊于，且，則，所以，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取的最小值為12，D選項(xiàng)正確.故選：BCD.11．如圖，“錦鯉曲線(xiàn)”由函數(shù)與的部分圖象組成，其中．下列說(shuō)法正確的是（

）A．曲線(xiàn)上任意點(diǎn)，與P對(duì)應(yīng)的點(diǎn)也在曲線(xiàn)上B．曲線(xiàn)的“魚(yú)尾”寬的取值范圍為C．曲線(xiàn)“魚(yú)身”D．存在三條不同的直線(xiàn)被“錦鯉曲線(xiàn)”截得弦長(zhǎng)為1【答案】ABD【分析】證明函數(shù)與互為反函數(shù)，可判斷A的真假；設(shè)，，求的取值范圍，可判斷BD的真假；根據(jù)求的取值范圍，可判斷C的真假.【詳解】對(duì)A：由.所以函數(shù)與互為反函數(shù)，根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)，曲線(xiàn)上任意點(diǎn)，與P對(duì)應(yīng)的點(diǎn)也在曲線(xiàn)上，故A正確；對(duì)C：由.設(shè)（），則.由，由.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，，，所以.又，所以，所以不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)B：設(shè)，則，那么點(diǎn)坐標(biāo)為，所以“魚(yú)尾”的寬為：.由題知當(dāng)和時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍是，故B正確；對(duì)D：因?yàn)椋鶕?jù)函數(shù)的性質(zhì)，且，所以當(dāng)時(shí)，，所以在，，上各有一解，故D正確.故選：ABD三、填空題12．已知事件和事件相互獨(dú)立，，則．【答案】/【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的性質(zhì)可得事件和事件相互獨(dú)立，再根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式求解即可.【詳解】因?yàn)槭录褪录嗷オ?dú)立，所以事件和事件相互獨(dú)立，則.故答案為：.13．過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，曲線(xiàn)在，兩點(diǎn)處的切線(xiàn)相交于點(diǎn)，則面積的最小值為．【答案】【分析】設(shè)，，從而點(diǎn)，處的切線(xiàn)方程為，，故點(diǎn)的坐標(biāo)可以用點(diǎn)的坐標(biāo)表示，聯(lián)立直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，從而弦長(zhǎng)與點(diǎn)到的距離都可以用含的式子表示，即面積的最小值可以轉(zhuǎn)換為關(guān)于的函數(shù)的最小值.【詳解】如圖，設(shè)，，，，點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，同理，點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，聯(lián)立兩切線(xiàn)方程，求解可得，兩切線(xiàn)的交點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)所在直線(xiàn)的方程為，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立得到，所以，，則點(diǎn)．所以，故，當(dāng)時(shí)，有．故答案為：.14．在圓內(nèi)接四邊形中，，則，若，則的面積最大值為．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理建立方程，利用兩角和的正弦公式展開(kāi)得，進(jìn)而求得；設(shè)并結(jié)合正弦定理表示出，再利用三角形面積公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.【詳解】在中，，由正弦定理得，所以，所以，所以，所以；所以是四邊形外接圓直徑，，設(shè)，則，在中，，由正弦定理得，即，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為.故答案為：；四、解答題15．已知函數(shù)．(1)求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值及最小值；(3)若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)最大值為，最小值為(3)【分析】（1）由輔助角公式得到，利用整體法求出單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求出，結(jié)合正弦圖象得到最大值和最小值；（3）先求出，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，令，將其看作關(guān)于一次函數(shù)，其中，得到不等式組，【詳解】（1），令，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，.（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，由于在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，最小值為.（3）由（2）知，，由，①當(dāng)時(shí)，，②當(dāng)時(shí)，令，將看作關(guān)于一次函數(shù)，其中，則需滿(mǎn)足，解得且，綜上所述，的范圍為.16．已知雙曲線(xiàn)的離心率和焦距分別為和，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.(1)求雙曲線(xiàn)的方程；(2)已知是雙曲線(xiàn)的左支上異于點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)交的右支于點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn).（i）記和的面積分別為，且，求直線(xiàn)的方程；（ii）設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)為，證明：點(diǎn)在一條定直線(xiàn)上.【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析【分析】（1）由雙曲線(xiàn)的離心率、焦距以及的關(guān)系式，建立方程組，可得答案；（2）（i）設(shè)出直線(xiàn)方程，聯(lián)立寫(xiě)出韋達(dá)定理，根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合題意可知三角形等底，面積之差等于縱坐標(biāo)之差，根據(jù)整式化簡(jiǎn)，可得答案；（ii）由（i）所得韋達(dá)定理，整理等量關(guān)系，設(shè)出直線(xiàn)方程求得交點(diǎn)建立方程，化簡(jiǎn)整理，可得答案.【詳解】（1）由題意：，解得，所以雙曲線(xiàn)的方程為：.（2）（i）因?yàn)榕cA不重合，所以直線(xiàn)的斜率不為0，故可設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立得，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線(xiàn)的左支上，所以，解得，又，則，即有，則，解得，滿(mǎn)足，所以，于是直線(xiàn)的方程為.（ii）由（i），則，故.，則，所以直線(xiàn)的方程為，同理，所以直線(xiàn)的方程為：，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足：，顯然，由題意得：，則，則，故點(diǎn)在定直線(xiàn)上.17．甲、乙兩所學(xué)校的代表隊(duì)參加詩(shī)詞大賽，在比賽第二階段，兩隊(duì)各剩最后兩個(gè)隊(duì)員上場(chǎng)，甲隊(duì)兩名隊(duì)員通過(guò)第二階段比賽的概率分別是和，乙隊(duì)兩名隊(duì)員通過(guò)第二階段比賽的概率都是，通過(guò)了第二階段比賽的隊(duì)員，才能進(jìn)入第三階段比賽（若某隊(duì)兩個(gè)隊(duì)員都沒(méi)有通過(guò)第二階段的比賽，則該隊(duì)進(jìn)入第三階段比賽的人數(shù)為），所有參賽隊(duì)員比賽互不影響，其過(guò)程、結(jié)果都是彼此獨(dú)立的.(1)求甲、乙兩隊(duì)進(jìn)入第三階段比賽的人數(shù)相等的概率；(2)設(shè)表示進(jìn)入第三階段比賽甲、乙兩隊(duì)人數(shù)差的絕對(duì)值，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）用分別表示甲、乙兩隊(duì)通過(guò)第二階段比賽的人數(shù)，分析的可能取值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率，分析事件“甲、乙兩隊(duì)進(jìn)入第三階段比賽的人數(shù)相等”所包含的情況可得結(jié)果.（2）根據(jù)（1）分析的取值，計(jì)算對(duì)應(yīng)概率可得分布列和期望.【詳解】（1）用分別表示甲、乙兩隊(duì)通過(guò)第二階段比賽的人數(shù)，的可能取值均為，則，，，，，.設(shè)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)入第三階段比賽的人數(shù)相等為事件，則.（2）由題意得，隨機(jī)變量的所有可能取值為.由（1）得，，，∴，∴的分布列為：∴.18．如圖所示，在四棱錐中，底面是正方形，．(1)證明：；(2)若二面角為，且，求與平面所成角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由底面是正方形，得到，再由為等腰三角形得到，最后根據(jù)線(xiàn)面垂