高級中學名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省大慶市2025屆高三下學期第三次教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】集合，，則故選：B.2.在等差數(shù)列中，若，則（）A.270 B.225 C.180 D.135【答案】C【解析】因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，則.故選：C.3.在復平面內(nèi)，點對應的復數(shù)為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】點對應的復數(shù)，則，所以.故選：D4.若隨機變量，且，則的最小值為（）A.18 B. C.24 D.27【答案】C【解析】由題意可得，則，所以，易知當時，的最小值為.故選：C.5.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故選：A.6.如圖所示，在中，，，點是的中點，點在上，且.若，則（）A.6 B.8 C. D.【答案】B【解析】由，得，由點是的中點，，得，，則，解得.故選：B.7.已知是定義在上的奇函數(shù)，是定義在上的偶函數(shù)，若函數(shù)的值域為，則函數(shù)的最大值為（）A.2 B.3 C.6 D.9【答案】B【解析】由函數(shù)的值域為，得，由是定義在上的奇函數(shù)，得，由是定義在上的偶函數(shù)，得，則，則，而函數(shù)與的值域相同，所以函數(shù)的最大值為3.故選：B8.某商店店慶，每個在店內(nèi)消費到一定額度的顧客都可以參與抽獎活動.組織方準備了個盲盒，其中有個盲盒內(nèi)有獎品.抽獎規(guī)則為：抽獎者從這個盲盒中隨機抽取1個盲盒，兌獎后組織方會再補回一個相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽獎者抽獎.抽獎者甲先拿起了一個盲盒，在猶豫是否打開時，組織方拿走了一個沒有獎品的盲盒，最終甲選擇了另外一個盲盒打開，記甲中獎的概率為.抽獎者乙在選盲盒時不小心碰掉了一個盲盒，并且發(fā)現(xiàn)摔裂的盲盒內(nèi)沒有獎品，隨后乙從剩下的盲盒中選定一個盲盒打開，記乙中獎的概率為，則（）A. B. C.D.無法確定與的大小關系【答案】A【解析】設事件為“抽獎者甲中獎”，事件為“甲選中的盲盒有獎”，則，在組織方拿走無獎的盲盒后，若先選中的有獎，則剩余個盲盒中有個獎品，甲更換盲盒后，若甲先選中的盲盒無獎，則剩余個盲盒中有個獎品，則更換盲盒后，因此，由乙碰掉的盲盒無獎，則所有個盲盒中有個獎品，且每個盲盒被抽到的可能性相同，則，于是，所以.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列關于函數(shù)的說法正確的是（）A.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向右平移個單位B.函數(shù)的圖象關于對稱C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D.若，且，則【答案】BD【解析】對于A選項，函數(shù)圖象平移遵循“左加右減”原則.右移個單位，變?yōu)椋玫?，與選項描述不符，所以A錯誤.對于B選項，若函數(shù)圖象關于對稱，則取最值.，，是函數(shù)最大值，所以函數(shù)圖象關于對稱，B正確.對于C選項，已知，則.正弦函數(shù)在包含的區(qū)間不單調(diào)，此區(qū)間含，所以函數(shù)在該區(qū)間不單調(diào)，C錯誤.對于D選項，正弦函數(shù)周期，中，.，即取最小值，相鄰最小值間距離是一個周期，所以，D正確.故選：BD.10.在長方體中，已知，，，分別為，的中點，則（）A.平面B.若為對角線上的動點（包含端點），則三棱錐的體積為定值C.棱錐的外接球的體積為D.若點為長方形內(nèi)一點（包含邊界），且平面，則的最小值為2【答案】BC【解析】對于選項A，若平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可得.因為，根據(jù)平行線的傳遞性，所以.又因為，且，平面，根據(jù)線面垂直的判定定理，可證平面，所以.但在正方體中不垂直于，這相互矛盾，所以不垂直于平面，故A錯誤.對于選項B，易知平面，根據(jù)線面平行的性質(zhì)，可知上的點到平面的距離相等.三棱錐的體積（為點到平面的距離），由于上點到平面距離相等，所以不變.又因為，所以三棱錐的體積為定值，故B正確.對于選項C，分別以，，為長、寬、高構造長方體，由于長方體的外接球直徑就是長方體的體對角線，且該長方體的外接球與三棱錐的外接球相同.設外接球半徑為，已知，，的值，根據(jù)長方體體對角線公式（為體對角線，分別為長方體的長、寬、高），可得，則.根據(jù)球的體積公式，可得，故C正確.對于選項D，取的中點，取的中點，連接，，，易知平面平面.因為點為長方形內(nèi)一點，所以點的運動軌跡為線段.在中，過點作，此時取得最小值.由題意可知，，，.根據(jù)余弦定理.再根據(jù)，可得.所以，故D錯誤.故選：BC.11.過點向曲線：引斜率為的切線，切點為，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由題意，設直線，聯(lián)立方程可得，則，解得（負值舍去），所以，故B錯誤；所以，故A正確；因為，又因為，則，即，所以，則，故C正確；因為，所以，且，設函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.展開式中的系數(shù)為______.【答案】40【解析】根據(jù)二項式定理，對于，其展開式的通項公式為.進行化簡，所以.令.解得.將代入到中，所以，即的系數(shù)為40.故答案為：40.13.已知定義域為函數(shù)滿足，且，則______.【答案】【解析】由，令代替，可得，則，可得，由，令，則，所以.故答案為：.14.我國南北朝時期的數(shù)學家祖暅提出了用于計算體積的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”，它的意思可以描述為：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果所截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.如圖，陰影部分是由雙曲線與它的漸近線以及直線所圍成的圖形，將此圖形繞軸旋轉一周，得到一個旋轉體，用祖暅原理可求得這個旋轉體的體積為______.【答案】【解析】雙曲線的漸近線方程為，令直線交漸近線分別為及，由，得，由，，線段繞軸旋轉一周得到旋轉體一個截面，它是一個圓環(huán)，圓環(huán)的內(nèi)徑，外徑，此圓環(huán)面積為，因此此旋轉體垂直于軸的任意一截面面積都為，又旋轉體的高為，由祖暅原理知，此旋轉體的體積等于底面圓半徑為，高為的圓柱的體積.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知.（1）求；（2）若，，求的面積.解：（1）已知，根據(jù)正弦定理化簡可得，則，即．再根據(jù)余弦定理，可得．因為，所以．（2）已知，根據(jù)二倍角公式，則．由正弦定理，已知，，則，即，所以．將代入中，得到．因為，所以，可得，解得．又因為，所以．因為三角形內(nèi)角和為，所以．已知，，可得的面積為．16.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，，求實數(shù)值.解：（1）首先，確定函數(shù)的定義域為.然后，對求導，可得.接下來，分情況討論的正負：當時，對于，，，所以.這表明在上單調(diào)遞減.當時，令，即，則，解得.當時，，，所以，單調(diào)遞減.當時，，，所以，單調(diào)遞增.綜上所得，當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得最小值..因為，所以，即.對不等式進行化簡：，即.令，，對求導，可得.令，即，因為，所以，則，解得.當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.所以在處取得最大值.因為，且，所以，此時.17.如圖，在直角梯形中，，，，.已知，在平面的同側，，平面平面，.（1）求證：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：已知，是等腰三角形.因為是的中點，所以.同理，可得.因為，，且，平面.所以平面.而平面，所以.（2）解：由面面垂直的性質(zhì)定理，因為平面平面，平面平面，且，平面，所以平面.過作，則平面，又，以為原點，分別以所在直線為，，軸建立空間直角坐標系.在中，已知，因為為中點，所以，又，根據(jù)勾股定理.由此可得各點坐標：，，，，，.所以，，.因為，且，，所以.又因為，，所以.設為平面的法向量，則，.由可得，代入中，得到，即，，進一步化簡，則.取，則，，所以.設直線與平面所成角為，則.因為.又，.則，即直線與平面所成角的正弦值為.18.已知橢圓：的左、右焦點分別為，，離心率，過作，交橢圓于點，且.（1）求橢圓的方程；（2）已知，是橢圓上關于軸對稱的兩點，點在橢圓上，直線，分別交軸于，兩點.（ⅰ）證明：；（ⅱ）若點的坐標為，點為平面上一動點（不在直線上），記直線，，的斜率分別為，，，且滿足.判斷動點是否在定直線上？若在定直線上，求出該直線的方程；若不在，請說明理由.解：（1）由橢圓離心率，得，則，橢圓的半焦距，由過作，交橢圓于點，，得，解得，則，所以橢圓的方程為.（2）（ⅰ）設，則，由三點共線，得，則，同理由三點共線，得，而，于是，所以.（ⅱ）設，直線，則，由，得，即，整理得，因此，整理得，而點不在直線上，即，則，即，解得，由（?。┲?，于是，即，所以動點在定直線上，該定直線方程為.19.若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為項數(shù)列，由所有項數(shù)列組成集合.（1）若是15項數(shù)列，當且僅當時，，求數(shù)列的所有項的和；（2）已知，，記，其中且.（?。┣笕〉阶畲笾禃r的值；（ⅱ）若，是兩個不同的數(shù)列，求隨機變量的分布列，并證明：.解：（1）因為是15項數(shù)列，當且僅當時，，所以當和時，．設數(shù)列的所有項的和為S，則，所以數(shù)列的所有項的和為0．（2）（i）因為數(shù)列是從集合中任意取出的兩個數(shù)列，所以數(shù)列為項數(shù)列，所以的可能取值為：．根據(jù)數(shù)列中0的個數(shù)可得，集合中元素的個數(shù)共有個，當時，則數(shù)列中有項取值不同，有項取值相同，從項中選擇項，和在項的某一項數(shù)字相同，其余項，兩者均在同一位置數(shù)字相反，由于，此