高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省商丘市商師聯(lián)盟2023-2024學年高二下學期7月期末聯(lián)考數(shù)學試題考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第三冊，集合與常用邏輯用語，不等式，函數(shù).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，所以.故選：B.2.已知命題，則為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為命題是全稱量詞命題，則命題為存在量詞命題，由全稱量詞命題的否定得，命題：.故選：D.3.設隨機變量，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意知，，解得，所以.故選：D4.五人站成一排拍照，其中甲?乙必須相鄰且兩人均不能站兩端，則不同的站法有（）A.12種 B.24種 C.36種 D.48種【答案】B【解析】由題意，首先將甲、乙兩人捆綁，有種方法，其次將捆綁后的甲、乙安排在中間2個位置，有種方法，最后將剩余3人全排列，有種方法，所以不同的站法有種.故選：B.5.關于的不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.或【答案】B【解析】的解集為R,即恒成立，當時，即，不符合題意，當時，則’解得綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：B6.對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)在同一坐標系內的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】選項A、B中，由對數(shù)函數(shù)圖象得，則二次函數(shù)中二次項系數(shù)，其對應方程的兩個根為，選項A中，由圖象得，從而，選項A可能；選項B中，由圖象得，與相矛盾，選項B不可能；選項D中，由對數(shù)函數(shù)的圖象得，則，二次函數(shù)圖象開口向下，選項D不可能；選項C中，由圖象與軸的交點的位置得，與相矛盾，選項C不可能.故選：A.7.某人外出，委托鄰居給家里盆栽澆一次水，若不澆水，盆栽枯萎的概率為0.8；若澆水，盆栽枯萎的概率為0.2．若鄰居澆水的概率為P，該人回來盆栽沒有枯萎的概率為0.74，則實數(shù)P的值為（）A.0.9 B.0.85 C.0.8 D.0.75【答案】A【解析】記A為事件“盆栽沒有枯萎”，W為事件“鄰居給盆栽澆水”，由題意可得，由對立事件的概率公式可得.由全概率公式可得，解得故選：A8.若數(shù)若關于的方程恰有兩個不同實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】作出的圖象如下圖：可化為，解得或，由圖可知無解，故問題等價于有兩個不相等實數(shù)根，由圖象可得．故選：．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列四個命題中的假命題為（）A.，B.集合與集合是同一個集合C.“為空集”是“A與B至少一個為空集”的充要條件D.命題p：．命題q：．則p是q的充分不必要條件【答案】BCD【解析】A選項，當時，，故，，A為真命題；B選項，集合與集合不是同一個集合，B為假命題；C選項，不妨設，此時“為空集”，但不滿足“A與B至少一個為空集”，故充分性不成立，C為假命題；D選項，，解得或，不妨設，滿足，但不能推出．則p不是q的充分條件，D為假命題.故選：BCD10.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對于A，因為，所以，所以，當且僅當時取等號，故A錯誤；對于B，因為，所以，故，又因，當且僅當時取等號，所以，故B正確；對于C，，當且僅當時取等號，故C正確；對于D，因為，所以，所以，當且僅當時取等號，故D正確.故選：BCD.11.設隨機變量，函數(shù)沒有零點的概率是，則下列說法正確的是（）附：若，則.A.隨機變量的數(shù)學期望是1 B.隨機變量的方差是2C. D.【答案】ACD【解析】當函數(shù)沒有零點時，，解得，又因為沒有零點的概率是，所以，由正態(tài)曲線的對稱性知，所以，即，即隨機變量的數(shù)學期望是，方差是，故A正確，B錯誤；又，所以，則，故C正確；又，所以，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中項的系數(shù)為______.【答案】15【解析】的二項展開式的通項，令，得，所以的展開式的項的系數(shù)為.故答案為：13.已知為偶函數(shù)，且在上單調遞增，若，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】因為為偶函數(shù)，所以，函數(shù)的圖象關于對稱，又在上單調遞增，，所以，解得．故答案為：.14.一質點在平面內每次只能向左或向右跳動1個單位，且第1次向左跳動．若前一次向左跳動，則后一次向左跳動的概率為；若前一次向右跳動，則后一次向左跳動的概率為．記第n次向左跳動的概率為，則________；________．【答案】；【解析】由題意，得，，，由，設，則，，所以數(shù)列是首項為，公比為等比數(shù)列，所以，，所以．故答案為：； 四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）已知，求的最小值；（2）求函數(shù)的定義域.解：（1）因為，所以，則，當且僅當，即時，等號成立．所以（）的最小值為．（2）對于函數(shù)，則，即，解得或，所以函數(shù)的定義域為.16.電視劇《慶余年2》自2024年5月16日在CCTV-8和騰訊視頻雙平臺開播以來，其收視率一路飆升，《慶余年2》劇組為了解該劇的收視情況，在喜歡看電視的居民中隨機抽取了1000名居民進行調查，其中，男性居民和女性居民人數(shù)之比為9：11，且觀看本劇的居民比沒有觀看本劇的居民多800人，沒有觀看本劇的女性居民有50人．（1）完成列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為是否觀看《慶余年2》與性別有關聯(lián)？男性居民女性居民總計看過《慶余年2》沒看過《慶余年2》50總計1000（2）在這1000名居民中，按性別比例用分層隨機抽樣的方法從看過《慶余年2》的居民中隨機抽取9人，并從這9人中隨機抽取3人采訪其觀劇感受，記這3人中男性居民的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．附：，其中．a0.010.0050.0016.6357.87910.828解：（1）男居民人數(shù)人，女居民人數(shù)人，設看過《慶余年2》的人數(shù)為，沒看過《慶余年2》的人數(shù)為，則，

男性居民女性居民總計看過《慶余年2》400500900沒看過《慶余年2》5050100總計4505501000提出假設：是否觀看過《慶余年2》與性別無關，，所以根據(jù)小概率值，可以認為是否觀看過《慶余年2》與性別無關.（2）由（1）可知，在看過《慶余年2》的人中隨機抽取9人中，男性居民有4人，女性居民有5人，服從超幾何分布，，，，，所以的分布列如下表0123.17.腦機接口，即指在人或動物大腦與外部設備之間創(chuàng)建的直接連接，實現(xiàn)腦與設備的信息交換.近日埃隆.馬斯克宣布，腦機接口公司Neuralink正在接收第二位植入者申請，該試驗可以實現(xiàn)意念控制手機和電腦.未來10到20年，我國腦機接口產業(yè)將產生數(shù)百億元的經濟價值.為了適應市場需求，同時兼顧企業(yè)盈利的預期，某科技公司決定增加一定數(shù)量的研發(fā)人員，經過調研，得到年收益增量（單位：億元）與研發(fā)人員增量（人）的10組數(shù)據(jù).現(xiàn)用模型①，②分別進行擬合，由此得到相應的經驗回歸方程，并進行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計算得到下表數(shù)據(jù)，其中.7.52.2582.504.5012.142.88（1）根據(jù)殘差圖，判斷應選擇哪個模型；（無需說明理由）（2）根據(jù)（1）中所選模型，求出關于的經驗回歸方程；并用該模型預測，要使年收益增量超過8億元，研發(fā)人員增量至少多少人？（精確到1）附：對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)，其經驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為解：（1）選擇模型②，理由如下：由于模型②殘差點比較均勻在落在水平的帶狀區(qū)域中，且?guī)顓^(qū)域的寬度比模型①帶狀寬度窄，所以模型②的擬合精度更高，回歸方程的預報精度相應就會越高，所以模型②比較合適.（2）根據(jù)模型②，令與可用線性回歸來擬合，有.則，所以則關于的經驗回歸方程為，所以關于的經驗回歸方程為.由題意，，解得，又為整數(shù)，所以.所以，要使年收益增量超過8億元，研發(fā)人員增量至少為10人.18.已知函數(shù)為偶函數(shù).（1）求的值；（2）設函數(shù)，是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.解：（1）由題意知函數(shù)的定義域為，因為為偶函數(shù)，所以對任意的恒成立，即對任意的恒成立，即對任意的恒成立，即對任意的恒成立，所以，解得.（2）由（1）知所以，令，則，其對稱軸為，①當，即時，在上單調遞減，所以，由，解得，此時不滿足，此時不存在符合題意的值；②當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以，由，解得或，又，所以；③當，即時，在上單調遞增，所以，由，解得，不滿足，此時不存在符合題意的值.綜上所述，存在，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.19.對于定義在上的函數(shù)和，若對任意給定的，不等式都成立，則稱函數(shù)是函數(shù)的“從屬函數(shù)”．（1）若函數(shù)是函數(shù)“從屬函數(shù)”，且是偶函數(shù)，求證：是偶函數(shù)；（2）設，求證：當時，函數(shù)是函數(shù)的“從屬函數(shù)”；（3）若定義在上的函數(shù)和的圖像均為一條連續(xù)曲線，且函數(shù)是函數(shù)的“從屬函數(shù)”，求證：“函數(shù)在上是嚴格增函數(shù)或嚴格減函數(shù)”是“函數(shù)在上是嚴格增函數(shù)或嚴格減函數(shù)”的必要非充分條件．解：因為是上的偶函數(shù)，故對任意的都有．又是上的“從屬函數(shù)”，于是恒成立，即對任意的成立，故是偶函數(shù)；（2）不妨設，當時，在上是嚴格增函數(shù)，有．而，所以，因此，當時，函數(shù)是函數(shù)的“從屬函數(shù)”；（3）舉反例不具備充分性.令，顯然在上是嚴格增函數(shù)，因為，所以函