高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省南陽市六校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試卷考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列實(shí)際問題不適合用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決的是（）A.不良的飲食習(xí)慣是否會(huì)導(dǎo)致腸胃疾病B.某公司的營(yíng)業(yè)額在過去5年逐年變化的情況C.參加課外輔導(dǎo)能否提高學(xué)習(xí)成績(jī)D.男性和女性在職業(yè)選擇偏好上是否有差異【答案】B【解析】獨(dú)立性檢驗(yàn)是通過統(tǒng)計(jì)學(xué)方法來檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量之間是否存在關(guān)聯(lián)性，ACD滿足獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，B選項(xiàng)只是公司的營(yíng)業(yè)額這一個(gè)變量在過去5年的變化情況，不滿足獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想.故選：B.2.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，則（）A.6 B. C. D.【答案】A【解析】故選：A3.已知在等差數(shù)列中，，則（）A.50 B.55 C.60 D.65【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，.故選：D.4.對(duì)于變量，其部分成對(duì)的觀測(cè)值如下表所示：12345267812已知具有線性相關(guān)關(guān)系，且根據(jù)最小二乘法得到的線性回歸方程為，則（）A.0.2 B.0.4 C.0.8 D.1.2【答案】B【解析】由條件可知，，，線性回歸方程必過點(diǎn)，所以，所以.故選：B5.函數(shù)的圖象在處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由函數(shù)，可得，則，且，即切線的斜率為，切點(diǎn)坐標(biāo)為所以的圖象在處的切線方程為，即.故選：C.6.小明每年末存入銀行1000元，年利率為，按復(fù)利計(jì)算，第6年初他的總存款的本息和約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.5000元 B.5526元 C.5856元 D.6000元【答案】B【解析】由題可得按復(fù)利計(jì)算，第6年初他的總存款的本息和約為元.故選：B7.四川艦是我國自主研制建造的型兩棲攻擊艦首艦，是全球首次采用電磁彈射技術(shù)的兩棲攻擊艦.某電磁彈射裝置豎直向上彈出一個(gè)物體，由于自帶動(dòng)力裝置，該物體上升的高度（單位：）與時(shí)間（單位：）的函數(shù)關(guān)系為，則該物體在豎直方向上的瞬時(shí)速度的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，則，易知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以該物體在豎直方向上的瞬時(shí)速度的最大值為，故選：C.8.已知數(shù)列滿足，且，則（）A.182 B.173 C.164 D.155【答案】D【解析】因?yàn)?，則，，，…，，將這個(gè)式子相加，可得，化簡(jiǎn)得，又，，則.故選：D.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.2025年，我國大力推進(jìn)新能源汽車行業(yè)發(fā)展.某研究機(jī)構(gòu)對(duì)10個(gè)城市的“公共充電樁密度”（單位：個(gè)）和“新能源汽車通勤效率提升率”進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，計(jì)算得到線性回歸方程為，樣本相關(guān)系數(shù).則下列說法正確的是（）A.公共充電樁密度每增加1，新能源汽車通勤效率提升率大約增加B.公共充電樁密度與新能源汽車通勤效率提升率呈高度正線性相關(guān)關(guān)系C.若某區(qū)域公共充電樁密度為5個(gè)，可預(yù)測(cè)其新能源汽車通勤效率提升率為D.因?yàn)?，所以可認(rèn)為新能源汽車通勤效率提升率由公共充電樁密度決定【答案】ABC【解析】對(duì)于A，回歸方程中，斜率表示公共充電樁密度每增加1，新能源汽車通勤效率提升率大約增加，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，樣本相關(guān)系數(shù)，絕對(duì)值接近且為正，說明兩者呈高度正線性相關(guān)關(guān)系，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，將代入回歸方程，得，即可預(yù)測(cè)其新能源汽車通勤效率提升率為，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，相關(guān)系數(shù)高說明相關(guān)性強(qiáng)，但不能直接推斷因果關(guān)系，即不能推斷新能源汽車通勤效率提升率由公共充電樁密度決定，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.10.下列求導(dǎo)正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A，若，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，故B正確；對(duì)于C，若，，故C正確；對(duì)于D，若，，故D正確.故選：BCD11.設(shè)和是兩個(gè)不同的無窮數(shù)列，且均不是常數(shù)列.記集合，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若和均為等比數(shù)列且公比相同，則為空集B.若和均為等差數(shù)列且公差不同，則中可能有無窮多個(gè)元素C.若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則中最多有3個(gè)元素D.若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則中最少有1個(gè)元素【答案】AC【解析】對(duì)于A，和均為等比數(shù)列且公比相同，設(shè)公比為，且，則，，顯然，所以為空集，故A正確；對(duì)于B，和均為等差數(shù)列且公差不同，設(shè)，，且，若，則，因?yàn)?所以中最多只有一個(gè)元素，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，，若，則，若且時(shí)，分布在圖象上，分布在圖象上，根據(jù)和圖象，可得關(guān)于方程至多有2個(gè)不同的解，若且時(shí)，分布在圖象上，分布在圖象上，根據(jù)與圖象，可得關(guān)于的方程至多有3個(gè)不同的解，所以可得C正確；對(duì)于D，為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則兩數(shù)列的圖象至多有一個(gè)交點(diǎn)，則中最多有1個(gè)元素，故D錯(cuò)誤.故選：AC三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.2024年，杭州某科技公司研發(fā)的智能掃地機(jī)器人銷量持續(xù)增長(zhǎng).已知該產(chǎn)品2024年前七個(gè)月的月銷量（單位：萬臺(tái)）與月份的函數(shù)關(guān)系為，則1月到3月月銷量的平均增長(zhǎng)率為__________萬臺(tái)/月.【答案】11【解析】由題意可得1月到3月月銷量的平均增長(zhǎng)率為，故答案為：1113.已知數(shù)列滿足，且，則__________.【答案】【解析】因?yàn)?，，所以，，，，，即，，所以，所以，又因?yàn)椋?，，所以，所以?shù)列為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，故，故答案為：.14.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，則使得的正整數(shù)的最小值為______.【答案】7【解析】由，則，因?yàn)?，所以，，即，化?jiǎn)整理得，解得或，又，，則的最小值為7.故答案為：7.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.記是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，由可得，解得，則.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可知，，設(shè)，則由等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得.16.某科技公司2025年計(jì)劃推出量子加密通信設(shè)備，該設(shè)備可實(shí)時(shí)保護(hù)數(shù)據(jù)傳輸，目標(biāo)用戶為學(xué)校、企業(yè)和自由開發(fā)者.該公司調(diào)查了不同用戶對(duì)該設(shè)備的需求情況，得到數(shù)據(jù)如下（單位：個(gè)）：學(xué)校企業(yè)自由開發(fā)者有需求170無需求120已知調(diào)查了400個(gè)學(xué)校和150個(gè)自由開發(fā)者.（1）求和的值；（2）估計(jì)目標(biāo)用戶對(duì)該設(shè)備有需求的概率；（3）是否有的把握認(rèn)為學(xué)校用戶與非學(xué)校用戶對(duì)該設(shè)備的需求情況有差異？附：.0.10.010.0012.7066.63510.828解：（1）由題得；（2）由題可得估計(jì)目標(biāo)用戶對(duì)該設(shè)備有需求的概率為；（3）列出列聯(lián)表：學(xué)校用戶非學(xué)校用戶總計(jì)有需求300270570無需求100170270總計(jì)400440840零假設(shè)學(xué)校用戶與非學(xué)校用戶對(duì)該設(shè)備的需求情況無差異.由表格得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，所以有的把握認(rèn)為學(xué)校用戶與非學(xué)校用戶對(duì)該設(shè)備的需求情況有差異.17.某健身俱樂部為了研究會(huì)員每周鍛煉時(shí)間（單位：）與體重減少量（單位：）的關(guān)系，隨機(jī)選取了5名會(huì)員進(jìn)行跟蹤調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)：（1）求每周鍛煉時(shí)間與體重減少量的樣本相關(guān)系數(shù)；（保留兩位小數(shù)）（2）求體重減少量關(guān)于每周鍛煉時(shí)間的線性回歸方程，并估計(jì)當(dāng)某會(huì)員每周鍛煉時(shí)間為時(shí)的體重減少量.參考公式：相關(guān)系數(shù)；在線性回歸方程中，.解：（1）由題，，，，，，所以相關(guān)系數(shù).（2）由（1），可得，，所以體重減少量關(guān)于每周鍛煉時(shí)間的線性回歸方程為，當(dāng)時(shí)，.估計(jì)當(dāng)某會(huì)員每周鍛煉時(shí)間為時(shí)的體重減少量為.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）在（2）的條件下，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和滿足，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1），所以數(shù)列的前項(xiàng)和，所以，所以，所以.（3）由（2）若對(duì)任意恒成立，則對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，因?yàn)闉樯系臏p函數(shù)，所以，所以.19.在數(shù)列中，已知，