高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知等差數(shù)列滿足，則（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以故選：B.2.已知空間向量，，，且，，共面，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.0 D.1【答案】D【解析】因共面，所以存在實(shí)數(shù)，使得，即所以，解得.故選：D.3.如圖，過圓內(nèi)一點(diǎn)作兩條弦，且過圓心，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】取的中點(diǎn)，連接，則，圓的半徑，則，，所以.故選：B.4.過原點(diǎn)O作曲線的切線，其斜率為2，則實(shí)數(shù)（）A.e B.2 C. D.【答案】D【解析】設(shè)切點(diǎn)，則，故切點(diǎn)處的切線方程為，故，將代入得，故，解得或，若，則，此時(shí)無解，故不符合題意，若，則，故，此時(shí)滿足題意，故選：D5.已知雙曲線（）的兩條漸近線為，，過雙曲線右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線交，分別于點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由雙曲線方程得其漸近線方程為，由題知軸且過右焦點(diǎn)，令，得，.則的面積，解得.雙曲線（），，解得.故選：.6.如圖，平面平面，四邊形為正方形，四邊形為菱形，，則直線所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取的中點(diǎn)，連接,四邊形為的菱形，所以，由于平面平面，且兩平面交線為，,平面，故平面,又四邊形為正方形，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則,故,則，又故，故直線所成角的正弦值，故選：C7.若是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，則，令，即，而，則可得，故要使得是R上的增函數(shù)，需滿足，解得，故選：C8.已知等比數(shù)列滿足，公比，且，，則當(dāng)最小時(shí)，（）A.1012 B.1013 C.2022 D.2023【答案】A【解析】由題意知，故，則，即，結(jié)合等比數(shù)列滿足，公比，可知，由，得，即得，故，即，由此可得，故當(dāng)最小時(shí)，，故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知點(diǎn)在拋物線（）上，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，，則下列說法正確的是（）A. B.點(diǎn)F的坐標(biāo)為C.直線AQ與拋物線相切 D.【答案】AC【解析】將代入中可得，故，F(xiàn)1,0,A正確，B錯(cuò)誤，,則AQ方程為，則，，故直線AQ與拋物線相切，C正確，由于軸，所以不成立，故D錯(cuò)誤，故選：AC10.從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)字，記事件“取到數(shù)字1或數(shù)字2”，事件“取到數(shù)字1或數(shù)字3”，事件“取到數(shù)字2或數(shù)字4”，則下列說法正確的是（）A.事件相互獨(dú)立B.事件為對(duì)立事件C.D.設(shè)事件發(fā)生的次數(shù)為，則【答案】AB【解析】對(duì)于A，，則，所以事件相互獨(dú)立，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)槌槿〉降臄?shù)字是或或或，而事件不可能同時(shí)發(fā)生且必有一個(gè)發(fā)生，所以事件為對(duì)立事件，故B正確；對(duì)于C，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意可取，則，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，且E為AB的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.B.C.直線與夾角的余弦值為D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】BD【解析】對(duì)于A,,,故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，,故，B正確，對(duì)于C，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則,可得,故，所以直線與夾角的余弦值為，C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由，可得，其中為點(diǎn)到平面距離，故D正確，故選：BD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，且，則________．【答案】【解析】,故答案為：13.將2名女生和3名男生分配到兩個(gè)不同的興趣小組，要求每個(gè)興趣小組分配男生、女生各1人，則不同的分法種數(shù)為________．【答案】12【解析】每個(gè)小組安排一個(gè)女生，有種方法，每個(gè)小組安排一名男生，有種方法，故每個(gè)興趣小組分配男生女生各1人，共有種方法，故答案為：1214.將（）的展開式中第m項(xiàng)的系數(shù)記作，則________（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】由題意可得，則.故答案為：.四、解答題：共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和（）．（1）求的值；（2）證明：；（3）證明：．解：（1）當(dāng)時(shí)，，又，所以.（2）因?yàn)?，所以（時(shí)取“”）.所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）.（3）由（2）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）.所以，，，…，.各式相加得：.即.16.如圖，在三棱錐中，，，，．（1）證明：平面PAB；（2）過的中點(diǎn)作平面與平面ABC平行，并分別交，于點(diǎn)，，且E為的中點(diǎn)，求二面角的正弦值．解：（1）在中，，，所以.在中，，，，因?yàn)?，所?即，又，平面，，所以平面.因?yàn)槠矫妫?，又，平面，，所以平面?）如圖：以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)槠矫嫫矫妫覟橹悬c(diǎn)，則為中點(diǎn).則,,,,,.所以，，.設(shè)平面的法向量為，則，取；設(shè)平面的法向量為，則，取.設(shè)二面角為，則，所以.17.已知直線分別交x軸、y軸于P，Q兩點(diǎn)，并交橢圓C：（）于不同的兩點(diǎn)，且三等分線段．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若斜率為1的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線l的方程．解：（1）直線分別交x軸、y軸于P，Q兩點(diǎn)，故,由于是線段的三等分點(diǎn)，所以,故，將代入橢圓方程可得，故橢圓方程為，（2）設(shè)直線：，則，設(shè),則，故，點(diǎn)到直線的距離，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，時(shí)，，符合題意，故的面積最大時(shí)，求直線l的方程為18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)為增函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，所以函數(shù)為增函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，，，，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，又，所以存在，使得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，所以．19.一個(gè)袋子中有大小、形狀、質(zhì)地完全相同的n（）個(gè)球，號(hào)碼分別標(biāo)為1，2，，…，，從中有放回地隨機(jī)摸球3次，每次摸球2個(gè)，把每次摸到的2個(gè)球號(hào)碼之和記下，分別為，，．（1）若，求的概率；（2）求的值