勤建學(xué)校高一年級(jí)下學(xué)期第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷2025.5（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第一部分（選擇題共58分）選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．計(jì)算：2i2?iA．23+43iB．?22．如果e1,eA．e2,eC．e1?3e3．如圖，△ABC的斜二測(cè)直觀圖為等腰直角三角形A′B′C′，其中A′B

A．62 B．63 C．6 4．在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則EBA．34AB?14ACB．15．下列說(shuō)法正確的是（

）A．空間中兩直線的位置關(guān)系有三種：平行、垂直和異面B．若空間中兩直線沒(méi)有公共點(diǎn)，則這兩直線異面C．和兩條異面直線都相交的兩直線是異面直線D．若兩直線分別是正方體的相鄰兩個(gè)面的對(duì)角線所在的直線，則這兩直線可能相交，也可能異面6．在△ABC中，AB=7,BC=3,∠ACB=2π3，則△ABCA．1534 B．1532 C．7．如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB，某測(cè)量隊(duì)選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D．現(xiàn)測(cè)量得∠CDB=120°,CD=30米，在點(diǎn)C,D處測(cè)得塔頂A的仰角分別為30°,A．30米 B．302米 C．303米 D．8．已知一個(gè)圓臺(tái)內(nèi)接于球O（圓臺(tái)的上、下底面的圓周均在球面上）.若該圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為1和2，且其表面積為5+32π，則球O的體積為（A．32π3 B．5π C．20二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．若m//α,n//α，則m//nB．若m//n，m//α，則n//αC．若m?α，n?β，則m，n是異面直線D．若α//β，m?α，n?β，則m//n或m，n是異面直線10．△ABC中，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．a(chǎn)sinA=bsinBC．若A>B，則sinA>sinB D．若11．如圖，AC為圓錐SO底面圓O的直徑，點(diǎn)B是圓O上異于A，C的點(diǎn)，SO=OC=2，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓錐SO的側(cè)面積為82B．三棱錐S-ABC體積的最大值為8C．∠SAB的取值范圍是πD．若AB=BC，E為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則SE+CE的最小值為2(第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知i為虛數(shù)單位，x,y∈R，若x?ii=y?213．已知向量a=x,1,b=2,?1,c=(?4,y)，若a//14．已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為24，則這個(gè)球的表面積為.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。15．（13分）已知向量a=?1,?1，(1)求向量a與b的夾角θ的大??；(2)若向量c=x,y滿足c=?y16．（15分）已知復(fù)數(shù)z1=1+ai（其中a∈R且(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)若z2=z17．（15分）如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，D為棱AC的中點(diǎn)，(1)證明：AB1//平面(2)證明：平面A1B118．（17分）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足2acosB+b=2c，(1)求A；(2)若△ABC為銳角三角形，求周長(zhǎng)的取值范圍；(3)若△ABC的內(nèi)切圓半徑r=536，求△ABC19．（17分）如圖，三棱錐P?ABC各棱長(zhǎng)均為1，側(cè)棱上的D、E、F滿足PD=DA，BEBP=PFPC=λ，線段BC上的點(diǎn)G滿足(1)Q在PC上，AQ//DF，求證：平面AGQ//(2)若GC=2BG，且λ≠12，求(3)求三棱錐G?DEF體積的最大值.勤建學(xué)校高一年級(jí)下學(xué)期第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷參考答案題號(hào)12345678答案DCDADAAC題號(hào)91011121314答案ABCABDBD-11012π1．D【詳解】2i2．C【詳解】根據(jù)平面基底的定義知，向量e1,e2為不共線非零向量，即不存在實(shí)數(shù)對(duì)于A中，向量e2和e1?2e2對(duì)于B中，向量e1+2e2,可得1=2λ2,2=λ對(duì)于C中，向量e1?3e2和6e可得1=?2λ3,?3=6λ3,對(duì)于D中，向量e1?e2和e1?3e2可得1=λ4,?1=?3λ3．D【詳解】將直觀圖還原為原圖，如圖，由A′B′=B所以AC=2A′C即原平面圖形的面積是122．A【詳解】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得BE=12BA所以EB=5．D【詳解】對(duì)于A，空間中兩直線的位置關(guān)系有三種：平行、相交和異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若空間中兩直線沒(méi)有公共點(diǎn)，則這兩直線異面或平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，和兩條異面直線都相交的兩直線是異面直線或相交直線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A當(dāng)A′B所在直線為a,BC′所在直線為b時(shí)，當(dāng)A′B所在直線為a,B′C所在直線為b若兩直線分別是正方體的相鄰兩個(gè)面的對(duì)角線所在的直線，則這兩直線可能相交，也可能異面，故D正確.6．A【詳解】AB=7,BC=3,∠ACB=2由余弦定理得cos∠ACB=BC2+A則△ABC的面積為127．A【詳解】設(shè)該塔的高度為?米，則BC=AB在△BCD中，BC即3?2=?2+900?2?×30cos8．C【詳解】設(shè)圓臺(tái)母線長(zhǎng)為l，上、下底面半徑分別為r1和r2則圓臺(tái)側(cè)面積為S=π上、下底面面積分別為π和4π由圓臺(tái)表面積為5+32π，得所以圓臺(tái)高?=l設(shè)球O半徑為R，圓臺(tái)軸截面ABCD為等腰梯形，且AB=4,CD=2，高為1.作OM⊥AB于點(diǎn)M，設(shè)OM=x，由r12+?2=2<r所以球O的體積為2059．ABC【詳解】A：當(dāng)m//α,n//α?xí)r，m，n可以相交、平行、異面，因此本選項(xiàng)不正確；B：當(dāng)m//n，m//α?xí)r，直線n可以在平面α內(nèi)，因此本選項(xiàng)不正確；C：當(dāng)m?α，n?β時(shí)，m，n是可以是相交直線、平行直線、異面直線，因此本選項(xiàng)不正確；D：因?yàn)棣?/β，m?α，n?β，所以直線m，n是兩條沒(méi)有交點(diǎn)的直線，所以m//n或m，n是異面直線，因此本選選項(xiàng)正確，10．ABD【詳解】A選項(xiàng)，由正弦定理得asinB選項(xiàng)，若a2+b所以C為銳角，但無(wú)法判斷A,B兩個(gè)角是否是銳角，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，若A>B，則a>b，由正弦定理得sinA>D選項(xiàng)，若sinB+由正弦定理得b+c=11．BD【詳解】由已知SC=22，圓錐側(cè)面積為S=π×OC×SC=π×2×2B在圓周上，易得S△ABCmax=cos∠SAB=12ABSA=AB42AB=BC時(shí)，把△SAB和△ABC攤平，如圖，SE+CE的最小值是SC，此時(shí)，AB=BC=22=SA=SB，AB⊥BC，SC=S12．?1【詳解】由題設(shè)1+xi=y?2i，則x=?2,y=113．10【詳解】因?yàn)閍=x,1，b=2,?1，且a//即a=x,1=kb=(2k,?k)，則?k=1，2k=x，解得k=?1,x=?2因?yàn)閎⊥c，所以b?c=?8?y=0，解得y=?8因?yàn)?a=?4,2由向量模的坐標(biāo)運(yùn)算公式得2a14．12π.【詳解】設(shè)正方體邊長(zhǎng)a，正方體外接球的半徑為R由正方體的表面積為24，所以6a2=24則a=2，又所以外接球的表面積為：4π15．(1)θ=3π4【詳解】（1）因?yàn)閍=?1,?1，b=因?yàn)?≤θ≤π，故θ=3（2）因?yàn)橄蛄縞=x,y滿足所以x=yy=y+1?x，解得x=y=1所以c=故c=116．(1)a=?1(2)2+【詳解】（1）因?yàn)閦1=1+ai∵z12是純虛數(shù)，1?a又∵a<0，∴a=?1；........................................7分（2）∵z1=1?i∴z2的共軛復(fù)數(shù)為2+i17．【詳解】（1）連結(jié)B1C交BC1于O在正三棱柱ABC?A1B1C所以四邊形BB1C1C因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)D為△AB1C因?yàn)锳B?平面C1BD，OD?平面所以AB1//平面（2）在正三棱錐柱ABC?A1B1CAC=AA1，AA1⊥AC因?yàn)镈,E分別是AC,CC1的中點(diǎn)，所以DE是所以AC1//DE，又因?yàn)锳在正三棱柱中CC1⊥平面ABC，BD?平面ABC在正三角形ABC中，D為AC的中點(diǎn)，所以BD⊥AC，因?yàn)镃C1∩AC=C，CC1,AC?平面因?yàn)锳1C?平面ACC因?yàn)镈E⊥A1C,BD∩DE=D,BD,DE?所以A1C⊥平面因?yàn)锳1C?平面A1B1C18．(1)A=π3(2)(53【詳解】（1）由2acosB+b=2c，可得∴2sin∴2sin∴sinB=2cosAsin∴cosA=1∴A=π3（2）由（1）A=π3，由正弦定理得b=10∴a+b+c=5+=5+10因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以π6∴B+π6∈∴a+b+c∈5所以△ABC的周長(zhǎng)范圍為53+5,15（3）由S△ABC∴34bc=由余弦定理得b2+c∴b+c2?25=25+5解得b+c=10或?5（舍去），所以S△ABC=19．(1)證明見(jiàn)解析(2)λ=13(3)【詳解】（1）如下圖所示：因?yàn)锳Q//DF，AQ?平面DEF，DF?平面DEF，所以AQ//又因?yàn)锳G//平面DEF，AG∩AQ=A，AG、AQ?平面AGQ所以平面AGQ//平面DEF.（2）過(guò)點(diǎn)A在平面APC內(nèi)作AQ//DF交PC于點(diǎn)Q，連接因?yàn)锳Q//DF，AQ?平面DEF，DF?平面DEF，所以AQ//又因?yàn)锳G//平面DEF，AG∩AQ=A，AG、AQ?平面AGQ所以平面AGQ//平面DEF因?yàn)槠矫鍮CD∩平面DEF=EF，平面BCD∩平面AGQ=GQ，所以EF//因?yàn)镈為PA的中點(diǎn)，DF//AQ，則F為因?yàn)锽EBP=PFPC=λ，且正三棱錐P?ABC的棱長(zhǎng)均為1，則PF=λ所以，EF=GQ=因?yàn)镋F//GQ，所以，EF//GQ，則存在即λ?1PB因?yàn)镻B、PC不共線，則λ?1=?23k綜上所述，λ=13（3）因?yàn)锳G//平