課時(shí)規(guī)范練45利用空間向量證明平行、垂直與利用空間向量求距離1.(15分)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=3,BC=2,D是BC的中點(diǎn),F是CC1上一點(diǎn),且CF=2.(1)求證:B1F⊥平面ADF;(2)若C1P=13C12.(15分)(2024·江西宜春模擬)已知在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E,F分別是線段AB,BC的中點(diǎn).(1)求證:PF⊥FD.(2)在線段PA上是否存在點(diǎn)G,使得EG∥平面PFD?若存在,確定點(diǎn)G的位置;若不存在,請說明理由.3.(15分)斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都為2,∠A1AB=60°,點(diǎn)A1在下底面ABC的投影為AB的中點(diǎn)O.(1)在棱BB1(含端點(diǎn))上是否存在一點(diǎn)D,使A1D⊥AC1?若存在,求出BD的長;若不存在,請說明理由.(2)求點(diǎn)A1到平面BCC1B1的距離.4.(15分)已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=90°,2AB=2AD=CD,側(cè)面PAD是正三角形且垂直于底面ABCD,E是PC的中點(diǎn).(1)判定直線BE與平面PCD的位置關(guān)系,并說明理由;(2)在PB上是否存在一點(diǎn)F,使AF∥平面BDE.答案：1.證明(1)因?yàn)锳B=AC,D是BC的中點(diǎn),所以AD⊥BC,取B1C1的中點(diǎn)D1,則DD1⊥平面ABC,分別以CB,AD,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)锳B=AC=AA1=3,BC=2,所以A(0,-22,0),B(1,0,0),C(-1,0,0),A1(0,-22,3),B1(1,0,3),C1(-1,0,3),因?yàn)镃F=2,所以F(-1,0,2).故B1F=(-2,0,-1),DA=(0,-22,0),DF=(-1,0,2).因?yàn)锽1F·DA=0,B1F·DF=0,所以B1F⊥AD,B1F⊥DF,又AD∩DF=D,AD,DF?平面(2)因?yàn)镃1P=13C1A1=13(1,-22,0)=(13,-223,0),所以P(-23,設(shè)平面ADB1的法向量為n=(x0,y0,z0),則n·DA=0,n·AB1=0,有-22y0=0,x0+22y0+3z0=0,2.(1)證明在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,則直線AB,AD,AP兩兩垂直,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A(0,0,0),B(1,0,0),F(1,1,0),D(0,2,0),令P(0,0,t)(t>0),于是PF=(1,1,-t),DF=(1,-1,0),因此PF·DF=1×1+1×(-1)-t×0=0,即PF⊥DF,所以(2)解由(1)知,E(12,0,0),假定存在點(diǎn)G滿足條件,設(shè)G(0,0,m)(0≤m≤t),EG=(-12,0,m設(shè)平面PFD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則n·PF=x+y-tz=0,n·DF=x-y=0,令z=2,得n=(t,t,2),令EG·n=-12t+2m=0,解得m=14t,此時(shí)EG⊥n,又E3.解(1)連接OC,因?yàn)锳C=BC,O為AB的中點(diǎn),所以O(shè)C⊥AB,由題意知A1O⊥平面ABC,又AA1=2,∠A1AO=60°,所以A1O=3以點(diǎn)O為原點(diǎn),OA,OC,OA1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A1(0,0,3),A(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,3,0),由A1B1=AB=(-2,0,0),得B1(-2,0,3),由A1C1=AC=(-1,3,0),得C1(-1,3,3),設(shè)BD=tBB1=t(-1,0,3)=(-t,0,3t),t∈[0,1],得D(-1-t,0,3t),又AC1=(-2,3,3),A1D=(-1-t,0,3t-3),若A1D⊥AC1,即AC1·A1D=0,得-2(-1-t)(2)設(shè)平面BCC1B1的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),又BC=(1,3,0),CC1=AA1則有n·BC=x+3y=0,n·CC1=-x+3z=0,取x=3,則n=4.解(1)直線BE⊥平面PCD,理由如下:依題意,取AD的中點(diǎn)O,連接PO,因?yàn)椤鱌AD為等邊三角形,所以PO⊥AD,又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,PO?平面PAD,所以PO⊥平面ABCD,以AD的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB=AD=2,則B(1,2,0),C(-1,4,0),D(-1,0,0),P(0,0,3),E(-12,2,32).所以BE=(-32,0,32),PC=(-1,4,-3),CD=(0,-4,0),所以BE·PC=(-32,0,32)·BE·CD=(-32,0,32)·(0,-4,0)=0,即BE⊥PC,BE⊥CD,又PC∩CD=C,PC,CD?平面PCD,所以BE(2)存在,設(shè)平面BDE的法向量為n=(x,y,z),所以n令y=-1,則x=1,z=3,所以平面BDE的一個(gè)法向量為n=(1,-1,3).取PB的中點(diǎn)F,則F(12,1,32).又A(1,0,0),所以AF=(-12,1,因?yàn)锳F·n=(-12,1,32)·(1,-1,3)=0,所以又AF?平面BDE,所以AF