數(shù)學(xué)

人教版

七年級下冊

相交線與平行線第七章7.1.2兩條直線垂直第7章

相交線與平行線情境引入天安門廣場的升國旗儀式一招一式欣賞性極強(qiáng)，人們概括有“五絕”.一絕：升旗；二絕：護(hù)旗；三絕：敬禮；四絕：禮畢；五絕：收旗.其中的每招每式都有極其嚴(yán)格的要求.每一次，當(dāng)擎旗手以優(yōu)美的動作，在國歌奏響第一個音符時，將國旗展開拋出，到國歌的最后一個音符終止，都是2分07秒，國旗也準(zhǔn)時到達(dá)30米高的旗桿頂端，做到了分秒不差.可是，你看著旗桿與地面，會想到旗桿與地面有怎樣的位置關(guān)系呢？情境引入思考：日常生活中，圖中的兩條直線的關(guān)系很常見，你能舉出其他例子嗎？新知探究思考：當(dāng)轉(zhuǎn)動一木條的位置時，什么也隨著發(fā)生了變化？學(xué)習(xí)筆記新知探究定義：在兩條直線AB和CD相交所成的4個角中，如果有一個角是直角，就說這兩條直線互相垂直；記作“AB⊥CD”，讀作“AB垂直于CD”；其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)O叫做垂足.如圖.垂足垂線垂線新知探究思考：如圖，當(dāng)∠AOC＝90°時，∠BOD、∠AOD、∠BOC的度數(shù)是多少？ABCDO由對頂角和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可知，

當(dāng)∠AOC＝90°時，∠BOD=∠AOD=∠BOC=90°.學(xué)習(xí)筆記新知探究如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，若∠BOC=90°，則AB，CD互相垂直，記作“AB⊥CD”，讀作“AB垂直于CD”，直線AB叫做直線CD的垂線(或直線CD叫做直線AB的垂線)，交點(diǎn)O叫做垂足.如果用l、m表示這兩條直線，那么直線l與直線m垂直，可記作：l⊥m

(或

m⊥l

).ABCDOlm兩條直線互相垂直是它們相交的一種特殊情況.學(xué)習(xí)筆記新知探究ABCDO符號語言：①判定：如圖，若直線

AB與

CD相交于點(diǎn)

O，∠AOD=90°，則

AB⊥CD，垂足為

O.因?yàn)椤螦OD=90°（已知）,所以AB⊥CD（垂直的定義）.②性質(zhì)：若直線

AB⊥CD，垂足為

O，則∠AOD=90°.因?yàn)?/p>

AB⊥CD（已知），所以∠AOD=90°（垂直的定義）.(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)垂直的判定與性質(zhì)符號語言：典例精析例1如圖，CO⊥AB于點(diǎn)O，∠AOE＝∠COF，則射線OE，OF是什么位置關(guān)系？請說明理由.解：射線OE，OF互相垂直．理由如下：因?yàn)镃O⊥AB，所以∠AOC＝90°.又因?yàn)椤螦OE＝∠COF，所以∠AOE＋∠COE＝∠COF＋∠COE，即∠AOC＝∠EOF＝90°.

所以O(shè)E與OF互相垂直(垂直定義)．歸納總結(jié)典例精析判斷兩直線(線段、射線所在直線)互相垂直，主要依據(jù)是垂直定義，只要說明兩條相交直線所構(gòu)成的四個角中有一個角是直角即可．垂線的定義具有雙重作用：①知線垂直得直角；②知直角得線垂直.典例精析例2如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，過O點(diǎn)畫射線OE，OF，使OE⊥CD，OD平分∠BOF.如果∠BOE＝50°，求∠AOC，∠EOF和∠AOF的度數(shù).解：因?yàn)镺E⊥CD，所以∠DOE＝90°(垂直定義)．因?yàn)椤螧OE＝50°，所以∠AOC＝∠BOD＝∠DOE－∠BOE

＝90°－50°＝40°.因?yàn)镺D平分∠BOF，所以∠BOF＝2∠BOD＝80°.所以∠EOF＝∠BOF＋∠BOE＝80°＋50°＝130°，∠AOF＝∠AOB－∠BOF＝180°－80°＝100°.典例精析例3如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，∠AOC=45°，∠AOD=3∠DOE.圖中是否存在互相垂直的直線？若存在，請寫出互相垂直的直線；若不存在，請說明理由.解：存在，OE⊥AB.理由如下：因?yàn)椤螦OC=45°，所以∠AOD=180°-∠AOC=180°-45°=135°.因?yàn)椤螦OD=3∠DOE，所以3∠DOE=135°，所以∠DOE=45°，所以∠AOE=∠AOD-∠DOE=135°-45°=90°，所以O(shè)E⊥AB.新知探究1.落.2.畫.lO如圖，已知直線l，作l的垂線.A這樣畫直線

l的垂線可以畫幾條？無數(shù)條.新知探究A1.落.2.移.3.畫.如圖，已知直線l和l上的一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作l的垂線.一條.這樣畫直線

l的垂線可以畫幾條？l歸納總結(jié)典例精析用三角尺畫垂線的方法：一貼，用三角尺的一條直角邊貼住已知直線；二靠，用三角尺的另一條直角邊靠住已知點(diǎn)；三畫，畫出垂線.

如果作線段互相垂直或作射線的垂線，實(shí)際上是作線段所在的直線互相垂直，或作射線所在的直線的垂線，因?yàn)樯渚€和線段都是直線的一部分.在垂線的畫法中，有時需延長線段，垂足在延長線上，并記上直角符號“﹁”.歸納總結(jié)新知探究經(jīng)過一點(diǎn)(已知直線上或直線外)，能畫出已知直線的一條垂線，并且只能畫出一條垂線.即在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.在平面內(nèi)，不是在空間內(nèi)，這是需要注意的條件:其中，一點(diǎn)可以是直線上一點(diǎn)也可以是直線外一點(diǎn)；“有且只有”中的“有”是指能畫出一條已知直線的垂線，即存在性，“只有”是指只能畫一條，即唯一性.新知探究AA思考：如果直線并不是水平的你還會畫嗎？典例精析點(diǎn)A在直線l上點(diǎn)A在直線l外lAlA思考：除了用三角板畫直角，你還能有什么方法畫垂線？還可以用折紙的方法畫垂線，你知道嗎？新知探究練習(xí)：分別過點(diǎn)P作線段MN的垂線.MNPMNPQPMNQPMNQ典例精析例4如圖，M是三角形ABC中BC邊上的任意一點(diǎn)，請你按照下列要求畫圖：(1)過M點(diǎn)畫直線AB的垂線m；(2)過M點(diǎn)畫直線BC的垂線n；(3)過M點(diǎn)畫直線AC的垂線p.解：如圖所示，即為所求.ABC歸納總結(jié)典例精析過已知點(diǎn)畫已知直線的垂線，實(shí)際上就是過已知點(diǎn)畫一條直線，使所畫直線與已知直線相交所成的角是90°典例精析例5如圖，已知直線AB，CB，l在同一平面內(nèi)，若AB⊥l，垂足為B，CB⊥l，垂足也為B，則符合題意的圖形可以是(

)C歸納總結(jié)典例精析利用直線的性質(zhì)解答題目，要注意直線性質(zhì)滿足的條件：1.在平面內(nèi)；2.過一點(diǎn)，點(diǎn)的位置可以在直線上也可以在直線外；3.相交所成的角必須是直角，以上三條缺一不可.新知探究CDEl再從點(diǎn)A向已知直線l畫幾條不垂直的線段.B

A如圖，點(diǎn)A為直線l外一點(diǎn)，AD⊥l，垂足為D，稱AD為點(diǎn)A到直線l的垂線段.線段AB，AC，AD，AE中誰最短？你能用一句話表示這個結(jié)論嗎？學(xué)習(xí)筆記新知探究垂線段的性質(zhì)：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.簡單說成：垂線段最短.

點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離.如圖，線段AD

的長度是點(diǎn)A到直線l的距離.CDElB

A小提醒新知探究(1)連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)有無數(shù)條線段，但垂線段只有一條.(2)垂線是一條直線，長度不可以度量，而垂線段是一條線段，長度可以度量.(3)垂線段是幾何圖形，而點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線的垂線段的長度，是一個數(shù)量.新知探究思考：在施肥時，要把從公路上運(yùn)到農(nóng)田的肥料轉(zhuǎn)移到農(nóng)田P處，如何設(shè)計搬運(yùn)路線才能是最短的？請?jiān)趫D中畫出來，并說明理由.m垂線段最短.P典例精析例6如圖，點(diǎn)A，B，C在直線l上，PB⊥l，PA=6cm，PB=5cm，PC=7cm，則點(diǎn)P到直線l的距離是

cm.解：因?yàn)镻B⊥l，PB=5cm，

所以點(diǎn)P到直線l的距離是5cm.5典例精析例7如圖，高鐵站、碼頭分別位于A，B兩點(diǎn)，直線a和b分別表示河流與鐵路.(1)從高鐵站到碼頭怎樣走最近，畫圖并說明理由；(2)從碼頭到鐵路怎樣走最近，畫圖并說明理由；(3)從高鐵站到河流怎樣走最近，畫圖并說明理由.AaBb兩點(diǎn)之間線段最短垂線段最短垂線段最短垂線垂線定義：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且

只有一條直線與已知直線垂直.性質(zhì):若直線

AB⊥CD，

垂足為

O，則∠AOD=90°.畫法:一貼二靠三畫垂線段性質(zhì)：連接直線外一點(diǎn)與直線上各

點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.點(diǎn)到直線的距離：

直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離.隨堂演練2.如圖，CD⊥AB,∠ACB=90°,

線段AC，BC，CD中最短的是（）A.AC

B.CD

C.BCD.不能確定BDABC1.已知點(diǎn)A，與點(diǎn)A的距離是5cm的直線可畫（）

A.1條

B.2條

C.3條

D.無數(shù)條D隨堂演練3.已知在同一平面內(nèi)：①兩條直線相交成直角；②兩條直線互相垂直；③一條直線是另一條直線的垂線．那么下列因果關(guān)系：①→②③；②→①③；③→①②中，正確的有(

)DA．0個B．1個C．2個D．3個隨堂演練4.如圖，已知點(diǎn)O在直線AB上，CO⊥DO于點(diǎn)O，若∠1＝145°，則∠3的度數(shù)為(

)A．35°B．45°C．55°D．65°C5.如圖，三條直線相交于點(diǎn)O，若CO⊥AB，∠1＝56°，則∠2等于(

)A．30°B．34°C．45°D．56°B隨堂演練6.如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，射線OM平分∠AOC，ON⊥OM.若∠AOM＝35°，則∠CON的度數(shù)為(

)A．35°B．45°C．55°D．65°C7.如圖，點(diǎn)O在直線AB上，且OC⊥OD，若∠COA＝36°，則∠DOB的大小為(

)A．36°B．54°C．55°D．44°B隨堂演練8.過一條線段外一點(diǎn)，作這條線段的垂線，垂足在(

)A．這條線段上B．這條線段的端點(diǎn)處C．這條線段的延長線上D．以上都有可能D9.在同一平面內(nèi)，下列語句正確的是(

)A．過一點(diǎn)有無數(shù)條直線與已知直線垂直B．和一條直線垂直的直線有兩條C．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直D．若兩直線相交，則它們一定垂直C隨堂演練10.點(diǎn)P為直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C為直線l上三點(diǎn)，PA=2cm，PB=3cm，PC=4cm，則點(diǎn)P到直線l的距離()A.等于2cm

B.小于2cmC.大于2cm

D.不大于2cmD11.如圖，AC⊥BC，CD⊥AB，下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有()①線段CD的長度是點(diǎn)C到AB的距離；②線段AC是點(diǎn)A到BC的距離；③AB>AC>CD；④線段BC是點(diǎn)B到AC的距離；⑤CD<BC<AB.A.2個

B.3個

C.4個

D.5個B隨堂演練12.如圖，過點(diǎn)P分別作OA，OB的垂線.OABPMN解：如圖所示，即為所求