計算原理試題分析及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.從3本不同的語文書和2本不同的數(shù)學(xué)書中選一本，有（）種選法。A.3B.2C.52.一件工作可以用2種方法完成，有5人會用第一種方法完成，另有4人會用第二種方法完成，從中選出1人來完成這件工作，不同選法的種數(shù)是（）A.4B.5C.93.從甲地到乙地有3條路，從乙地到丙地有2條路，則從甲地經(jīng)乙地到丙地共有（）種不同走法。A.5B.6C.94.由數(shù)字1，2，3能組成（）個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。A.6B.9C.125.5個人站成一排照相，共有（）種不同的站法。A.120B.60C.246.從4個不同元素中取出2個元素的排列數(shù)是（）A.12B.6C.87.從6名同學(xué)中選3名參加一個比賽，不同選法有（）種。A.20B.120C.308.已知\(C_{n}^2=10\)，則\(n\)的值為（）A.5B.6C.49.某班有30名男生，20名女生，從中任選一名學(xué)生當數(shù)學(xué)課代表，不同選法有（）種。A.30B.20C.5010.從5個不同顏色的球中取出3個球的組合數(shù)是（）A.10B.20C.60二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列屬于排列問題的有（）A.從10個人中選2人分別去參加兩項不同活動B.從10個人中選2人去參加一個活動C.從5本不同書中選3本送給3個同學(xué)D.從5本不同書中選3本放在書架上2.下列說法正確的是（）A.分類加法計數(shù)原理中，各類辦法中的方法相互獨立B.分步乘法計數(shù)原理中，各步中的方法相互依存C.\(A_{n}^m=\frac{n!}{(n-m)!}\)D.\(C_{n}^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)3.從1，2，3，4，5這5個數(shù)字中任取3個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)有（）A.以2結(jié)尾的三位數(shù)B.以4結(jié)尾的三位數(shù)C.以1結(jié)尾的三位數(shù)D.以3結(jié)尾的三位數(shù)4.以下組合數(shù)等式成立的有（）A.\(C_{n}^m=C_{n}^{n-m}\)B.\(C_{n+1}^m=C_{n}^m+C_{n}^{m-1}\)C.\(C_{n}^0=1\)D.\(C_{n}^n=1\)5.用0，1，2，3組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，有（）情況A.千位是1的四位數(shù)B.千位是2的四位數(shù)C.千位是3的四位數(shù)D.千位是0的四位數(shù)6.從7名男生和3名女生中選2人，下列說法正確的是（）A.選2名男生的選法有\(zhòng)(C_{7}^2\)種B.選2名女生的選法有\(zhòng)(C_{3}^2\)種C.選1男1女的選法有\(zhòng)(C_{7}^1\timesC_{3}^1\)種D.選2人的選法有\(zhòng)(C_{10}^2\)種7.下列關(guān)于排列數(shù)和組合數(shù)的關(guān)系正確的是（）A.\(A_{n}^m=m!C_{n}^m\)B.\(C_{n}^m=\frac{A_{n}^m}{A_{m}^m}\)C.\(A_{n}^m=n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)\)D.\(C_{n}^m=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)}{m!}\)8.從6名運動員中選4人參加4×100米接力賽，甲不跑第一棒的安排方法有（）A.選其他5人跑第一棒的情況B.先不考慮甲的限制，算出所有安排方法，再減去甲跑第一棒的方法C.先確定第一棒人選（除甲外5人），再安排后面三棒D.直接計算從5名運動員中選4人參加接力賽的方法9.計算組合數(shù)\(C_{8}^3\)用到的公式元素有（）A.\(n=8\)B.\(m=3\)C.\((n-m)=5\)D.\(n!=8!\)10.用紅、黃、藍三種顏色給圖中三個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域顏色不同，涂法有（）A.先涂區(qū)域1，有3種涂法B.區(qū)域2因與區(qū)域1相鄰，有2種涂法C.區(qū)域3因與區(qū)域2相鄰，有2種涂法D.總涂法有\(zhòng)(3×2×2=12\)種三、判斷題（每題2分，共10題）1.分類加法計數(shù)原理中，完成一件事的方法可以重復(fù)。（）2.分步乘法計數(shù)原理中，完成一件事要分成若干步，每一步都能獨立完成這件事。（）3.\(A_{n}^n=n!\)。（）4.\(C_{n}^m\)與\(C_{n}^{n-m}\)的值一定相等。（）5.從5個不同元素中取出3個元素的排列數(shù)大于組合數(shù)。（）6.從10個不同元素中選2個元素的組合數(shù)是\(A_{10}^2\)。（）7.用1，2，3這三個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，所有三位數(shù)的個數(shù)是\(A_{3}^3\)。（）8.從6名同學(xué)中選4名同學(xué)參加比賽，有\(zhòng)(C_{6}^4\)種選法。（）9.若\(C_{n}^m=C_{n}^k\)，則\(m=k\)。（）10.從4個不同元素中取出2個元素的排列數(shù)\(A_{4}^2=4×3\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別。答案：分類加法計數(shù)原理是完成一件事有\(zhòng)(n\)類辦法，各類辦法相互獨立，用其中一類辦法就能完成此事；分步乘法計數(shù)原理是完成一件事需分\(n\)個步驟，各步驟相互依存，只有依次完成各步驟才能完成此事。2.計算\(A_{6}^3\)。答案：根據(jù)排列數(shù)公式\(A_{n}^m=n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)\)，\(A_{6}^3=6×5×4=120\)。3.計算\(C_{7}^4\)。答案：由組合數(shù)公式\(C_{n}^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)，\(C_{7}^4=C_{7}^3=\frac{7!}{3!(7-3)!}=\frac{7×6×5}{3×2×1}=35\)。4.從5名男生和3名女生中選3人，要求至少有1名女生，有多少種選法？答案：用間接法，從8人中選3人的選法有\(zhòng)(C_{8}^3\)種，全是男生的選法有\(zhòng)(C_{5}^3\)種。所以至少有1名女生的選法有\(zhòng)(C_{8}^3-C_{5}^3=\frac{8!}{3!5!}-\frac{5!}{3!2!}=56-10=46\)種。五、討論題（每題5分，共4題）1.在實際生活中，哪些場景會用到排列組合知識，舉例說明。答案：如排課程表，不同課程安排順序不同是不同排法，用排列知識；從若干學(xué)生中選部分參加活動，不考慮順序用組合知識。像抽獎選幸運觀眾等場景也會用到。2.如何理解排列數(shù)和組合數(shù)的概念，它們之間有什么聯(lián)系？答案：排列數(shù)是從\(n\)個不同元素中取出\(m\)個元素的排列的個數(shù)，考慮元素順序；組合數(shù)是從\(n\)個不同元素中取出\(m\)個元素的組合的個數(shù)，不考慮順序。聯(lián)系是\(A_{n}^m=m!C_{n}^m\)。3.用0，1，2，3，4組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，討論百位數(shù)字的選擇對結(jié)果的影響。答案：百位不能為0，若百位選1、2、3、4中的一個，有4種選法。選好百位后，十位有4種選法，個位有3種選法。若百位選0就不是三位數(shù)，所以百位數(shù)字的選擇決定了是否為三位數(shù)及后續(xù)的排列組合情況。4.討論組合數(shù)性質(zhì)\(C_{n}^m=C_{n}^{n-m}\)在實際計算中的作用。答案：在計算組合數(shù)時，當\(m\gt\frac{n}{2}\)時，用\(C_{n}^m=C_{n}^{n-m}\)可將\(m\)換成\(n-m\)來計算，使計算量減小。比如\(C_{10}^8\)，可轉(zhuǎn)化為\(C_{10}^2\)計算，更簡便。答案一、單項選擇題1.C2.C3.B4.A5.A