第2章機器人運動學(xué)2.4節(jié)速度雅可比第1-15周，星期二，16:40-18:15，（五）103機器人技術(shù)基礎(chǔ)22.4.1剛體的線速度和角速度2.4.2操作臂連桿的運動速度2.4.3速度雅可比2.4.4奇異性本節(jié)目錄時變位置的符號表示——線速度32025/6/1若{B}中有一時變矢量BQ（t）設(shè)有兩坐標(biāo)系{A}、{B}{A}{B}Q則，其在{B}中的速度表達(dá)為：其在{A}中的速度表達(dá)為：

（速度是自由矢量）剛體的線速度42025/6/1{B}原點在{A}中的向量為APBORG；{B}相對于{A}僅有平移運動；{B}中有一向量BQ，相對于{B}原點的線速度為BVQ；求Q相對于{A}的線速度AVQ已知兩剛體，各自的固聯(lián)坐標(biāo)系為{A}和{B}AVQ由兩個速度向量合成得到：AVQ注意：為求解AVQ，所有矢量都必須轉(zhuǎn)換到{A}坐標(biāo)系中表達(dá)AVQ是相對于{A}的速度，需要用到速度矢量合成計算質(zhì)點相對參考坐標(biāo)系的運動坐標(biāo)系之間的相對平動時變位置的符號表示——角速度52025/6/1點的相對運動只有線速度、而沒有角速度剛體之間的相對運動既有線速度、又有角速度角速度一定指兩個剛體坐標(biāo)系之間的相對轉(zhuǎn)動速度角速度表示符號Ω注意：AΩB為一向量，其方向表示{B}相對于{A}旋轉(zhuǎn)的瞬時旋轉(zhuǎn)軸，其大小為旋轉(zhuǎn)速率（回顧等效軸角姿態(tài)表示）；角速度也可以在不同坐標(biāo)系描述，如：C(AΩB)為{B}相對于{A}的角速度在{C}中的描述；ωC=UΩC表示{C}相對于參考坐標(biāo)系{U}的角速度設(shè)有兩個剛體坐標(biāo)系{A}、{B}，原點重合，僅有相對轉(zhuǎn)動，則它們之間的角速度為：剛體的角速度62025/6/1{A}、{B}原點重合；{B}相對于{A}僅有旋轉(zhuǎn)運動，旋轉(zhuǎn)角速度為AΩB；{B}中有一向量BQ，相對于{B}原點的線速度為BVQ；求Q相對于{A}的線速度AVQ已知兩剛體，各自的固聯(lián)坐標(biāo)系為{A}和{B}首先假設(shè)Q在{B}中固定不動，即：但是，由于{B}相對于{A}的旋轉(zhuǎn)AΩB，AVQ顯然不等于零72025/6/1從{A}觀察Q的變化情況，如右圖AQ(t)AQ(t+Δt)AQ(t)繞AΩB右圖軸轉(zhuǎn)動，下一時刻到達(dá)AQ(t+Δt)顯然，AQ(t)和AQ(t+Δt)是以坐標(biāo)系原點為頂點、AΩB為軸線的圓錐上的兩條母線AQ的微分增量Δ一定垂直于AQ和AΩB，且其大小為：其中：θ為AQ與AΩB的夾角于是，AVQ的大小為：方向遵循右手定則，垂直于AQ和AΩB實際上，AVQ垂直等于AQ、AΩB的叉乘：剛體的角速度82025/6/1如果考慮Q的相對于{B}的變化，即：則：于是，若：則：利用旋轉(zhuǎn)變換，把已知變量變換到{A}坐標(biāo)系，得：質(zhì)點相對參考坐標(biāo)系的運動坐標(biāo)系之間的相對轉(zhuǎn)動回顧叉乘計算方法：剛體的角速度角速度矢量的意義92025/6/1假設(shè)通過等效軸-角變換獲得該矩陣剛體{B}相對于{A}的姿態(tài)矩陣為R

K為旋轉(zhuǎn)矢量

假設(shè)經(jīng)過小時間間隔Δt，轉(zhuǎn)軸不變，而轉(zhuǎn)角為Δθ則可定義角速度矢量可以把角速度矢量簡單理解為剛體{B}繞瞬時轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的時，轉(zhuǎn)角對時間的導(dǎo)數(shù)與單位轉(zhuǎn)軸矢量的乘積102025/6/1

對右圖所示的{i+1}坐標(biāo)系，有：角速度矢量的意義線速度與角速度的綜合112025/6/1綜合{A}和{B}純平動和純轉(zhuǎn)動：得：AVBORF≠0BVQ≠0AΩB≠0如果兩剛體{A}和{B}之間既有平動，也有轉(zhuǎn)動，且{B}中向量Q相對于{B}有運動，即：

AVBORG

≠0AΩB

≠0BVQ

≠0純平動純轉(zhuǎn)動質(zhì)點相對參考坐標(biāo)系的運動坐標(biāo)系之間的相對轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系之間的相對平動注意：此式中，線速度矢量AVBORG、BVQ和位置矢量BQ很容易獲得，而如何獲得角速度矢量卻不明確122.4.1剛體的線速度和角速度2.4.2操作臂連桿的運動速度2.4.3速度雅可比2.4.4奇異性本節(jié)目錄機器人連桿運動——迭代計算132025/6/1以坐標(biāo)系{0}為參考坐標(biāo)系，則各連桿{i}在坐標(biāo)系{0}中的速度表示為：任一瞬時，連桿{i}的速度矢量如下圖所示線速度：υi角速度：ωi圖中線速度和角速度均定義在連桿坐標(biāo)系{i}中線速度：iυi角速度：

iωi連桿{i}軸線{i}機器人連桿運動——迭代計算142025/6/1考慮右圖通過轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)連接的兩個連桿：在{i}坐標(biāo)系中考察{i+1}桿的角速度

iωi+1

iωi+1包含兩項：連桿{i}的角速度：

把第二項轉(zhuǎn)換到{i}坐標(biāo)系，兩項相加，可得：機器人連桿運動——迭代計算152025/6/1

在{i}坐標(biāo)系中考察{i+1}桿坐標(biāo)原點的線速度

iυi+1

兩項相加，可得：iυi+1包含兩項：連桿{i}的線速度：關(guān)節(jié)i的角速度iωi引起的線速度：轉(zhuǎn)換到{i+1}坐標(biāo)系：機器人連桿運動——迭代計算162025/6/1同樣地，可以寫出{i+1}為移動關(guān)節(jié)的速度迭代公式{i+1}為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)的速度迭代公式根據(jù)上述迭代公式，即可從基坐標(biāo){0}開始，根據(jù)連桿參數(shù)和相鄰連桿之間的旋轉(zhuǎn)矩陣，依次求出各連桿在自身坐標(biāo)系中的速度

迭代計算——實例172025/6/1建立各連桿坐標(biāo)系，如下圖求右圖平面2R機器人的末端速度：各相鄰連桿之間的齊次變換矩陣為：注意利用了旋轉(zhuǎn)矩陣的轉(zhuǎn)置從基座到末端的旋轉(zhuǎn)矩陣依次為：坐標(biāo)系平移矢量和基座速度矢量：迭代計算——實例182025/6/1坐標(biāo)系{1}：利用轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)的迭代公式，依次計算各桿在自身坐標(biāo)系下的速度：已知：迭代計算——實例192025/6/1坐標(biāo)系{2}：利用迭代公式，依次計算各桿在自身坐標(biāo)系下的速度：已知：迭代計算——實例202025/6/1坐標(biāo)系{3}：利用迭代公式，依次計算各桿在自身坐標(biāo)系下的速度：已知：迭代計算——實例212025/6/1則：

迭代計算結(jié)果的矩陣表達(dá)222025/6/1觀察0υ3和0ω3的矩陣表達(dá)式把關(guān)節(jié)速度提出，并寫成矩陣相乘的形式：迭代計算結(jié)果的矩陣表達(dá)232025/6/1把線速度與角速度合并成一個列向量，得：2R平面機器人的速度雅可比矩陣上式為2R平面機器人末端的速度正運動學(xué)模型它表明關(guān)節(jié)速度與末端速度呈線性關(guān)系！242.4.1剛體的線速度和角速度2.4.2操作臂連桿的運動速度2.4.3速度雅可比2.4.4奇異性本節(jié)目錄雅可比矩陣的數(shù)學(xué)定義252025/6/1設(shè)應(yīng)變量Y=[y1,y2,y3,y4,y5,y6]T、自變量X=[x1,x2,x3,x4,x5,x6]T雅可比矩陣J函數(shù)關(guān)系微分關(guān)系矩陣形式標(biāo)量形式機器人速度雅可比J機器人速度雅可比矩陣——微分法262025/6/1例題：求右圖所示3R平面機器人的速度雅可比矩陣建立D-H坐標(biāo)系如右下圖所示機器人正運動學(xué)模型（末端{(lán)T}的位姿矩陣）末端位置向量末端姿態(tài)矩陣寫成函數(shù)形式末端位置函數(shù)末端姿態(tài)函數(shù)機器人速度雅可比矩陣——微分法272025/6/1上式對

1、

2、

3取微分，得：把上式寫成時間導(dǎo)數(shù)的形式：速度雅可比矩陣J上式的矩陣形式為：機器人速度雅可比矩陣——微分法282025/6/1速度雅可比矩陣J

上式的矩陣形式為：速度雅可比矩陣的意義

292025/6/1建立了機器人關(guān)節(jié)速度矢量與末端速度矢量的線性映射

左上標(biāo)0表示相對于基坐標(biāo)系，Θ表示關(guān)節(jié)矢量速度雅可比矩陣的意義

302025/6/1不同坐標(biāo)系之間的雅可比矩陣關(guān)系例：已知坐標(biāo)系{B}中的雅可比矩陣，以及坐標(biāo)系{A}、{B}的旋轉(zhuǎn)矩陣312.4.1剛體的線速度和角速度2.4.2操作臂連桿的運動速度2.4.3速度雅可比2.4.4奇異性本節(jié)目錄奇異性分析

322025/6/1雅可比矩陣的逆如果雅可比矩陣可逆，則可以根據(jù)末端速度矢量，直接得出關(guān)節(jié)速度矢量在實現(xiàn)機器人直角坐標(biāo)軌跡控制時，需要使用雅可比的逆雅可比矩陣一定可逆（非奇異）嗎？雅可比矩陣的可逆性在機器人的整個工作空間都一致嗎？工作空間邊界——機器人完全展開或收回工作空間內(nèi)部——兩個或兩個以上關(guān)節(jié)軸共線/平行奇異位形問題——工作空間中雅可比矩陣不可逆的位形奇異位形的幾何意義332025/6/1奇異位形實例對于如右圖所示的2R平面機器人，已知末端相對于坐標(biāo)系{3}的雅可比矩陣的線速度項為：顯然，當(dāng)θ=0°或180°時：則，雅可比矩陣的行列式為：當(dāng)桿完全伸直或收回時，末端只能沿Y3方向移動，而不能沿X3方向移動屬于工作空間邊界奇異位形奇異性分析

342025/6/1奇異位形實例在末端相對于{0}坐標(biāo)系的雅可比矩