PAGEPAGE1第35講基本不等式課時達標一、選擇題1．已知f(x)＝x＋eq\f(1,x)－2(x<0)，則f(x)的()A．最大值為0 B．最小值為0C．最大值為－4 D．最小值為－4C解析因為x＜0，所以f(x)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－x＋\f(1,－x)))－2≤－2－2＝－4，當且僅當－x＝eq\f(1,－x)，即x＝－1時，等號成立．2．《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法(以幾何方法探討代數(shù)問題)成了后世西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，許多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點F在半圓O上，點C在直徑AB上，且OF⊥AB，設(shè)AC＝a，BC＝b，則該圖形可以完成的無字證明為()A.eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a＞0，b＞0)B．a(chǎn)2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)C.eq\f(2ab,a＋b)≤eq\r(ab)(a＞0，b＞0)D.eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a＞0，b＞0)D解析由AC＝a，BC＝b可得圓O的半徑r＝eq\f(a＋b,2)，又OC＝OB－BC＝eq\f(a＋b,2)－b＝eq\f(a－b,2)，則FC2＝OC2＋OF2＝eq\f(a－b2,4)＋eq\f(a＋b2,4)＝eq\f(a2＋b2,2)，再依據(jù)題圖知FO≤FC，即eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2)).故選D.3．若a≥0，b≥0，且a(a＋2b)＝4，則a＋b的最小值為()A.eq\r(2) B．4C．2 D．2eq\r(2)C解析因為a≥0，b≥0，所以a＋2b≥0，又因為a(a＋2b)＝4，所以4＝a(a＋2b)≤eq\f(a＋a＋2b2,4)，當且僅當a＝a＋2b＝2時，等號成立．所以(a＋b)2≥4，所以a＋b≥2.4．(2024·永州模擬)已知三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若eq\f(c,sinB)＋eq\f(b,sinC)＝2a，則△ABC是()A．等邊三角形 B．銳角三角形C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形C解析因為eq\f(c,sinB)＋eq\f(b,sinC)＝2a，由正弦定理可得2sinA＝eq\f(sinC,sinB)＋eq\f(sinB,sinC)≥2eq\r(\f(sinC,sinB)·\f(sinB,sinC))＝2，即sinA≥1，所以sinA＝1，當且僅當eq\f(sinC,sinB)＝eq\f(sinB,sinC)，即B＝C時，等號成立，所以A＝eq\f(π,2)，b＝c，所以△ABC是等腰直角三角形，故選C.5．若正數(shù)a，b滿意a＋b＝2，則eq\f(1,a＋1)＋eq\f(4,b＋1)的最小值是()A．1 B.eq\f(9,4)C．9 D．16B解析eq\f(1,a＋1)＋eq\f(4,b＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a＋1)＋\f(4,b＋1)))·eq\f(a＋1＋b＋1,4)＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋4＋\f(b＋1,a＋1)＋\f(4a＋1,b＋1)))≥eq\f(1,4)(5＋2eq\r(4))＝eq\f(9,4)，當且僅當eq\f(b＋1,a＋1)＝eq\f(4a＋1,b＋1)，即b＋1＝2(a＋1)時，等號成立．故選B.6．(2024·南昌模擬)不等式x2＋2x＜eq\f(a,b)＋eq\f(16b,a)對隨意a，b∈(0，＋∞)恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是()A．(－2,0) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．(－4,2) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)C解析不等式x2＋2x＜eq\f(a,b)＋eq\f(16b,a)對隨意a，b∈(0，＋∞)恒成立，等價于x2＋2x＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＋\f(16b,a)))min，因為eq\f(a,b)＋eq\f(16b,a)≥2eq\r(\f(a,b)·\f(16b,a))＝8(當且僅當a＝4b時，等號成立)，所以x2＋2x＜8，解得－4＜x＜2.二、填空題7．設(shè)P(x，y)是函數(shù)y＝eq\f(2,x)(x>0)圖象上的點，則x＋y的最小值為________．解析因為x＞0，所以y＞0，且xy＝2.由基本不等式得x＋y≥2eq\r(xy)＝2eq\r(2)，當且僅當x＝y(tǒng)時，等號成立．答案2eq\r(2)8．(2024·湖北八校聯(lián)考)設(shè)正實數(shù)x，y，z滿意x2－3xy＋4y2－z＝0.則當eq\f(z,xy)取得最小值時，x＋2y－z的最大值為________．解析eq\f(z,xy)＝eq\f(x2－3xy＋4y2,xy)＝eq\f(x,y)－3＋eq\f(4y,x)≥2eq\r(\f(x,y)·\f(4y,x))－3＝1，當且僅當eq\f(x,y)＝eq\f(4y,x)，即x＝2y時等號成立．此時z＝x2－3xy＋4y2＝(2y)2－3·2y·y＋4y2＝2y2.所以x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2(y－1)2＋2，所以當y＝1，x＝2，z＝2時，x＋2y－z取最大值，最大值為2.答案29．為了豎一塊廣告牌，要制造三角形支架，如圖，要求∠ACB＝60°，BC的長度大于1米，且AC比AB長0.5米，為了穩(wěn)固廣告牌，要求AC越短越好，則AC最短為________．解析由題意設(shè)BC＝x(x＞1)，AC＝t(t＞0)，依題設(shè)AB＝AC－0.5＝t－0.5，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos60°，即(t－0.5)2＝t2＋x2－tx，化簡并整理得t＝eq\f(x2－0.25,x－1)(x＞1)，即t＝x－1＋eq\f(0.75,x－1)＋2≥2＋eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當且僅當x＝1＋\f(\r(3),2)時，等號成立))，此時t取最小值2＋eq\r(3).答案2＋eq\r(3)三、解答題10．設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，求eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)的最小值．解析因為eq\f(a2,b)＋b≥2a，eq\f(b2,c)＋c≥2b，eq\f(c2,a)＋a≥2c，故eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c，所以eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥1.所求最小值為1.11．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．解析(1)因為x>0，y>0,2x＋8y－xy＝0，所以xy＝2x＋8y≥2eq\r(16xy)＝8eq\r(xy)，所以eq\r(xy)(eq\r(xy)－8)≥0，又eq\r(xy)≥0，所以eq\r(xy)≥8，即xy≥64，當且僅當x＝4y，即8y＋8y－4y2＝0，即y＝4，x＝16時，等號成立，所以xy的最小值為64.(2)因為2x＋8y＝xy>0，所以eq\f(2,y)＋eq\f(8,x)＝1，所以x＋y＝(x＋y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,y)＋\f(8,x)))＝10＋eq\f(2x,y)＋eq\f(8y,x)≥10＋2eq\r(\f(2x,y)·\f(8y,x))＝18，當且僅當eq\f(2x,y)＝eq\f(8y,x)，即x＝2y，即4y＋8y－2y2＝0，即y＝6，x＝12時，等號成立，所以x＋y的最小值為18.12．某地須要修建一條大型輸油管道通過240km寬的沙漠地帶，該段輸油管道兩端的輸油站已建好，余下工程是在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設(shè)輸油管道和等距離修建增壓站(又稱泵站)．經(jīng)預算，修建一個增壓站的費用為400萬元，鋪設(shè)距離為xkm的相鄰兩增壓站之間的輸油管道的費用為(x2＋x)萬元．設(shè)余下工程的總費用為y萬元．(1)試將y表示成x的函數(shù)；(2)須要修建多少個增壓站才能使y最小，其最小值為多少？解析(1)設(shè)須要修建k個增壓站，則(k＋1)x＝240，即k＝eq\f(240,x)－1，所以y＝400k＋(k＋1)(x2＋x)＝400eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(240,x)－1))＋eq\f(240,x)(x2＋x)＝eq\f(96000,x)＋240x－160.因為x表示相鄰兩增壓站之間的距離，則0＜x＜240.故y與x的函數(shù)關(guān)系為y＝eq\f(96000,x)＋240x－160(0＜x＜240)．(2)y＝eq\f(96000,x)＋240x－160≥2eq\r(\f(96000,x)·240x)－160＝2×4800－160＝9440，當且僅當eq\f(96000,x)＝240x，即x＝20時，等號成立，此時k＝eq\f(240,x)－1＝eq\f(240,20)－1＝11.故須要修建11個增壓站才能使y最小，其最小值為9440萬元．13．[選做題]若正實數(shù)x，y滿意(2xy－1)2＝(5y＋2)(y－2)，則x＋eq\f(1,2y)的最大值為()A．－1＋eq\f(3\r(2),2) B．－1＋eq\f(3\r(3),2)C．1＋eq\f(3\r(3),2) D．－1－eq\f(3\r(2),2)A解析由(2xy－1)2＝(5y＋2)(y－2)得(2xy－1)2＝9y2－(2y＋2)2，即(2xy－1)2＋(2y＋2)2＝9y2，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,y)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(2,y)))2＝9.因為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,y)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(2,y)))2≥eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,y)＋2＋\f(2,y)))2,2)＝eq