第26講

圓的基本性質(zhì)

目錄CONTENTS123課標要求

作業(yè)目標教材整合·核心歸納重點精講·變式探究課標要求作業(yè)目標

01第六單元

第26講課標要求作業(yè)目標圓1.理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念.2.探索并證明垂徑定理及其推論.3.探索圓周角與圓心角及其所對弧的關(guān)系，了解并證明圓周角定理及其推論.理解圓、弧、弦、圓心角的概念,了解等圓、等弧的概念掌握垂徑定理及推論，會運用垂徑定理解決幾何證明、計算問題，并能解決一些實際問題理解弧、弦、圓心角的關(guān)系理解圓周角、圓內(nèi)接四邊形的定義，掌握圓周角與圓心角及其所對弧的關(guān)系，掌握圓周角定理及其推論，掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)要求與目標教材整合核心歸納

02第六單元

第26講1.

“圓、等邊三角形、平行四邊形、等腰直角三角形”中，

既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是

?.

圓60

4

軸對稱圖形中心對稱圖形軸對稱圖形∠BDA＝90°∠BAC＝30°∠COB＝60°

定義圓是所有到定點的距離等于定長的點的集合，其中定點稱為

，定長稱為半徑，以點O為圓心的圓記作☉O，線段OA叫作半徑對稱性(1)圓是軸對稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是它的對稱軸；(2)圓是中心對稱圖形，

是它的對稱中心；(3)圓具有旋轉(zhuǎn)不變性，即圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都與自身重合圓心圓心考點?圓的定義及對稱性考點清單垂徑定理

推論兩條弧

⊥

延伸

考點?垂徑定理及其推論【省卷T26，長沙T9】考點清單弧、弦、

圓心角的關(guān)系

CD

∠COD

CD

∠COD

圓周角定

理及推論

定理：一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半.即如左圖，∠A＝

∠BOC推論2：直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑.如左圖，已知AB是直徑，則∠ACB＝

；已知∠ACB是直角，則AB是直徑

∠D

∠D或∠BCD

90°

考點?弧、弦、圓心角、圓周角【省卷T7，長沙T24】考點清單性質(zhì)

180°

180°

∠A

考點?圓內(nèi)接四邊形【長沙T24】考點清單重難精講變式探究

03第六單元

第26講例1(2023·永州改編)如下圖，☉O是一個盛有水的容器的橫

截面，☉O的半徑為10cm，水面的寬CD＝12cm，往容器中加水后，水面上升了2cm，則此時水面的寬度AB＝

cm.16

EFCD∥ABOF⊥AB

OC＝10在Rt△OEC中，OE＝8EF＝2OF＝OE－EF＝6在Rt△OEC中，AF＝810

6

AB＝2AF＝16變式題圖DCBAEFO【易錯變式】如圖，一下水管橫截面為圓形，直徑為

100cm，下雨前水面寬為60cm，一場大雨過后，水面寬為

80cm，則水位上升

cm.10或70

運用垂徑定理時，通常需要構(gòu)造以半徑、弦心距、弦的一半為邊的直角三角形，再運用勾股定理或銳角三角函數(shù)求解.由勾股定理得，OE＝40，OF＝30方法同例130

OC＝OA＝50AF＝40CE＝30水位上升EF＝10分兩種情況討論：①水位上升在O點的下方②水位上升在O點的上方同理OP＝30B′A′P30

10

OA′＝50，A′P＝4050

水位上升EP＝701.

(2024·新疆)如下圖，AB是☉O的直徑，CD是☉O的弦，

AB⊥CD，垂足為點E.

若CD＝8，OD＝5，則BE的長為

(

B

)A.1B.2C.3D.4第1題圖B

A.50cmB.35cmC.25cmD.20cm第2題圖C

例2題圖BA.9°B.18°C.36°D.45°同弧或等弧所對的圓心角相等∠AOC＝∠COB＝36°

例3(2022·湘潭)如下圖，在☉O中，直徑AB與弦CD相交于點E，連接AC，BD，AD.

(1)求證：△AEC∽△DEB；(2)若AD＝3，∠C＝30°，求☉O的半徑.

例3題圖證明：∵∠C＝∠B，∠AEC＝∠DEB，∴△AEC∽△DEB.

解：∵∠C＝∠B，∠C＝30°，∴∠B＝30°.∵AB是☉O的直徑，AD＝3，∴∠ADB＝90°.∴AB＝6.∴☉O的半徑為3.同弧或等弧所對的圓周角相等∠C＝∠B∠AEC＝∠DEB3

∠C＝∠B＝30°直徑所對的圓周角等于90°∠ADB＝90°AB＝6☉O的半徑為33.

(2023·長沙)如右圖，點A，B，C在半徑為2的☉O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足為點E，交☉O于點D，連接OA，則OE的長度為

?.第3題圖1

4.

(2024·牡丹江)如圖，四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形，AB是☉O的直徑，若∠BEC＝20°，則∠ADC的度數(shù)為(

B

)A.100°B.110°C.120°D.130°B第4題圖例4(2024·濱州)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于☉O，若四邊形OABC是菱形，則∠D＝

?°.60

例4題

圖∠ABC＝∠AOC∠ABC＋∠D＝180°∠AOC＝2∠D3∠D＝180°∠D＝60°5.

(2024·廣元)如下圖，已知四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊

形，點E為AD延長線上一點，∠AOC＝128°，則∠CDE＝

(

A

)A.64°B.60°C.54°D.52°A第5題圖6.

(改編題)如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸負半

軸上，點B在y軸正半軸上.☉D經(jīng)過A，B，O，C四點，連

接AB，AC，OC