第第頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《有關(guān)矩形的最值問題》專項(xiàng)測(cè)試卷(附答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________1．在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，四邊形ABCO是矩形，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別是A（0，2）和C（2，0），點(diǎn)D是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，C重合），連結(jié)BD，作DE⊥DB，交x軸于點(diǎn)E，以線段DE，DB為鄰邊作矩形BDEF．（1）填空：點(diǎn)B的坐標(biāo)為．（2）是否存在這樣的點(diǎn)D，使得△DEC是等腰三角形？若存在請(qǐng)求出AD的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由：（3）①求證：；②設(shè)AD＝x，矩形BDEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并求出當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，y有最小值？2．已知：等腰中，線段在上，分別過作的垂線，交于將線段在上平移，記五邊形的面積為周長(zhǎng)為(1)當(dāng)時(shí)；①求的最大值；②小明同學(xué)在探究此圖性質(zhì)的過程中發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：“在平移的過程中，的值保持不變”，請(qǐng)你幫他說明理由；(2)若，小明的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由．3．問題提出：

（1）如圖①，已知線段AB及AB外點(diǎn)C，試在線段AB上確定一點(diǎn)D，使得CD最短．問題探究：（2）如圖②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，sin∠ABC=，D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)E為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出△BDE周長(zhǎng)的最小值．問題解決：（3）如圖③，有一個(gè)矩形花壇ABCD．AB=10m，AD=24m，根據(jù)設(shè)計(jì)造型要求，在AB上任取一動(dòng)點(diǎn)E、連ED，過點(diǎn)A作AF⊥ED，交DE于點(diǎn)F，在FD上截取FP=AF，連接PB、PC；現(xiàn)需在△PBC的區(qū)內(nèi)種植一種黃色花卉，在矩形內(nèi)的其它區(qū)域種植一種紅色花卉，已知種植這種黃色花卉每平方米需200元，種植這種紅色花卉每平方米需180元，完成這兩種花卉的種植至少需花費(fèi)多少元？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.7）4．如圖1，以矩形OABC的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，已知OA=3，OC=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn)D，將△BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處．

（1）直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；（2）如圖2，若點(diǎn)P是線段DA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作PH⊥DB于H點(diǎn)，設(shè)OP的長(zhǎng)為x，△DPH的面積為S，試用關(guān)于x的代數(shù)式表示S；（3）如圖3，在x軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最?。咳绻嬖?，求出周長(zhǎng)的最小值．（直接寫出結(jié)果即可）5．如圖①，在矩形OABC中，OA=4，OC=3，分別以O(shè)C、OA所在的直線為x軸、y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，連接OB，反比例函數(shù)y=(x＞0)的圖象經(jīng)過線段OB的中點(diǎn)D，并與矩形的兩邊交于點(diǎn)E和點(diǎn)F，直線l：y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)E和點(diǎn)F．（1）寫出中點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出反比例函數(shù)的解析式；（2）連接OE、OF，求△OEF的面積；（3）如圖②，將線段OB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，使得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H恰好落在x軸的正半軸上，連接BH，作OM⊥BH，點(diǎn)N為線段OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求HN+ON的最小值．

6．如圖1，四邊形中，，為的中點(diǎn)，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接．(1)四邊形一定是___________（填特殊四邊形的名稱）；(2)若當(dāng)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，四邊形是矩形．設(shè)，試求的值；(3)若，，，是否存在這樣的點(diǎn)，使得四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)求出的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，連接，，平移至(點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)），連接．(1)①直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)為______．②判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)如圖1，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，平分交于，連接．若，求的長(zhǎng)；(3)如圖2，為邊的中點(diǎn)．若，連接，則的最小值為______，最大值為______．8．如圖①，點(diǎn)D為上方一動(dòng)點(diǎn)，且．(1)在左側(cè)構(gòu)造，連接，請(qǐng)證明；(2)如圖②，在左側(cè)構(gòu)造，在右側(cè)構(gòu)造，連接求證：四邊形是平行四邊形；(3)如圖③，當(dāng)滿足，，．運(yùn)用（2）中的構(gòu)造圖形的方法畫出四邊形；（Ⅰ）求證：四邊形是矩形；（Ⅱ）直接寫出在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中線段的最大值．9．如圖①，在中，，，點(diǎn)在上（且不與點(diǎn)、重合）．在的外部作等腰，使，連接，過點(diǎn)作平行且相等于，連接、．(1)此時(shí)四邊形為__________形；、的數(shù)量關(guān)系為___________．(2)將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖②，連接．①此時(shí)四邊形為__________形；②、的數(shù)量關(guān)系為__________，證明你的結(jié)論．(3)在繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，若，，線段長(zhǎng)度的最大值為__________．10．在矩形中，，，E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將矩形沿折疊．(1)如圖1，若．時(shí)，將矩形沿折疊后，點(diǎn)C恰好落在上的點(diǎn)C'處，點(diǎn)B落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)M．①求折痕的長(zhǎng)；②連接交于點(diǎn)N，求的值；(2)如圖2，，將矩形沿折疊后，點(diǎn)A、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)、，連接，，直接寫出面積的最大值為，與面積的最小值為．11．如圖1，矩形的兩條邊分別在軸和軸上，已知點(diǎn)、點(diǎn)．(1)若把矩形沿直線折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，直線與、、的交點(diǎn)分別為，求折痕的長(zhǎng)；(2)在（1）的條件下，若點(diǎn)在軸上，在平面內(nèi)存在點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，若為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，將矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，請(qǐng)直接寫出的最大值和最小值．12．綜合與實(shí)踐問題提出如圖1，在矩形中，已知，，點(diǎn)P沿折線運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)停止），過點(diǎn)P作，當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，交于點(diǎn)M；當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，交于點(diǎn)M．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，在運(yùn)動(dòng)過程中的面積為y．初步感悟（1）當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，①若，則_______；②y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為_________；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)y是關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量的取值范圍．延伸探究（3）設(shè)點(diǎn)P沿運(yùn)動(dòng)過程中y取得最大值，則當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)的過程中，是否也存在y值為？如果存在，求此時(shí)的長(zhǎng)；如果不存在，則說明理由．13．如圖1．四邊形、都是矩形，點(diǎn)G在上，且，，，小李將矩形繞點(diǎn)C順時(shí)針轉(zhuǎn)，如圖2所示：(1)①他發(fā)現(xiàn)的值始終不變，請(qǐng)你幫他計(jì)算出的值______．②在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)B、E、F在同一條直線上時(shí)，求出AG的長(zhǎng)度是多少?(2)如圖3，中，，，，G為的中點(diǎn)，點(diǎn)D為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．且，將線段BD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°，得到，則四邊形的面積的最大值為______．14．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，將矩形沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接、．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，若點(diǎn)恰好落在上，求的值；(3)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)的過程中，的度數(shù)是否存在最大值，若存在，求出此時(shí)線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．15．在矩形中，，，以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形，旋轉(zhuǎn)角為，得到矩形，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)．

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，線段的長(zhǎng)度為___________；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，與相交于點(diǎn)，連接．①求證：；②求線段的長(zhǎng)度．(3)如圖③設(shè)點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接，，在矩形旋轉(zhuǎn)過程中，的面積是否存在最大值？若存在請(qǐng)直接寫出這個(gè)最大值；若不存在請(qǐng)說明理由．參考答案1．(1);（2）存在；滿足條件的AD的值為2或2;(3)①見解析，②，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到距A點(diǎn)的距離為3時(shí)，y有最小值．【分析】（1）求出AB、BC的長(zhǎng)即可得出結(jié)果；（2）先推出∠ACO＝30°，∠ACD＝60°由△DEC是等腰三角形，分兩種情況：①當(dāng)E在線段CO上時(shí)，觀察圖象可知，只有ED＝EC，∠DCE＝∠EDC＝30°，推出∠DBC＝∠BCD＝60°，可得△DBC是等邊三角形，推出DC＝BC＝2，即可得出結(jié)果；②當(dāng)E在OC的延長(zhǎng)線上時(shí)，只有CD＝CE，∠DBC＝∠DEC＝∠CDE＝15°，得出∠ABD＝∠ADB＝75°即可得出結(jié)果；（3）①先表示出DN，BM，證出△BMD∽△DNE，即可得出結(jié)論；②作DH⊥AB于H，用x表示BD、DE的長(zhǎng)，構(gòu)建二次函數(shù)即可解決問題【詳解】解：（1）∵四邊形AOCB是矩形，∴BC＝OA＝2，OC＝AB＝2，∠BCO＝∠BAO＝90°，∴B（2，2）；故答案為（2，2）；（2）存在；理由如下：∵OA＝2，OC＝2，∵tan∠ACO＝∴∠ACO＝30°，∠ACB＝60°，分兩種情況：①當(dāng)E在線段CO上時(shí)，△DEC是等腰三角形，觀察圖像可知，只有ED＝EC，如圖1所示：∴∠DCE＝∠EDC＝30°，∴∠DBC＝∠BCD＝60°，∴△DBC是等邊三角形，∴DC＝BC＝2，在Rt△AOC中，∠ACO＝30°，OA＝2，∴AC＝2AO＝4，∴AD＝AC﹣CD＝4﹣2＝2，∴當(dāng)AD＝2時(shí)，△DEC是等腰三角形；②當(dāng)E在OC的延長(zhǎng)線上時(shí)，△DCE是等腰三角形，只有CD＝CE，∠DBC＝∠DEC＝∠CDE＝15°，如圖2所示：∴∠ABD＝∠ADB＝75°，∴AB＝AD＝2，綜上所述，滿足條件的AD的值為2或2；（3）①證明：過點(diǎn)D作MN⊥AB交AB于M，交OC于N，如圖3所示：∵A（0，2）和C（2，0），∴直線AC的解析式為y＝﹣x+2，設(shè)D（a，﹣a+2），∴DN＝﹣a+2，BM＝2﹣a，∵∠BDE＝90°，∴∠BDM+∠NDE＝90°，∠BDM+∠DBM＝90°，∴∠DBM＝∠EDN，∵∠BMD＝∠DNE＝90°，∴△BMD∽△DNE，∴＝＝；②作DH⊥AB于H，如圖4所示：在Rt△ADH中，∵AD＝x，∠DAH＝∠ACO＝30°，∴DH＝AD＝x，∴BH＝2﹣x，在Rt△BDH中，BD＝∴∴矩形BDEF的面積為∴∵＞0，∴x＝3時(shí)，y有最小值，即當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到距A點(diǎn)的距離為3時(shí)，y有最小值．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、分類討論、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決問題，屬于中考?jí)狠S題．2．(1)①；②見解析(2)小明的結(jié)論還成立，理由見解析【分析】（1）①設(shè)，則，求出，進(jìn)而利用勾股定理得到，則；分別證明都是等腰直角三角形，得到，則，，則，據(jù)此可得答案；②如圖所示，過點(diǎn)C作于H，過點(diǎn)F、G分別作的垂線，垂足分別為M、N，則四邊形、四邊形都是矩形，可得，設(shè)，則，由三線合一定理得到，則；解得到，解得到；再證明，解得到，解得到，則，由，可得，則在平移的過程中，的值保持不變；（2）同（1）②求解即可．【詳解】（1）解：①設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，∴；∵，∴都是等腰直角三角形，∴，∴，，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，S的值最大，最大為；②理由如下：如圖所示，過點(diǎn)C作于H，過點(diǎn)F、G分別作的垂線，垂足分別為M、N，則四邊形、四邊形都是矩形，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴；在中，，在中，，由矩形的性質(zhì)可得，∴，在中，，在中，，∴，∵，∴，∴在平移的過程中，的值保持不變；（2）解：小明的結(jié)論還成立，理由如下：如圖所示，過點(diǎn)C作于H，過點(diǎn)F、G分別作的垂線，垂足分別為M、N，則四邊形、四邊形都是矩形，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴；在中，，在中，，由矩形的性質(zhì)可得，∴，在中，，在中，，∴，∴在平移的過程中，保持不變，∴的值保持不變．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，勾股定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．（1）詳見解析；（2）5+；（3）44736元【分析】（1）根據(jù)垂線段最短解決問題即可．（2）如圖②中，作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接DD′交AC于J，連接ED′，BD′，過點(diǎn)D′作D′H⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于H．周長(zhǎng)DE+EB的最小值即可解決問題．（3）如圖③中，作△APD的外接圓⊙J，在⊙J上取一點(diǎn)T，連接TA，TD，JA，JD，過點(diǎn)J作JQ⊥BC于Q，過點(diǎn)P作PH⊥BC于H．證得△ADJ是等邊三角形，求出PH的最小值即可解決問題．【詳解】（1）如圖①中，線段CD即為所求．

（2）如圖②中，作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接DD′交AC于J，連接ED′，BD′，過點(diǎn)D′作D′H⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于H．

在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，AB=10，∴sin∠ABC，∴AC=8，BC=，∵∠DJA=∠ACB=90°，∴DJ∥BC，∵AD=DB，∴AJ=JC=4，∴DJ=JD′=BC=3，∵∠D′HC=∠HCJ=∠CJD′=90°，∴四邊形CHD′J是矩形，∴JD′=CH=3，D′H=JC=4，∴BH=BC+CH=6+3=9，∴BD′=，∵DE+BE=BE+ED′≥BD′，∴DE+BE≥，∴DE+BE的最小值為，∴△BDE的周長(zhǎng)的最小值為；（3）如圖③中，作△APD的外接圓⊙J，在⊙J上取一點(diǎn)T，連接TA，TD，JA，JD，過點(diǎn)J作JQ⊥BC于Q，交AD于G，過點(diǎn)P作PH⊥BC于H．

在Rt△AFP中，∵tan∠APF=，∴∠APF=30°，∴∠APD=150°，∵A，T，D，P四點(diǎn)共圓，∴∠T+∠APD=180°，∴∠T=30°，∵∠AJD=2∠T，∴∠AJD=60°，∵JA=JD，∴△ADJ是等邊三角形，∵∠ABQ=∠BAD=∠GQB=90°，∴四邊形ABQG是矩形，∵AB=10m，AD=AJ=JD=24m，∴JG=JA，GQ=AB=10m，∴JQ=GQ+JG=（）（m），∵PJ+PH≥JQ，∴PH的最小值=（）﹣24=（﹣14）（m），∵完成這兩種花卉的種植的費(fèi)用=200××24PH+180×（10×24﹣×24PH）=240PH+4320044736（元），∴PH=﹣14時(shí)，費(fèi)用最小，最小值為44736（元）．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了垂線段最短，圓內(nèi)接四邊形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱最短問題，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．4．（1）E(3，1)，F(xiàn)(1，2)；（2）；（3）在x軸、y軸上分別存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小，最小為．【分析】（1）根據(jù)折疊的特點(diǎn)和矩形的性質(zhì)，可得AE=1，BF=BA=2，故而寫出E、F的坐標(biāo)；（2）根據(jù)折疊的特點(diǎn)，可判斷四邊形DABF是正方形，從而得出∠HDP=45°，則可用x表示出DP的長(zhǎng)，進(jìn)而得出DH和HP的長(zhǎng)，從而得出△DHP的面積；（3）四邊形NMEF的周長(zhǎng)=FN+NM+ME+EF，其中EF是定值，只需要FN+NM+ME最短即可，過點(diǎn)F作y軸的對(duì)稱點(diǎn)F′，過點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，則連接E′、F′與y軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)N，與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)M，從而求得最小值．【詳解】（1）由題意可求，AE=1，BF=BA=2∴CF=1，故：E(3，1)，F(xiàn)(1，2)；（2）如圖2∵將△BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，∴BF=AB=2，∴OD=CF=3﹣2=1，若設(shè)OP的長(zhǎng)為x，則，PD=x﹣1，在Rt△ABD中，AB=2，AD=2，∴∠ADB=45°，在Rt△PDH中，，∴；（3）如圖3，作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F′，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接E′F′交y軸于點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)M，此時(shí)四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小，點(diǎn)F(1，2)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F′(﹣1，2)，點(diǎn)E(3，1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′(3，﹣1)，待定系數(shù)法可求得：直線E′F′的解析式為：，當(dāng)x=0時(shí)，，當(dāng)y=0時(shí)，，∴，，此時(shí)，四邊形MNFE的周長(zhǎng)；∴在x軸、y軸上分別存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小，最小為：．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)折問題和求最值問題，在求解最值問題中，利用對(duì)稱進(jìn)行邊長(zhǎng)轉(zhuǎn)化是常見的方法之一．5．（1）D(，2)，y=；（2）；（3）4．【分析】（1）首先確定點(diǎn)B坐標(biāo)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可解決問題．（2）求出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，再根據(jù)S△OEF=S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB計(jì)算即可．（3）如圖②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．解直角三角形首先證明：sin∠JOD＝，推出NJ＝ON?sin∠NOD＝ON，推出NH＋ON＝NH＋NJ，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)J，N，H共線，且與HK重合時(shí)，HN＋ON的值最小，最小值＝HK的長(zhǎng)，由此即可解決問題．【詳解】（1）在矩形ABCO中，∵OA=BC=4，OC=AB=3，∴B(3，4)．∵OD=DB，∴D(，2)．∵y=經(jīng)過D(，2)，∴k=3，∴反比例函數(shù)的解析式為y=．（2）如圖①中，連接OE，OF．

由題意E(，4)，F(xiàn)(3，1)，∴S△OEF=S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB=12﹣×4×﹣×3×1﹣×3×(3﹣)=．（3）如圖②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．

由題意OB=OH=5，∴CH=OH﹣OC=5﹣3=2，∴BH==2，∴sin∠CBH==．∵OM⊥BH，∴∠OMH=∠BCH=90°．∵∠MOH+∠OHM=90°，∠CBH+∠CHB=90°，∴∠MOH=∠CBH．∵OB=OH，OM⊥BH，∴∠MOB=∠MOH=∠CBH，∴sin∠JOD=，∴NJ=ON?sin∠NOD=ON，∴NH+ON=NH+NJ，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)J，N，H共線，且與HK重合時(shí)，HN+ON的值最小，最小值=HK的長(zhǎng)．∵OB=OH，BC⊥OH，HK⊥OB，∴HK=BC=4，∴HN+ON是最小值為4．【點(diǎn)睛】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，三角形的面積，最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．6．(1)平行四邊形(2)4(3)存在，的最大值為【分析】（1）①利用對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可判斷；（2）證明，利用相似三角形的性質(zhì)可得，然后結(jié)合即可求解；（3）設(shè)，證明，利用相似三角形的性質(zhì)可求出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出m的最大值為，過點(diǎn)D作，可求，利用勾股定理求出，利用矩形的性質(zhì)可求出，即可求解．【詳解】（1）解：∵E為邊的中點(diǎn)，∴，又，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：∵F是的中點(diǎn)，四邊形是矩形，∴，∴．∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴k為定值4；（3）解：存在點(diǎn)F，使得四邊形為矩形．理由如下：如圖，∵四邊形是平行四邊形，∴當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，∴．∵，∴，∵，∴，∴，設(shè)，∴，∴，∵m與x滿足二次函數(shù)關(guān)系，且，∴當(dāng)時(shí)，m有最大值為，如圖，過點(diǎn)D作，垂足為M．則四邊形是矩形，∴，∴，由勾股定理得，∴當(dāng)m取最大值時(shí)，，∴．∵四邊形是矩形，∴，∴的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，明確題意，證明是解題的關(guān)鍵．7．(1)①；②四邊形為矩形，理由見解析(2)(3)，【分析】（1）①根據(jù)平移的性質(zhì)可得從點(diǎn)平移至點(diǎn)的距離和方向與點(diǎn)平移至點(diǎn)的距離和方向相同，即可求解；②根據(jù)勾股定理逆定理可得，再根據(jù)平移的性質(zhì)可得且，可證得四邊形為平行四邊形，即可求解；（2）在線段上取一點(diǎn)，使，可證得，從而得到，，再證明，可得，，設(shè)，由勾股定理得，用x表示相關(guān)線段可得到關(guān)于x的方程，即可求解；（3）連接，取的中點(diǎn)連接，，根據(jù)三角形中位線定理和直角三角形的性質(zhì)可得，，再由三角形的三邊關(guān)系，即可求解．【詳解】（1）解∶①∵平移至（點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)），∴從點(diǎn)平移至點(diǎn)的距離和方向與點(diǎn)平移至點(diǎn)的距離和方向相同，∵，，∴點(diǎn)先向左平移個(gè)單位，再向上平移得到點(diǎn)，∵，∴點(diǎn)；故答案為：；②四邊形為矩形，理由如下：連接，∵，，，∴，∴，同理：，，∴，∴為直角三角形，即，∵平移至，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為矩形；（2）∵點(diǎn)，，∴，∵平分，∴，如圖，在線段上取一點(diǎn)，使，∵，，∴，∴，，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，，設(shè)則，∴，∴，∵，∴，解得：，即；（3）解：如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接，，∵點(diǎn)，，，∴，，∵為的中點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)，∴，，∵，∴的取值范圍為．的最小值為，最大值為．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形和矩形的性質(zhì)、三角形全等、勾股定理的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理等，綜合性強(qiáng)，難度較大，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．8．(1)見解析(2)見解析(3)（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【分析】（1）根據(jù)題意得，，進(jìn)而可得，即可求證；（2）分別證、，即可求證；（3）（Ⅰ）由（1）（2）可得，即可推出，即可求證；（Ⅱ）作的外接圓，圓心為O，可得，據(jù)此即可求解；【詳解】（1）解：∵，∴，，∴，∴，（2）證明：由（1）∵，∴，，∴，由（1）同理可得∴∵∴∴∴，∴四邊形是平行四邊形；（3）解：（Ⅰ）由（1）（2）可得∴∵四邊形是平行四邊形∴四邊形是矩形（Ⅱ），理由如下：由（Ⅰ）得作的外接圓，圓心為O∵∴∴圓心O為定點(diǎn)，且半徑∴求得∴∴，∴，∴∴∴∴【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形以及矩形的判定、三角形與圓的綜合問題，綜合性較強(qiáng)，需要學(xué)生具備扎實(shí)的幾何基礎(chǔ)．9．(1)平行四邊；(2)①矩；②，證明見解析(3)【分析】（1）由且可得四邊形是平行四邊形，于是可得，進(jìn)而可推出，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，利用等式的性質(zhì)可推出，由于，于是利用勾股定理即可得出、的數(shù)量關(guān)系；（2）①由且可得四邊形是平行四邊形，由進(jìn)而可得四邊形是矩形；②連接，設(shè)交于點(diǎn)，利用可證得，于是可得，進(jìn)而可證得是等腰直角三角形，于是利用勾股定理即可得出、的數(shù)量關(guān)系；（3）將沿向下翻折至，連接，記交于點(diǎn)，可證明，則，則點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，由，得當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線，且點(diǎn)為射線與的交點(diǎn)，此時(shí)取得最大值，由勾股定理得，則，故的最大值為．【詳解】（1）解：且，四邊形是平行四邊形，，又，，是等腰直角三角形，，，，即：，，是等腰直角三角形，，故答案為：平行四邊，；（2）解：①矩形，理由如下：且，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是矩形，故答案為：矩；②，證明如下：如圖，連接，設(shè)交于點(diǎn)，，，，是等腰直角三角形，，，，且，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，，即：，，，，，在和中，，，，，，是等腰直角三角形，，故答案為：；（3）解：將沿向下翻折至，連接，記交于點(diǎn)，由上得四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴，∵均為等腰直角三角形，∴，∴，∴，由翻折得，∴，∴，∵為等腰直角三角形，，同上可得，∴，∴點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∵，∴當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線，且點(diǎn)為射線與的交點(diǎn)，此時(shí)取得最大值，如圖：∵，∴在等腰中，同上由勾股定理得，∴，∴的最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的定義，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等式的性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定，等邊對(duì)等角，三角形的內(nèi)角和定理，兩直線平行同位角相等，利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求角度，等角對(duì)等邊，三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)（），10．(1)①；②(2)18，【分析】（1）①根據(jù)證明，得出，設(shè)，，，在中，根據(jù)勾股定理得出，，求出，則，，可證四邊形是矩形，得出，，，最后根據(jù)勾股定理求解即可；②延長(zhǎng)，交于點(diǎn)G，先證明，求出，，再證明，即可解答；（2）當(dāng)中邊上的高最大時(shí)，的面積最大，即當(dāng)F，C，三點(diǎn)共線時(shí)，的面積最大，根據(jù)三角形的面積公式即可解答；當(dāng)中邊上的高最小時(shí)，的面積最小，即當(dāng)E，C，三點(diǎn)共線時(shí)，的面積最小，根據(jù)三角形的面積公式即可解答．【詳解】（1）解：①如圖，過作于H，∵四邊形是矩形，，，∴，，，由折疊得：，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，設(shè)，，，在中，，∴，∴，∴，，∵，，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴；②如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)G，∵，，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：由折疊得：，，，，如圖，∴當(dāng)中邊上的高最大時(shí)，的面積最大，即當(dāng)F，C，三點(diǎn)共線時(shí)，的面積最大，由（1）同理可求，∴，∴，∴的面積為，即面積的最大值為18．如圖，∴當(dāng)中邊上的高最小時(shí)，的面積最小，即當(dāng)E，C，三點(diǎn)共線時(shí)，的面積最小，∵，，，∴，∵，∴，∴的面積，即面積的最小值為．故答案為：18，．【點(diǎn)睛】本題是相似形的綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，全等和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．11．(1)(2)，，，(3)5，【分析】（1）連接，利用矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及勾股定理得出，再證明，即可得解；（2）分兩種情況：為菱形的邊時(shí)；為菱形的對(duì)角線時(shí)，分別利用菱形的性質(zhì)求解即可得出答案；（3）畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，利用圖象法即可解答．【詳解】（1）解：如圖，連接，∵四邊形是矩形，點(diǎn)、點(diǎn)，∴，，，，∴，由折疊的性質(zhì)可得：垂直平分，∴，，設(shè)，則，由勾股定理得，∴，解得：，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴折痕的長(zhǎng)為；（2）解：由（1）可得：，則，∴，，如圖，當(dāng)為菱形的邊時(shí)，，可得，，即，，當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，與重合，與重合，，當(dāng)點(diǎn)在第四象限時(shí)，與關(guān)于軸對(duì)稱，，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為，，，；（3）解：如圖，作，∵，∴，畫出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，觀察圖形可得，的最小值，的最大值，∴【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理、三角形全等的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角形面積公式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，采用分類討論以及數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．12．（1）①；②；（2）；（3）存在，【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）①證明，求出，，則可求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，然后把求解即可；②由①直接得出結(jié)論即可；（2）證明，可求出，利用求解即可；（3）先求出（2）中函數(shù)的最大值，然后把代入（1）中函數(shù)解析式求出x即可．【詳解】解：（1）如圖，∵在矩形中，已知，，∴，，，∴，∵，∴，，∴，即，∴，，∴，又點(diǎn)P在上，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，故答案為：；②由①得，故答案為：；（2）當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，，即，∵，∴，，∴，即，∴，∴，∴（3），∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值，把代入，得，解得，（舍去），∴存在，此時(shí)．13．(1)①；②或．(2)【分析】（1）①解直角三角形求出，，，可得結(jié)論．②分兩種情形：如圖中，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖中，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，分別求出，，可得結(jié)論．（2）如圖3中，連接，，過點(diǎn)作于點(diǎn)．解直角三角形求出，證明，推出，由題意，推出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的圓，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，的面積最大，最大值，由此可