PAGE1-課時作業(yè)7反證法學(xué)問點一反證法的概念1.反證法是()A．從結(jié)論的反面動身，推出沖突的證法B．對其否命題的證明C．對其逆命題的證明D．分析法的證明方法答案A解析由反證法的定義可知A正確，故選A.2．應(yīng)用反證法推出沖突的推導(dǎo)過程中要把下列哪些作為條件運用()①結(jié)論的否定；②已知條件；③公理、定理、定義等；④原結(jié)論．A．①②B．②③C．①②③D．①②④答案C解析依據(jù)反證法的基本思想，應(yīng)用反證法推出沖突的推導(dǎo)過程中應(yīng)把“結(jié)論的否定”“已知條件”“公理、定理、定義”等作為條件運用.學(xué)問點二反證法的步驟3.有下列敘述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y(tǒng)”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形內(nèi)”；④“三角形最多有一個鈍角”的反面是“三角形沒有鈍角”．其中正確的敘述有()A．0個B．1個C．2個D．3個答案B解析①錯，應(yīng)為a≤b；②對；③錯，應(yīng)為三角形的外心在三角形內(nèi)或三角形的邊上；④錯，應(yīng)為三角形可以有2個或2個以上的鈍角．4．在用反證法證明“已知：p3＋q3＝2，求證p＋q≤2”時的反設(shè)為__________，得出的沖突為__________．答案p＋q>2(q－1)2<0解析假設(shè)p＋q>2，則p>2－q.∴p3>(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3.將p3＋q3＝2代入得：6q2－12q＋6<0，∴(q－1)2<0，明顯不成立．∴p＋q≤2.學(xué)問點三用反證法證明命題5.已知三個正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列，求證：eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數(shù)列．證明假設(shè)eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差數(shù)列，則eq\r(a)＋eq\r(c)＝2eq\r(b)，兩邊同時平方，得a＋c＋2eq\r(ac)＝4b.把b2＝ac代入a＋c＋2eq\r(ac)＝4b，可得a＋c＝2b，即a，b，c成等差數(shù)列，這與a，b，c不成等差數(shù)列沖突．所以eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數(shù)列.易錯點反設(shè)錯誤或不全面致錯6.已知x，y∈R且x2＋y2＝0，求證：x，y全為零．易錯分析本題中易出現(xiàn)反設(shè)錯誤而致錯，x，y全為零的否定應(yīng)為x，y不全為零，即至少有一個不是零．證明假設(shè)x，y不全為零，則有以下三種可能：(1)x＝0，y≠0，則x2＋y2>0，與x2＋y2＝0沖突；(2)x≠0，y＝0，則x2＋y2>0，與x2＋y2＝0沖突；(3)x≠0，y≠0，則x2＋y2>0，與x2＋y2＝0沖突．故假設(shè)不成立，則x，y全為零．一、選擇題1．否定結(jié)論“至多有兩個解”的說法中，正確的是()A．有一個解 B．有兩個解C．至少有三個解 D．至少有兩個解答案C解析在邏輯中“至多有n個”的否定是“至少有n＋1個”，所以“至多有兩個解”的否定為“至少有三個解”，故應(yīng)選C.2．用反證法證明命題“關(guān)于x的方程ax＝b(a≠0)有且只有一個解”時，反設(shè)是關(guān)于x的方程ax＝b(a≠0)()A．無解 B．有兩解C．至少有兩解 D．無解或至少有兩解答案D解析“唯一”的否定上“至少兩解或無解”．3．設(shè)a，b，c是正數(shù)，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，則“P·Q·R>0”是“P，Q，R同時大于零”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案C解析必要性明顯成立．充分性：若P·Q·R>0，則P，Q，R同時大于零或其中兩個負(fù)的一個正的，不妨設(shè)P<0，Q<0，R>0.∵P<0，Q<0，即a＋b<c，b＋c<a，∴a＋b＋b＋c<c＋a.∴b<0，這與a，b，c都是正數(shù)沖突，故P，Q，R同時大于零．4．假如△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值，則()A．△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形C．△A1B1C1是鈍角三角形，△A2B2C2是銳角三角形D．△A1B1C1是銳角三角形，△A2B2C2是鈍角三角形答案D解析因為正弦值在(0°，180°)內(nèi)是正值，所以△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是銳角三角形．假設(shè)△A2B2C2也是銳角三角形，并設(shè)cosA1＝sinA2，則cosA1＝cos(90°－∠A2)，所以∠A1＝90°－∠A2.同理設(shè)cosB1＝sinB2，cosC1＝sinC2，則有∠B1＝90°－∠B2，∠C1＝90°－∠C2.又∠A1＋∠B1＋∠C1＝180°，∴(90°－∠A2)＋(90°－∠B2)＋(90°－∠C2)＝180°，即∠A2＋∠B2＋∠C2＝90°.這與三角形內(nèi)角和等于180°沖突，所以原假設(shè)不成立．故選D.二、填空題5．命題“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，則a＝b＝1”用反證法證明時應(yīng)假設(shè)為________．答案a≠1或b≠1解析“a＝b＝1”的反面是“a≠1或b≠1”，所以設(shè)為a≠1或b≠1.6．用反證法證明“一個三角形不能有兩個鈍角”有三個步驟：①∠A＋∠B＋∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°沖突，故假設(shè)錯誤．②所以一個三角形不能有兩個鈍角．③假設(shè)△ABC中有兩個鈍角，不妨設(shè)∠A>90°，∠B>90°.上述步驟的正確依次為__________．答案③①②解析依據(jù)反證法知，上述步驟的正確依次應(yīng)為③①②.7．若下列兩個方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一個方程有實根，則實數(shù)a的取值范圍是__________．答案{a|a≤－2或a≥－1}解析假設(shè)兩個一元二次方程均無實根，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ1＝a－12－4a2<0，,Δ2＝2a2－4－2a<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a2＋2a－1>0，,a2＋2a<0，))解得{a|－2<a<－1}，所以其補集{a|a≤－2或a≥－1}即為所求的a的取值范圍．三、解答題8．用反證法證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，那么方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至多只有一個實數(shù)根．證明假設(shè)方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至少有兩個實根，設(shè)α，β為它的兩個實根，則f(α)＝f(β)＝0.因為α≠β，不妨設(shè)α<β，又因為函數(shù)f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，所以f(α)<f(β)，這與f(α)＝f(β)＝0沖突．所以方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至多只有一個實根．9．已知a，b，c是互不相等的實數(shù)，求證：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個不同的交點．證明假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x軸有兩個不同的交點．由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，