遼寧省東北育才、實驗中學(xué)、大連八中、鞍山一中等2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二下期末考試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．口袋中裝有標(biāo)號為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個球，從袋中一次摸出2個球，記下號碼并放回，若這2個號碼之和是4的倍數(shù)或這2個球號碼之和是3的倍數(shù)，則獲獎.某人從袋中一次摸出2個球，其獲獎的概率為（）A． B． C． D．2．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則（）參考數(shù)據(jù)：若，則,，A．0.84 B．0.9759 C．0.8185 D．0.68263．中，，則的值是（）A． B． C． D．或4．若函數(shù)沒有極值，則實數(shù)a的取值范圍是()A． B． C． D．5．已知函數(shù)，則（）A． B． C．1 D．76．我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，每天的正點率服從正態(tài)分布，且，則（）A．0.96 B．0.97 C．0.98 D．0.997．在正方體中，與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．8．從名學(xué)生中選取名組成參觀團(tuán)，若采用下面的方法選?。合扔煤唵坞S機(jī)抽樣從人中剔除人，剩下的人再按系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行.則每人入選的概率()A．不全相等 B．均不相等 C．都相等，且為 D．都相等，且為9．“中國夢”的英文翻譯為“”，其中又可以簡寫為，從“”中取6個不同的字母排成一排，含有“”字母組合（順序不變）的不同排列共有（）A．360種 B．480種 C．600種 D．720種10．等于()A． B．2 C．-2 D．+211．甲、乙兩支球隊進(jìn)行比賽，預(yù)定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束.結(jié)束除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨立.則甲隊以3：2獲得比賽勝利的概率為（）A． B． C． D．12．甲、乙、丙三位同學(xué)獨立的解決同一個間題，已知三位同學(xué)能夠正確解決這個問題的概率分別為、、，則有人能夠解決這個問題的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)有兩個零點，，則下列判斷：①；②；③；④有極小值點，且.則正確判斷的個數(shù)是__________.14．復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）的虛部是_______．15．在四面體中，，已知，，且，則四面體的體積的最大值為_______.16．如圖，在中，，和分別是邊和上一點，，將沿折起到點位置，則該四棱錐體積的最大值為_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某同學(xué)在研究性學(xué)習(xí)中，收集到某制藥廠今年前5個月甲膠囊生產(chǎn)產(chǎn)量（單位：萬盒）的數(shù)據(jù)如下表所示：月份x12345y（萬盒）44566（1）該同學(xué)為了求出關(guān)于的線性回歸方程，根據(jù)表中數(shù)據(jù)已經(jīng)正確計算出=0.6，試求出的值，并估計該廠6月份生產(chǎn)的甲膠囊產(chǎn)量數(shù)；（2）若某藥店現(xiàn)有該制藥廠今年二月份生產(chǎn)的甲膠囊4盒和三月份生產(chǎn)的甲膠囊5盒，小紅同學(xué)從中隨機(jī)購買了3盒甲膠囊，后經(jīng)了解發(fā)現(xiàn)該制藥廠今年二月份生產(chǎn)的所有甲膠囊均存在質(zhì)量問題，記小紅同學(xué)所購買的3盒甲膠囊中存在質(zhì)量問題的盒數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．18．（12分）已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）求曲線在點處的切線方程．19．（12分）給出下列不等式：，，，，（1）根據(jù)給出不等式的規(guī)律，歸納猜想出不等式的一般結(jié)論；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.20．（12分）已知函數(shù)，其中為常數(shù).（1）證明：函數(shù)的圖象經(jīng)過一個定點，并求圖象在點處的切線方程；（2）若，求函數(shù)在上的值域.21．（12分）已知等比數(shù)列的前項和，其中為常數(shù).（1）求；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.22．（10分）已知橢圓的離心率為，一個焦點在直線上，直線與橢圓交于兩點，其中直線的斜率為，直線的斜率為。（1）求橢圓方程；（2）若，試問⊿的面積是否為定值，若是求出這個定值，若不是請說明理由。

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】分析：先求出基本事件的總數(shù)，再求出這2個號碼之和是4的倍數(shù)或這2個球號碼之和是3的倍數(shù)的基本事件，再根據(jù)古典概型的概率計算公式求解即可.詳解：從6個球中一次摸出2個球，共有種，2個號碼之和是4的倍數(shù)或這2個球號碼之和是3的倍數(shù)，共有：9種，獲獎的概率為.故選A.點睛：求古典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本事件的個數(shù)，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹形圖法，具體應(yīng)用時可根據(jù)需要靈活選擇．2、A【解析】

根據(jù)題意可知，，所以，由公式即可求出．【詳解】根據(jù)題意可知，，所以，故選A．本題主要考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，意在考查數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．3、B【解析】

根據(jù)正弦定理求解.【詳解】由正弦定理得，選B.本題考查正弦定理，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.4、A【解析】

由已知函數(shù)解析式可得導(dǎo)函數(shù)解析式，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)不變號，函數(shù)不存在極值點，對討論，可得答案．【詳解】∵，∴，①當(dāng)時，則，在上為增函數(shù)，滿足條件；②當(dāng)時，則，即當(dāng)時，恒成立，在上為增函數(shù)，滿足條件綜上，函數(shù)不存在極值點的充要條件是：．故選：A．本題考查的知識點是函數(shù)在某點取得極值的條件，本題是一道基礎(chǔ)題．5、C【解析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得，又由即得到答案。【詳解】由函數(shù)的解析式可得，又由，則本題考查了分段函數(shù)，解答的關(guān)鍵是運用函數(shù)的周期性把轉(zhuǎn)化有具體解析式的范圍內(nèi)。6、D【解析】

根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，求得指定區(qū)間的概率.【詳解】由于，故，故選D.本小題主要考查正態(tài)分布的對稱性，考查正態(tài)分布指定區(qū)間的概率的求法，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

證明與平面所成角為，再利用邊的關(guān)系得到正弦值.【詳解】如圖所示：連接與交于點，連接，過點作與平面所成角等于與平面所成角正方體平面平面與平面所成角為設(shè)正方體邊長為1在中故答案選B本題考查了線面夾角，判斷與平面所成角為是解得的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.8、C【解析】

按系統(tǒng)抽樣的概念知應(yīng)選C，可分兩步：一是從2018人中剔除18留下的概率是，第二步從2000人中選50人選中的概率是，兩者相乘即得．【詳解】從2018人中剔除18人每一個留下的概率是，再從2000人中選50人被選中的概率是，∴每人入選的概率是．故選C．本題考查隨機(jī)抽樣的事件與概率，在這種抽樣機(jī)制中，每個個體都是無差別的個體，被抽取的概率都相等．9、C【解析】從其他5個字母中任取4個,然后與“”進(jìn)行全排列,共有,故選B.10、D【解析】∵.故選D11、B【解析】若是3:2獲勝，那么第五局甲勝，前四局2:2，所以概率為，故選B.12、B【解析】試題分析：此題沒有被解答的概率為，故能夠?qū)⒋祟}解答出的概率為．故選D．考點：相互獨立事件的概率乘法公式．點評：本題考查相互獨立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率和公式、對立事件的概率公式；注意正難則反的原則，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后分類討論函數(shù)的單調(diào)性，由題意可以求出的取值范圍，然后對四個判斷逐一辨別真假即可.【詳解】，.當(dāng)時，，函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，而，所以函數(shù)只有一個零點，不符合題意；當(dāng)時，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)遞減，故函數(shù)的最小值為，要想函數(shù)有兩個零點，則必有，故判斷①不對；對于②：，取，，所以，故判斷②不對；對于④：構(gòu)造函數(shù)，，所以函數(shù)是上單調(diào)遞增，故，而，所以，故本判斷是正確的；對于③：因為，而，所以有，故本判斷是錯誤的，故正確的判斷的個數(shù)為1.本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點、極值點，考查了推理論證能力.14、-1【解析】

由題意，根據(jù)復(fù)數(shù)的運算，化簡得，即可得到復(fù)數(shù)的虛部．【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的虛部為．本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運算及復(fù)數(shù)的分類，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的四則運算，正確化簡、運算復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的概念求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

作與，連接，說明與都在以為焦點的橢球上，且都垂直與焦距，，取BC的中點F，推出當(dāng)是等腰直角三角形時幾何體的體積最大，求解即可.【詳解】解：作與，連接，則平面，，由題意，與都在以為焦點的橢球上，且都垂直與焦距且垂足為同一點E，顯然與全等，所以，取BC的中點F，，要四面體ABCD的體積最大，因為AD是定值，只需三角形EBC面積最大，因為BC是定值，所以只需EF最大即可，當(dāng)是等腰直角三角形時幾何體的體積最大，，，，所以幾何體的體積為：,故答案為：.本題考查棱錐的體積，考查空間想象能力以及計算能力，是中檔題.16、【解析】

根據(jù)題中條件，設(shè)，表示出四邊形的面積，由題意得到平面時，四棱錐體積最大,此時，根據(jù)四棱錐的體積公式，表示出，用導(dǎo)數(shù)的方法求其最值即可.【詳解】在中，由已知，，，所以設(shè)，四邊形的面積為,當(dāng)平面時，四棱錐體積最大,此時，且,故四棱錐體積為，，時，；時，,所以，當(dāng)時，.故答案為本題主要考查求幾何體的體積，熟記體積公式，以及導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的最值即可，屬于?？碱}型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），6.1（2）見解析【解析】試題分析：（1）由線性回歸方程過點（，）,可得,再求x=6時對應(yīng)函數(shù)值即為6月份生產(chǎn)的甲膠囊產(chǎn)量數(shù)（2）先確定隨機(jī)變量取法：ξ=0，1，2，3，再利用組合數(shù)求對應(yīng)概率，列表可得分布列，最后根據(jù)公式求數(shù)學(xué)期望試題解析：解：（1）==3，（4+4+5+6+6）=5，因線性回歸方程=x+過點（，），∴=﹣=5﹣0.6×3=3.2，∴6月份的生產(chǎn)甲膠囊的產(chǎn)量數(shù)：=0.6×6+3.2=6.1．（2）ξ=0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，其分布列為ξ0123P所以Eξ==．18、（1）極大值為，極小值為（2）【解析】

試題分析：（Ⅰ）由求導(dǎo)公式和法則求出f′（x），求出方程f′（x）=0的根，根據(jù)二次函數(shù)的圖象求出f′（x）＜0、f′（x）＞0的解集，由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系求出f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出f′（0）：切線的斜率，由解析式求出f（0）的值，根據(jù)點斜式求出曲線在點（0，f（0））處的切線方程，再化為一般式方程試題解析：（1），，．①當(dāng)時，；②當(dāng)時，．當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：當(dāng)時，有極大值，并且極大值為當(dāng)時，有極小值，并且極小值為（2），．考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值19、（1）（2）見解析【解析】

（1）猜想不等式左邊最后一個數(shù)分母，對應(yīng)各式右端為，即得解；（2）遞推部分，利用時結(jié)論，替換括號內(nèi)部分即得證.【詳解】解：（1）觀察不等式左邊最后一個數(shù)分母的特點：，，，，猜想不等式左邊最后一個數(shù)分母，對應(yīng)各式右端為，所以，不等式的一般結(jié)論為：（2）證明：①當(dāng)時顯然成立；②假設(shè)時結(jié)論成立，即：成立，當(dāng)時，即當(dāng)時結(jié)論也成立.由①②可知對任意，結(jié)論都成立.本題考查了歸納推理和數(shù)學(xué)歸納法，考查了學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.20、（1）證明見解析，；（2）【解析】

（1）將函數(shù)解析式重新整理，解得定點，再求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，最后根據(jù)點斜式得切線方程，（2）先解出，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)值域.【詳解】（1）因為，所以，所以函數(shù)的圖像經(jīng)過一個定點，因為，所以切線的斜率，.所以在點處的切線方程為，即；（2）因為，，所以，故，則，由得或，當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：1200單調(diào)減單調(diào)增從而在上有最小值，且最小值為，因為，，所以，因為在上單調(diào)減，，所以，所以，所以最大值為，所以函數(shù)在上的值域為.本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)值域，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.21、（1）（2）【解析】

（1）利用求出當(dāng)時的通項，根據(jù)為等比數(shù)列得到的值后可得.（2）利用分組求和法可求的前項和.【詳解】（1）因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以對也成立，所以，即.（2）由（1）可得，因為，所以，所以，即.（1）數(shù)列的通項與前項和的關(guān)系是，我們常利用這個關(guān)系式實現(xiàn)與之間的相互轉(zhuǎn)化.（2）數(shù)列求和關(guān)鍵看通項的結(jié)構(gòu)形式，如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯位相減法；如果通項可以拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項的差，那么用裂項相消法；如果通項的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項