實數(shù)指數(shù)冪及其運算高一年級數(shù)學(xué)主講人

為了解決類似情境中的問題，需要進一步學(xué)習指數(shù)運算.回顧初中所學(xué)的整數(shù)指數(shù)冪相關(guān)知識：1.正整數(shù)指數(shù)冪：一般地，（個相乘，），其中稱為底數(shù)，稱為指數(shù)，叫的次冪.

零指數(shù)冪：（）.

負整數(shù)指數(shù)冪：.溫故知新

例如：正整數(shù)指數(shù)冪：

0指數(shù)冪：負整數(shù)指數(shù)冪：溫故知新2.你還記得整數(shù)指數(shù)冪有哪些運算法則嗎？（1）

（2）（3）（4）溫故知新回顧初中所學(xué)的平方根和立方根知識：1.平方根：如果，則稱為的平方根（或二次方根）.當時，有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；正的平方根為負的平方根為.

當

時，只有一個平方根，記為

.當時，在實數(shù)范圍內(nèi)沒有平方根.溫故知新

你還記得二次根式有哪些運算法則嗎？

（1）

（2）

（3）

溫故知新2.立方根：如果，則稱為的立方根（或三次方根）.在實數(shù)范圍內(nèi)，任意實數(shù)有且只有一個立方根，記為

..

溫故知新概念推廣

復(fù)習了平方根和立方根的概念后，你能類比給出四次方根、五次方根的定義，進而得到n次方根的定義嗎？

n次方根的定義:

一般地,給定大于1的正整數(shù)

n和實數(shù)，如果存在實數(shù)

,使得，則稱為的n次方根.

得到新知

通過的解的情況，參考平方根與立方根的特征，你能歸納出n次方根的一些特征嗎？如：

嘗試與發(fā)現(xiàn)

奇數(shù)偶數(shù)a=0a>0有且只有一個，記作：，是一個正數(shù).有兩個，它們互為相反數(shù)，記為

和a<0有且只有一個，記作：，是一個負數(shù).實數(shù)范圍內(nèi)不存在被開方數(shù)a根指數(shù)n嘗試與發(fā)現(xiàn)

根式定義：當

有意義時，

稱為根式，n稱為根指數(shù)，

稱為被開方數(shù).

那么，你能根據(jù)n次方根的上述特征得到根式的運算性質(zhì)嗎？如：

得到新知

根式的運算性質(zhì)：

（1）

（2）當n為奇數(shù)時，；當n為偶數(shù)時，.

練習：

得到新知

復(fù)習了整數(shù)指數(shù)冪的運算和根式的概念與運算以后，我們來將其推廣到分數(shù)指數(shù)冪運算，即給出等的定義,我們希望推廣后相關(guān)運算性質(zhì)仍然保持,如,在m、n都是分數(shù)時仍然成立，是否可以呢？

思考與發(fā)現(xiàn)

計算比較下面兩組算式，看看有什么發(fā)現(xiàn)？1.,；,.2.,；,.發(fā)現(xiàn)：每組式子中的計算結(jié)果相同，所以根式可轉(zhuǎn)化為分數(shù)指數(shù)冪的形式,即根式與分數(shù)指數(shù)冪可以互化.嘗試與發(fā)現(xiàn)

一.分數(shù)指數(shù)冪運算:

一般地,如果n是正整數(shù)，則當有意義時，規(guī)定,當沒有意義時，稱沒有意義.(如:沒有意義)對于一般的正分數(shù)，也可作類似規(guī)定,即（且為既約分數(shù)）如：

負分數(shù)指數(shù)冪定義與負整數(shù)指數(shù)冪類似，即若s是正分數(shù)，

有意義且

時，規(guī)定.

概念生成

自此,我們便將整數(shù)指數(shù)冪推廣到分數(shù)指數(shù)冪,即推廣到有理數(shù)指數(shù)冪的范圍了.同樣，運算法則也可以推廣：二.有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則:

當s與t都是有理數(shù)時，有運算法則：

.

.

.

.

概念生成

例1:計算下列各式:

,

,

,

.

.例題示范

總結(jié)：計算負指數(shù)冪時，先轉(zhuǎn)化為正指數(shù)冪，再選擇合適運算順序進行計算.

例2:計算或化簡下列各式:

例題示范將整數(shù)指數(shù)冪運算推廣到有理指數(shù)冪后，自然會想到，是否可以進一步推廣到無理數(shù)指數(shù)冪呢？探究：如何理解這個數(shù)呢？根據(jù)所學(xué)知識，猜測的取值.

嘗試與發(fā)現(xiàn)

不難猜出：而因為是個無理數(shù)，同樣可以一步步得到：

...可見,序列,,,,...;

,

,

,,...自主探究

中的數(shù)隨著指數(shù)小數(shù)點后位數(shù)的增加,會越來越接近一個實數(shù),這個實數(shù)就是.

自主探究

自此,我們便將有理指數(shù)冪推廣到無理指數(shù)冪,即推廣到實數(shù)指數(shù)冪的范圍了.

三.實數(shù)指數(shù)冪及其運算法則:

一般地,當且t是無理數(shù)時,都是一個確定的實數(shù),可以用上述方法求出它任意精度的近似值.故當,t是任意實數(shù)時,實數(shù)都有意義.同樣可證明，類似有理指數(shù)冪的運算法則實數(shù)指數(shù)冪也成立.

.

概念生成例3:計算下列各式:

小結(jié)：根式→有理指數(shù)冪

不同底→同底

例題示范例4:化簡下列各式:

例題示范

例題示范

通過本節(jié)課的學(xué)習，你有哪些收獲？