安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2025年春季聯(lián)賽(高一)本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，選擇題第1至第3頁，非選擇題第4至第6頁。全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。考生注意事項(xiàng)：1.答題前，務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的姓名、座位號，并認(rèn)真核對答題卡上所粘貼的條形碼中姓名、座位號與本人姓名、座位號是否一致。2.答選擇題時(shí)，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需3.答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫，要求字體工整、筆跡清晰。作圖題可先用鉛筆在答題卡規(guī)定的位置繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米的黑色墨水簽字筆描清楚。必須在題號所指示的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在4.考試結(jié)束，務(wù)必將試題卷和答題卡一并上交。一、選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件2.已知集合A={x|2x2-3x≤2},,則A∩B=()A.f(2025)=0B.f(x)的周期為6C.f(x)圖象關(guān)于直線對稱D.f(x—6)是奇函數(shù)5.已知函數(shù),實(shí)數(shù)a,b滿足f(a)—f(—b)>0,則下列說法正確的是()A.a2>b2B.a2<b2C.a+b>06.已知函數(shù),且函數(shù)f(x)的相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的直線距離為√5+π2,若Vx∈R,f(xn)≥f(x),則sinxn=7.定義,若函數(shù)f(x)=min{x2—tx+t+3,21-4},當(dāng)關(guān)于x的方程f(x)=0至少有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根時(shí)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()BDD二、選擇題(本題共3小題，第9題為選考題，請考生任選一題作答。每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。)9.【選考人教版—復(fù)數(shù)】已知復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位),則下列說法正確的是()【選考北師大版——百分位數(shù)】現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)1,2,5,7,10,則下列說法正確的是()A.這組數(shù)據(jù)的極差為8B.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5C.這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為5D.這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為610.在銳角△ABC中，下列結(jié)論一定成立的是()A.sinA>cosBB.tanA+tanB+tanC=taC.1+sin2C<cos2B+sin2AD.sin2A-sin2B=sin11.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，非零向量OA=(m,n),其中m2+n2=1,將OA繞著點(diǎn)O沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到向量OB,點(diǎn)P滿足AP=2PB,則下列說法正確的是()A.若構(gòu)成△OAB,則△OAB面積的最大值為 B.OB在OA方向上的投影向量為(mcosθ,nsinθ)D.|OP|的最小值為考生注意事項(xiàng)：請用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分。第14題為選考題，請考生任選一題作答，若兩題都答，則以所做的第一題計(jì)分。)12.定義在R上的函數(shù)f(x),滿足f(—3)>f(2),且對Vx,y∈R,都有f(xy)=f(x)f(y)成立.請寫出一個(gè)滿足上述條件的函數(shù)f(x)=13.已知a>b>0,的最小值為14-1.【選考人教版——球】勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”,它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動(如圖甲),利用這一原理，科技人員發(fā)明了轉(zhuǎn)子發(fā)動機(jī).勒洛四面體是以正四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體如圖乙所示.已知正四面體ABCD的內(nèi)切球的半徑,若在勒洛四面體ABCD內(nèi)放一個(gè)小正方體零件，該零件可以在勒洛四面體ABCD內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則該零件棱長的最大值為乙14-2.【選考北師大版——古典概型】一個(gè)不透明的盒子里裝有規(guī)格完全相同的5個(gè)小球，編號分別為1,2,3,4,5,現(xiàn)采用有放回的方式摸球3次，每次摸出1個(gè)小球，其中第3次是先拿出編號為1,3,5的三個(gè)小球后再摸球一次，則這三次摸到的小球號碼之和為偶數(shù)的概率四、解答題(本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。)15.(13分)(1)若c=√2,求b;16.(15分)如圖，已知扇形AOB的圓心角為,半徑為1,點(diǎn)E,F分別是弧AB上的三等分點(diǎn)，連接(2)求BE·AF.17.(15分)已知函數(shù),g(x)=Inx,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).(1)若f(x)在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)求y=[g(x)]2-g(ex)-1,x∈[1,e2]的值域；(3)若x。是方程x2e?+g(x)=0范圍.(選考題)(17分)(請考生從18-1,18-2兩題中任選一題作答，若兩題都答，則以所做的第一題計(jì)分。)18-1.【選考人教版——立體幾何】點(diǎn)，將△BCE沿著CE翻折成△PCE,使得第18-1題圖(2)若點(diǎn)M,N分別為棱AP和PC的中點(diǎn)，求四面體M-DEN的體積；(3)求平面PAE與底面AECD所成二面角的余弦值.18-2.【選考北師大版——統(tǒng)計(jì)和概率】隨著新能源汽車的不斷普及，城市街道上的綠色牌照車輛日益增多，悄然改變著人們的出行方式。為了研究購買新能源汽車的人群年齡分布，現(xiàn)從某品牌新能源汽車近一年的銷售情況中隨機(jī)抽取了100位顧客的基本信息，按年齡(單位：歲)分組，分為5組，依次是(20,30),(30,40),(40,50),[50,60],(60,70),整理可得到如下的頻率分布直方圖.用樣本的數(shù)字特征來估計(jì)總體的數(shù)字特征，請完成以下問題(1)求a;(2)估計(jì)該品牌新能源汽車的購買人群的平均年齡；(3)經(jīng)計(jì)算可知，樣本數(shù)據(jù)中年齡位于(50,60)內(nèi)的方差為12,年齡位于(60,70)內(nèi)的方差為10,請估計(jì)該品牌新能源汽車的購買人群的年齡在50歲以上的方差.第18-2題圖19.(17分)已知集合A={1,2,3,…n}.對于A的非空子集S,定義函數(shù)f(S)為S中所有元素的最大公約數(shù)(gcd),例如gcd(2)=2,gcd(1,2)=1,gcd(2,6,12)=2.請解決以下問題.(1)當(dāng)n=6時(shí)，求滿足f(S)=1的二元集合S的個(gè)數(shù)；(2)證明：當(dāng)n為質(zhì)數(shù)時(shí)，且S至少含有2個(gè)元素時(shí)，則f(S)=1的充要條件是S中存在兩個(gè)互質(zhì)的元素；(3)當(dāng)n=10時(shí)，求所有滿足f(S)=1的非空子集S的個(gè)數(shù).安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2025年春季聯(lián)賽(高一)12345678CCDBDABB9一、選擇題：本大題共8個(gè)題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.【答案】C【解析】a2+b2≤2ab?(a-b)2≤0?a=b,即p與q等價(jià)，所以p是q的充要條件.2.【答案】C【解析】則A∩B={x|0<x≤2},故答案選C3.【答案】D4.【答案】B【解析】由f(1+x)=-f(2-x)得f(1+x)+f(2-x)=0,則函數(shù)f(x)圖象關(guān)于點(diǎn))對稱，所以答案C錯(cuò)誤；又因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，則易得f(x)的周期為6,故答案B正確；f(x-6)為偶函數(shù)，答案D錯(cuò)誤；f(2025)=f(3)=f(0),不一定為0,故答案A錯(cuò)誤.5.【答案】D【解析】,定義域?yàn)?-1,1),由得，f(x)為奇函數(shù)，則f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；由f(a)-f(-b)>0得-1<a<-b<1,故答案D正確.6.【答案】A【解析】由)可知，T=2π,函數(shù)f(x)相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的直線距離為√5+π2,即有,解得a=1.所以.對Vx∈R,f(x。)≥f(x),則在x?處取最大值，即有sin(x+φ)=1,即數(shù)學(xué)試題第1頁(共7頁)數(shù)學(xué)試題第2頁(共7頁)7.【答案】B【解析】(方法一)易知方程2-4=0只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，分別為x=-2和x=2,故方程x2-tx+t+3=0至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，下面分情況討論：當(dāng)△=t-4(t+3)=0時(shí)，即t=6或t=-2時(shí)，方程只有一個(gè)根，若t=6,則根為x=3,符合題意；若t=-2,則根為x=-1,結(jié)合取小函數(shù)圖象可知，方程f(x)=0只有兩個(gè)根，不符合題意；當(dāng)△=t2-4(t+3)>0時(shí)，即t>6或t<-2時(shí)，方程x2-tx+t+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，分別設(shè)為x,x?,并且x?<x?,結(jié)合取小函數(shù)圖象，當(dāng)2≤x?<x?或x<x?≤-2時(shí)，方程f(x)=0至少有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則或,解得6<t≤7;則實(shí)數(shù)t的取值范圍是[6,7],故答案B正確.(方法二)代入特殊值，排除法CP=在△APC中，由余弦定理可知，AC2=CP2+AP2-2·CP·AP·cos60°,計(jì)算得再由余弦定理可知，AP2=CP2+AC2-2·CP·AC·cosθ,帶入計(jì)算得(方法二)此點(diǎn)為布洛卡點(diǎn)，故由余弦定理可證(a2+b2+c2)·tanθ=4SABC,所以展開即可.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)得0分。9.【答案】(人教版)BD;(北師大版)BD.【解析】(人教版),故(北師大版)這組數(shù)據(jù)的極差為10-1=9,這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(1+2+5+7+10)÷5=5,因?yàn)?×60%=3,數(shù)學(xué)試題第3頁(共7頁)故取從小到大排列的第3和第4個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即故BD正確.【解析】由得則即sinA>cosB,故A正確；由變形得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,故答案B正確；因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以a2<b2+c2,則sin2A<sin2B+sin2C,sin2A<sin2C+(1-cos2B),故答案C錯(cuò)誤；sin(A+B)sin(A-B)=(sinAcosB+cosAsin=(sinAcosB)2-(cosAsinB)2=sin2A(1-sin2B)-(1-sin2A)sin2B=sin2A-sin2B,故答案D正確；故ABD正確.【解析】本題改編自人教版習(xí)題6.4的第11題.選項(xiàng)A,易知△OAB為等腰三角形，且|OAHOB|=1,所以△OAB面積的最大值為,此時(shí)θ=90°,選項(xiàng)B,OB在OA方向上的投影向量為xg=|OB|=cos(a+θ)=cosacosθ-sinasinθ=mcosyB=|OB?F=sin(a+θ)=sinacosθ+cosasinθ=msinθ+ncosθ,選項(xiàng)D,因?yàn)锳P=2PB,且O,A,B三點(diǎn)不共線，故,平方得.故ACD正確.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.【答案】f(x)=x2,f(x)=x(答案不唯一)【解析】由Vx,y∈R,都有f(xy)=f(x)f(y)可知，冪函數(shù)f(x)=x”滿足性質(zhì)；再由f(-3)>f(2)可知該冪函數(shù)在R上不是單調(diào)函數(shù)，故可填f(x)=x2.(答案不唯一)13.【答案】數(shù)學(xué)試題第4頁(共7頁)【解析】令a+2b=m,則m>0,a-b=n,則n>0;由可解,帶入原式可得,當(dāng)且僅當(dāng),即m=√2n時(shí)取等，的最小值14.【答案】(人教版)(北師大版)【解析】(人教版)由正四面體ABCD的內(nèi)切球的半徑為可得該正四面體的棱長為2,正方體零件可以在勒洛四面體ABCD內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，不難得到當(dāng)零件棱長最大時(shí)，該正方體內(nèi)接于勒洛四面體的內(nèi)切球.勒洛四面體的內(nèi)切球與勒洛四面體的弧面相切，如圖，點(diǎn)0為該球的球心，易知該球的球心0為正四面體ABCD的中心，半徑為OE,連接BE,易知B,O,E三點(diǎn)共線，且BE=2,,所以,即勒洛四面體的內(nèi)切球的半徑為,則該內(nèi)切球的內(nèi)接正方體的棱長為.,即該正方體零件的棱長的最大值為：(北師大版)(方法一)前兩次小球的號碼之和必為偶數(shù)，即前兩次都為奇數(shù)或者偶數(shù).(方法二)由列表法可知前兩次有放回的摸球號碼之和號碼之和第一次小球的號碼12345第二次小球12345623456734567845678956789之和也必為偶數(shù)，由表格可知此概率為四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)【解析】(1)如圖15-1,當(dāng)c=√2時(shí)，(2)如圖15-2,當(dāng)BD=2DC時(shí)，即所以(6分)(8分)(10分)(13分)圖15-1圖15-216.(15分)【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)E,F分別是弧AB上的三等分點(diǎn)，所以,(2分)所以O(shè)F=OA+√2OB,(注：建立平面直角坐標(biāo)系亦可做)17.(15分)(6分)(10分)(15分)即(4分)(2)y=[g(x)]2-g(ex)-1=(Inx)2-In(ex)-1=(Inx)2-I(3)若x是方程x2e?+g(x)=0的根，則數(shù)學(xué)試題第5頁(共7頁),即Inx?=-x?,(13分)18.(17分)(人教版)【解析】(1)取CE的中點(diǎn)為Q,(2)連接AC交DE于點(diǎn)G,連接MG,在四邊形AECD中，由AE//CD,AE=CD,可得四邊形AECD為平行四邊形，所以點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)，又因?yàn)镸為AP的中點(diǎn)，所以MG是三角形PAC的中位線，故MG//PC,所以VM-DEN=VN-MDE=Vc-MDE=VM-CDE,(7分)過點(diǎn)P作底面AECD的垂線，交DQ延長線于點(diǎn)0,在直角△POQ中，(11分)(3)由(2)可知，PO⊥底面AECD,延長AE,過點(diǎn)0作AE延長線的垂線，交點(diǎn)記為T,連接PT,因?yàn)镻O⊥底面AECD,所以PO⊥AE,又因?yàn)镻在直角所以(北師大版)(1)在頻率分布直方圖中，所有小矩形的面積和為1,則(2a+3a+7a+0.030+2a)×10=1,解得a=0.005.(4分)歲.(8分)數(shù)學(xué)試題第6頁(共7頁)(3)先計(jì)算樣本數(shù)據(jù)中年齡位于[50,70]內(nèi)的平均數(shù)為根據(jù)方差的定義，記年齡位于[50,60]內(nèi)的平均數(shù)為x=55,方差為s2=12,人數(shù)為30,年齡位于[60,70]內(nèi)的平均數(shù)