2025學(xué)年度大一上學(xué)期大學(xué)高等數(shù)學(xué)（上）期中測試題：線性代數(shù)矩陣運算挑戰(zhàn)題一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.設(shè)矩陣A為\[A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]則矩陣A的行列式值為______。A.1B.2C.5D.102.若矩陣A可逆，且滿足A的逆矩陣為\[A^{-1}=\begin{bmatrix}2&1\\-1&3\end{bmatrix}\]則矩陣A的行列式值為______。A.5B.6C.7D.83.設(shè)矩陣B為\[B=\begin{bmatrix}3&-2\\1&4\end{bmatrix}\]則矩陣B的秩為______。A.1B.2C.3D.44.若矩陣C滿足C的行列式值為0，則矩陣C______。A.必定可逆B.必定不可逆C.可逆與不可逆都可能D.無法確定5.設(shè)矩陣D為\[D=\begin{bmatrix}2&1&3\\0&1&4\\1&0&2\end{bmatrix}\]則矩陣D的逆矩陣為______。A.\[\begin{bmatrix}2&1&3\\0&1&4\\1&0&2\end{bmatrix}\]B.\[\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&4\\1&0&2\end{bmatrix}\]C.\[\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&4\\1&0&2\end{bmatrix}\]D.\[\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&4\\1&0&2\end{bmatrix}\]6.若矩陣E為\[E=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\]則矩陣E的逆矩陣為______。A.\[\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\]B.\[\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}\]C.\[\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\]D.\[\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}\]7.若矩陣F為\[F=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]則矩陣F的秩為______。A.1B.2C.3D.48.設(shè)矩陣G滿足G的逆矩陣為\[G^{-1}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]則矩陣G的行列式值為______。A.1B.2C.5D.109.若矩陣H滿足H的行列式值為0，則矩陣H______。A.必定可逆B.必定不可逆C.可逆與不可逆都可能D.無法確定10.設(shè)矩陣I為\[I=\begin{bmatrix}2&1&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]則矩陣I的逆矩陣為______。A.\[\begin{bmatrix}2&1&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]B.\[\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]C.\[\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]D.\[\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]二、多項選擇題（本大題共5小題，每小題10分，共50分）1.下列矩陣中，哪些是方陣？A.\[\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]B.\[\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}\]C.\[\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\\7&8\end{bmatrix}\]D.\[\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]2.下列矩陣中，哪些是可逆矩陣？A.\[\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\]B.\[\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]C.\[\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}\]D.\[\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]3.下列矩陣中，哪些是等價矩陣？A.\[\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]B.\[\begin{bmatrix}2&4\\6&8\end{bmatrix}\]C.\[\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]D.\[\begin{bmatrix}2&4\\6&8\end{bmatrix}\]4.下列矩陣中，哪些是行簡化階梯形矩陣？A.\[\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]B.\[\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\]C.\[\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}\]D.\[\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\]5.下列矩陣中，哪些是初等矩陣？A.\[\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\]B.\[\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\]C.\[\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}\]D.\[\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\]四、填空題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.設(shè)矩陣A為\[A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]則矩陣A的伴隨矩陣為______。2.若矩陣B為\[B=\begin{bmatrix}2&1\\3&2\end{bmatrix}\]則矩陣B的逆矩陣為______。3.設(shè)矩陣C為\[C=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]則矩陣C的秩為______。4.若矩陣D滿足D的逆矩陣為\[D^{-1}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]則矩陣D的行列式值為______。5.設(shè)矩陣E為\[E=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\]則矩陣E的逆矩陣為______。6.若矩陣F滿足F的行列式值為0，則矩陣F______。7.設(shè)矩陣G為\[G=\begin{bmatrix}2&1&3\\0&1&4\\1&0&2\end{bmatrix}\]則矩陣G的逆矩陣為______。8.若矩陣H滿足H的逆矩陣為\[H^{-1}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]則矩陣H的行列式值為______。9.設(shè)矩陣I為\[I=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]則矩陣I的秩為______。10.若矩陣J滿足J的行列式值為0，則矩陣J______。五、計算題（本大題共3小題，每小題20分，共60分）1.計算矩陣A的逆矩陣，其中\(zhòng)[A=\begin{bmatrix}2&3\\1&2\end{bmatrix}\]2.計算矩陣B的行列式，其中\(zhòng)[B=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]3.計算矩陣C的秩，其中\(zhòng)[C=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]六、應(yīng)用題（本大題共2小題，每小題30分，共60分）1.設(shè)線性方程組\[\begin{cases}x+2y-z=1\\2x+y+3z=2\\3x+4y+z=3\end{cases}\]求解該方程組的通解。2.設(shè)矩陣A為\[A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]判斷矩陣A是否可逆，并給出理由。本次試卷答案如下：一、單項選擇題1.答案：D解析：矩陣A的行列式計算為\(1\times4-2\times3=4-6=-2\)。2.答案：C解析：由于\(A\cdotA^{-1}=E\)，其中\(zhòng)(E\)是單位矩陣，因此\(\det(A)\cdot\det(A^{-1})=1\)。由于\(A^{-1}\)的行列式已知為7，所以\(\det(A)=\frac{1}{7}\)。3.答案：B解析：矩陣B的秩為2，因為它有兩個非零行。4.答案：B解析：行列式值為0意味著矩陣不是滿秩的，因此必定不可逆。5.答案：A解析：根據(jù)逆矩陣的定義，D的逆矩陣就是它自己。6.答案：A解析：單位矩陣的逆矩陣就是它自己。7.答案：C解析：矩陣F的秩為3，因為它有三個線性無關(guān)的行。8.答案：D解析：由于\(G\cdotG^{-1}=E\)，所以\(\det(G)\cdot\det(G^{-1})=1\)。由于\(G^{-1}\)的行列式已知為5，所以\(\det(G)=\frac{1}{5}\)。9.答案：B解析：行列式值為0意味著矩陣不是滿秩的，因此必定不可逆。10.答案：C解析：行列式值為0意味著矩陣不是滿秩的，因此可逆與不可逆都可能。二、多項選擇題1.答案：A、B解析：方陣是行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣。2.答案：A、B解析：可逆矩陣是行列式非零的矩陣。3.答案：A、B解析：等價矩陣是指可以通過一系列行變換相互轉(zhuǎn)換的矩陣。4.答案：A、B解析：行簡化階梯形矩陣是指所有非零行都是前一行乘以一個非零常數(shù)的結(jié)果。5.答案：A、B解析：初等矩陣是通過執(zhí)行一次初等行變換得到的單位矩陣。四、填空題1.答案：\(\begin{bmatrix}4&-3\\-3&1\end{bmatrix}\)解析：伴隨矩陣是對角線上的元素是原矩陣的代數(shù)余子式，其他位置的元素是原矩陣對應(yīng)元素的代數(shù)余子式取負號。2.答案：\(\begin{bmatrix}2&-1\\-3&2\end{bmatrix}\)解析：逆矩陣是使得\(B\cdotB^{-1}=E\)的矩陣。3.答案：3解析：矩陣C的秩是3，因為它有三個線性無關(guān)的行。4.答案：7解析：由于\(D\cdotD^{-1}=E\)，所以\(\det(D)\cdot\det(D^{-1})=1\)。由于\(D^{-1}\)的行列式已知為7，所以\(\det(D)=\frac{1}{7}\)。5.答案：\(\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)解析：單位矩陣的逆矩陣就是它自己。6.答案：不可逆解析：行列式值為0意味著矩陣不是滿秩的，因此必定不可逆。7.答案：\(\