第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年福建省福州市聯(lián)盟高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.化簡(jiǎn)：AB?(DC?A.2AD B.AD C.0 D.2.已知復(fù)數(shù)z=4m2+4m?3?(2m?1)i(m∈R)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為A.?32 B.?12 C.12或?3.以邊長(zhǎng)為6的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的側(cè)面積為(

)A.18π B.36π C.54π D.72π4.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若A：B：C=1：1：4，則a：b：c=(

)A.1：1：2 B.1：1：2 C.1：1：5 D.1：15.如圖，在復(fù)平面內(nèi)每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)均為1，向量OA，BC對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，則|z1A.9

B.35

C.5

6.已知一條河的兩岸平行，一艘船從河的岸邊A處出發(fā)，向?qū)Π逗叫校舸乃俣葀1=(m,3m)(m>0)，水流速度v2=(?3,0)，且船實(shí)際航行的速度的大小為9，則A.3 B.53 C.125 7.已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且sin2A?sin2B=sinA.34 B.43 C.328.已知某圓臺(tái)的體積為1423π，其軸截面為梯形ABCD，AB=4，CD=2，則在該圓臺(tái)的側(cè)距上，從點(diǎn)A到CA.32 B.33 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列關(guān)于空間幾何體的敘述錯(cuò)誤的是(

)A.底面是正五邊形的棱錐是正五棱錐

B.任何一個(gè)幾何體都必須有頂點(diǎn)、棱和面

C.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)

D.一個(gè)棱柱至少有5個(gè)面10.下列關(guān)于復(fù)數(shù)的結(jié)論正確的是(

)A.1+2i的虛部是2i

B.z1z2?=z1?z11.如圖，某旅游部門(mén)計(jì)劃在湖中心Q處建一游覽亭，打造一條三角形DEQ游覽路線.已知AB，BC是湖岸上的兩條雨路，∠ABC=120°，BD=0.3km，BE=0.5km，∠DQE=60°(觀光亭Q視為一點(diǎn)，游覽路線、雨路的寬度忽略不計(jì))，則(

)A.DE=0.7km B.當(dāng)∠DEQ=45°時(shí)，DQ=7620km

C.△DEQ面積的最大值為49三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.用斜二測(cè)畫(huà)法作出水平放置的正方形ABCD的直觀圖A′B′C′D′如圖所示，則正方形ABCD與直觀圖A′B′C′D′的周長(zhǎng)之比為_(kāi)_____．13.已知|a|=3，向量b在a上的投影向量為?23a，則14.在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足EB=2AE，AD與CE交于點(diǎn)O，則EOCO的值為_(kāi)_____；若AB?AC四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a=(?2,3)，b=(k,2?k)．

(1)若a//b，求實(shí)數(shù)k的值；

(2)若a+2b16.(本小題15分)

已知m∈R，復(fù)數(shù)z=2m+3+(m?1)i．

(1)若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，求m的取值范圍；

(2)若z滿足z+3z?=n+4i，n∈R，求17.(本小題15分)

如圖，在△ABC中，AB=3，AC=4，∠A=60°，點(diǎn)D，E滿足AD=2DB，AC=2CE，AC邊上的中線BM與DE交于點(diǎn)O.設(shè)BD=a，CE=b．

(1)用向量a，b表示BM，DE18.(本小題17分)

如圖，一個(gè)圓錐挖掉一個(gè)內(nèi)接正三棱柱ABC?A1B1C1(棱柱各頂點(diǎn)均在圓錐側(cè)面或底面上)，若棱柱側(cè)面BCC1B1落在圓錐底面上.已知正三棱柱底面邊長(zhǎng)為2319.(本小題17分)

在△ABC中，D是AB邊上靠近B的三等分點(diǎn)．

(1)若CD=DB，證明：BC+2ACcos∠ACB=0；

(2)若∠ACD=π3，AD=3．

(i)求△ABC面積的最大值；

(ii)求BC的最小值．

參考答案1.C

2.A

3.D

4.D

5.B

6.A

7.A

8.B

9.ABC

10.BD

11.AC

12.4313.?6

14.13

15.解：向量a=(?2,3)，b=(k,2?k)．

(1)a//b，可得?2(2?k)?3k=0，解得k=?4；

(2)a+2b與2a?b垂直，

可得(a+2b)?(2a?b)=0，即2a2+3a?b?2b2=0，

即2[(?2)2+32]+3[?2k+3(2?k)]?2[k2+(2?k)2]=0，整理得：4k2+7k?36=0，解得k=?4或k=94．

16.解：(1)復(fù)數(shù)z=2m+3+(m?1)i17.解：(1)由AD=2DB，AC=2CE可知，AD=?2a，AC=2b，

則AB=?3a，AE=3b，所以DE=AE?AD=3b+2a；

又BM為AC邊上的中線，

所以BM=AM?AB=12AC?AB=b+3a．

(2)由AB=3，AC=4得|a|=1，|b|=2，又∠A=60°，

所以a與b的夾角為120°，則a?b=?1．

18.解：(1)∵正三棱柱ABC?A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為23，高為2，

∴S△ABC=12BC2?sinπ3=12×(23)2×32=33，

∴正三棱柱ABC?A1B1C1的體積V=S△ABC?AA1=33×2=63；

(2)在正三棱柱ABC?A1B1C1中，由(1)知，S△ABC=33，

S矩形BCC119.(1)證明：因?yàn)镈是AB邊上靠近B的三等分點(diǎn)，

所以BD=13BA，即CD?CB=13(CA?CB)，化簡(jiǎn)得CD=13CA+23CB．

設(shè)△ABC內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，則|CD|=|DB|=13c，

因?yàn)镃D2=(13CA+23CB)2，所以19c2=19b2+49a2+49abcos∠ACB，即c2=b2+4a2+4abcos∠ACB…①，

在△ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2?2abcos∠ACB…②