微專題16平面向量的基本運(yùn)算及應(yīng)用高考定位1.以選擇題、填空題的形式考查平面向量的數(shù)量積、夾角及模的運(yùn)算，難度中低檔；2.以選擇題、填空題的形式考查平面向量的線性運(yùn)算及其幾何意義，難度中低檔.【真題體驗(yàn)】1.(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA.記eq\o(CA,\s\up6(→))＝m，eq\o(CD,\s\up6(→))＝n，則eq\o(CB,\s\up6(→))＝()A.3m－2n B.－2m＋3nC.3m＋2n D.2m＋3n2.(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，則x＝()A.－2 B.－1C.1 D.23.(2023·全國甲卷)已知向量a＝(3，1)，b＝(2，2)，則cos〈a＋b，a－b〉＝()A.eq\f(1,17) B.eq\f(\r(17),17)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(2\r(5),5)4.(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b滿足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，則|b|＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2) D.1【熱點(diǎn)突破】熱點(diǎn)一平面向量的線性運(yùn)算1.平面向量加減運(yùn)算求解的關(guān)鍵是：對平面向量加法抓住“共起點(diǎn)”或“首尾相連”；對平面向量減法抓住“共起點(diǎn)，連兩終點(diǎn)，指向被減向量的終點(diǎn)”，再觀察圖形對向量進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.2.在一般向量的線性運(yùn)算中，只要把其中的向量當(dāng)作一個字母看待，其運(yùn)算方法類似于代數(shù)中合并同類項(xiàng)的運(yùn)算，在計(jì)算時可以進(jìn)行類比.例1(1)(2024·西安模擬)已知點(diǎn)P是△ABC的重心，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝()A.eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→)) D.eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))(2)(2024·保定模擬)如圖所示，△ABC內(nèi)有一點(diǎn)G滿足eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，過點(diǎn)G作一直線分別交AB，AC于點(diǎn)D，E.若eq\o(AD,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(AC,\s\up6(→))(xy≠0)，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝()A.4 B.3C.2 D.1易錯提醒在平面向量的化簡或運(yùn)算中，要根據(jù)平面向量基本定理恰當(dāng)?shù)剡x取基底，變形要有方向，不能盲目轉(zhuǎn)化.訓(xùn)練1(1)(2024·廈門調(diào)研)如圖，正方形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))＋μeq\o(AE,\s\up6(→))，則λ－μ的值為()A.3 B.2C.1 D.－3(2)(2024·太原模擬)已知在矩形ABCD中，E為AB邊的中點(diǎn)，線段AC和DE交于點(diǎn)F，則eq\o(BF,\s\up6(→))＝()A.－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) D.－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))熱點(diǎn)二平面向量的數(shù)量積1.數(shù)量積的計(jì)算通常有三種方法：數(shù)量積的定義、坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積的幾何意義.2.可以利用數(shù)量積求向量的模和夾角，向量要分解成題中已知的向量模和夾角進(jìn)行計(jì)算.例2(1)(2024·惠州模擬)已知非零向量a，b滿足(a＋2b)⊥(a－2b)，且向量b在向量a上的投影向量是eq\f(1,4)a，則向量a與b的夾角是()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2) D.eq\f(2π,3)(2)(2024·常德模擬)已知平面向量a，b均為單位向量，且夾角為60°，若向量c與a，b共面，且滿足a·c＝b·c＝1，則|c|＝()A.1 B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\r(3) D.2(3)如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，CE＝3，CB＝8，AB＝12，則eq\o(EA,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))＝________.訓(xùn)練2(1)(多選)(2024·連云港調(diào)研)設(shè)a，b，c是三個非零向量，且相互不共線，則下列說法正確的是()A.若|a＋b|＝|a－b|，則a⊥bB.若|a|＝|b|，則(a＋b)⊥(a－b)C.若a·c＝b·c，則a－b不與c垂直D.(b·c)a－(a·c)b不與c垂直(2)(2024·鄭州調(diào)研)在矩形ABCD中，AB＝2eq\r(3)，AD＝2，點(diǎn)E滿足2eq\o(DE,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝________.熱點(diǎn)三平面向量的綜合應(yīng)用三角函數(shù)和平面向量是高中數(shù)學(xué)的兩個重要分支，內(nèi)容繁雜，且平面向量與三角函數(shù)交匯點(diǎn)較多，如向量的平行、垂直、夾角、數(shù)量積等知識都可以與三角函數(shù)進(jìn)行交匯.例3已知ω＞0，a＝(eq\r(3)sinωx，－cosωx)，b＝(cosωx，cosωx)，f(x)＝a·b，x1，x2是y＝f(x)－eq\f(1,2)的兩個零點(diǎn)，且|x1－x2|min＝π.(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)))＝eq\f(1,10)，求sin2α的值.訓(xùn)練3(2024·武漢統(tǒng)考)如圖所示，A，B，C，D是正弦函數(shù)y＝sinx圖象上四個點(diǎn)，且在A，C兩點(diǎn)函數(shù)值最大，在B，D兩點(diǎn)函數(shù)值最小，則(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))＝________.【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】一、單選題1.(2024·全國甲卷)設(shè)向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，則()A.x＝－3是a⊥b的必要條件B.x＝－3是a∥b的必要條件C.x＝0是a⊥b的充分條件D.x＝－1＋eq\r(3)是a∥b的充分條件2.(2024·唐山模擬)已知向量a＝(3，－1)，b＝(－2，x)，若a⊥(a＋b)，則|b|＝()A.2eq\r(5) B.4C.2eq\r(10) D.203.(2024·合肥模擬)已知向量a＝(sinθ，cosθ)，b＝(eq\r(2)，1)，若a·b＝|b|，則tanθ＝()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\r(2)C.eq\r(3) D.eq\f(\r(3),2)4.(2024·泰安模擬)在平面內(nèi)，M，N是兩個定點(diǎn)，P是動點(diǎn)，若eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(NP,\s\up6(→))＝4，則點(diǎn)P的軌跡為()A.橢圓 B.拋物線C.直線 D.圓5.(2024·西安模擬)在△ABC中，點(diǎn)D是線段AC上一點(diǎn)，點(diǎn)P是線段BD上一點(diǎn)，且eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，則λ＝()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)6.(2024·蕪湖模擬)已知等邊△ABC的邊長為2，點(diǎn)D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，若eq\o(DE,\s\up6(→))＝2eq\o(EF,\s\up6(→))，則eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝()A.1 B.eq\f(4,5)C.eq\f(6,5) D.eq\f(5,4)7.(2024·石家莊聯(lián)考)已知點(diǎn)列{Pn}中的所有點(diǎn)都在△ABC內(nèi)部，△ABPn的面積與△ACPn的面積比值為eq\f(1,3).在數(shù)列{an}中，a1＝1，若?n∈N*且n≥2，eq\o(AP,\s\up6(→))n＝3aneq\o(AB,\s\up6(→))＋(4an－1＋3)eq\o(AC,\s\up6(→))恒成立，那么a4＝()A.15 B.31C.63 D.127二、多選題8.(2024·廣州模擬)已知向量a，b不共線，向量a＋b平分a與b的夾角，則下列結(jié)論一定正確的是()A.a·b＝0B.(a＋b)⊥(a－b)C.向量a，b在a＋b上的投影向量相等D.|a＋b|＝|a－b|9.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，D，E分別是AC，AB上的兩點(diǎn)，且eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，BD與CE交于點(diǎn)O，則下列說法正確的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝－1 B.eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0C.|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2) D.eq\o(ED,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影向量的長度為eq\f(7,6)三、填空題10.若向量a，b為單位向量，且|a－2b|＝eq\r(7)，則向量a與向量b的夾角為________.11.寫出一個同時滿足下列條件①②的向量a＝________.①|(zhì)a|＝1；②向量a與b＝(1，－1)的夾角α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))).12.(2024·鎮(zhèn)江調(diào)研)大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”(如圖1).某數(shù)學(xué)興趣小組類比“趙爽弦圖”構(gòu)造出圖2：△ABC為正三角形，AD，BE，CF圍成的△DEF也為正三角形.若D為BE的中點(diǎn)，①△DEF與△ABC的面積比為________；②設(shè)eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則λ＋μ＝________.四、解答題13.已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(－eq\r(6)，eq\r(2))，x∈[0，π].(1)若a⊥b，求x的值；(2)記f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值.14.在平面四邊形ABCD中，AB＝4，AD＝2eq\r(2)，對角線AC與BD交于點(diǎn)E，E是BD的中點(diǎn)，且eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→)).(1)若∠ABD＝eq\f(π,4)，求BC的長；(2)若AC＝3，求cos∠BAD.【解析版】1.(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA.記eq\o(CA,\s\up6(→))＝m，eq\o(CD,\s\up6(→))＝n，則eq\o(CB,\s\up6(→))＝()A.3m－2n B.－2m＋3nC.3m＋2n D.2m＋3n答案B解析因?yàn)锽D＝2DA，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋3eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋3(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝－2eq\o(CA,\s\up6(→))＋3eq\o(CD,\s\up6(→))＝－2m＋3n.故選B.2.(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，則x＝()A.－2 B.－1C.1 D.2答案D解析法一因?yàn)閎⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，即b2＝4a·b.因?yàn)閍＝(0，1)，b＝(2，x)，所以b2＝4＋x2，a·b＝x，得4＋x2＝4x，所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故選D.法二因?yàn)閍＝(0，1)，b＝(2，x)，所以b－4a＝(2，x)－4(0，1)＝(2，x)－(0，4)＝(2，x－4).因?yàn)閎⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以2×2＋x(x－4)＝0，所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故選D.3.(2023·全國甲卷)已知向量a＝(3，1)，b＝(2，2)，則cos〈a＋b，a－b〉＝()A.eq\f(1,17) B.eq\f(\r(17),17)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(2\r(5),5)答案B解析由題意知a＋b＝(5，3)，a－b＝(1，－1)，所以cos〈a＋b，a－b〉＝eq\f(（a＋b）·（a－b）,|a＋b||a－b|)＝eq\f(5×1＋3×（－1）,\r(34)×\r(2))＝eq\f(2,2\r(17))＝eq\f(\r(17),17)，故選B.4.(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b滿足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，則|b|＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2) D.1答案B解析由(b－2a)⊥b，得(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0，所以b2＝2a·b.將|a＋2b|＝2的兩邊同時平方，得a2＋4a·b＋4b2＝4，即1＋2b2＋4b2＝1＋6|b|2＝4，解得|b|2＝eq\f(1,2)，所以|b|＝eq\f(\r(2),2)，故選B.【熱點(diǎn)突破】熱點(diǎn)一平面向量的線性運(yùn)算1.平面向量加減運(yùn)算求解的關(guān)鍵是：對平面向量加法抓住“共起點(diǎn)”或“首尾相連”；對平面向量減法抓住“共起點(diǎn)，連兩終點(diǎn)，指向被減向量的終點(diǎn)”，再觀察圖形對向量進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.2.在一般向量的線性運(yùn)算中，只要把其中的向量當(dāng)作一個字母看待，其運(yùn)算方法類似于代數(shù)中合并同類項(xiàng)的運(yùn)算，在計(jì)算時可以進(jìn)行類比.例1(1)(2024·西安模擬)已知點(diǎn)P是△ABC的重心，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝()A.eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→)) D.eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))(2)(2024·保定模擬)如圖所示，△ABC內(nèi)有一點(diǎn)G滿足eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，過點(diǎn)G作一直線分別交AB，AC于點(diǎn)D，E.若eq\o(AD,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(AC,\s\up6(→))(xy≠0)，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝()A.4 B.3C.2 D.1答案(1)D(2)B解析(1)延長AP與BC交于D點(diǎn)，由重心的性質(zhì)，知D為BC的中點(diǎn)，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(2eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，由此可知A，B，C錯誤，D正確，故選D.(2)因?yàn)閑q\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，所以G為△ABC的重心，又因?yàn)镚，D，E三點(diǎn)共線，所以eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝teq\o(AD,\s\up6(→))＋(1－t)eq\o(AE,\s\up6(→))＝txeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－t)yeq\o(AC,\s\up6(→))，所以tx＝eq\f(1,3)且(1－t)y＝eq\f(1,3)，所以eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝3，故選B.易錯提醒在平面向量的化簡或運(yùn)算中，要根據(jù)平面向量基本定理恰當(dāng)?shù)剡x取基底，變形要有方向，不能盲目轉(zhuǎn)化.訓(xùn)練1(1)(2024·廈門調(diào)研)如圖，正方形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))＋μeq\o(AE,\s\up6(→))，則λ－μ的值為()A.3 B.2C.1 D.－3(2)(2024·太原模擬)已知在矩形ABCD中，E為AB邊的中點(diǎn)，線段AC和DE交于點(diǎn)F，則eq\o(BF,\s\up6(→))＝()A.－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) D.－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))答案(1)D(2)D解析(1)因?yàn)镋是DC的中點(diǎn)，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，即eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\o(AC,\s\up6(→))＋2eq\o(AE,\s\up6(→))，所以λ＝－1，μ＝2，則λ－μ＝－1－2＝－3.(2)如圖，在矩形ABCD中，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))，所以△DFC∽△EFA，則eq\f(CF,FA)＝eq\f(CD,AE)＝2，所以eq\o(CF,\s\up6(→))＝2eq\o(FA,\s\up6(→))，即eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))，所以eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)).故選D.熱點(diǎn)二平面向量的數(shù)量積1.數(shù)量積的計(jì)算通常有三種方法：數(shù)量積的定義、坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積的幾何意義.2.可以利用數(shù)量積求向量的模和夾角，向量要分解成題中已知的向量模和夾角進(jìn)行計(jì)算.例2(1)(2024·惠州模擬)已知非零向量a，b滿足(a＋2b)⊥(a－2b)，且向量b在向量a上的投影向量是eq\f(1,4)a，則向量a與b的夾角是()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2) D.eq\f(2π,3)(2)(2024·常德模擬)已知平面向量a，b均為單位向量，且夾角為60°，若向量c與a，b共面，且滿足a·c＝b·c＝1，則|c|＝()A.1 B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\r(3) D.2(3)如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，CE＝3，CB＝8，AB＝12，則eq\o(EA,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))＝________.答案(1)B(2)B(3)13解析(1)∵(a＋2b)⊥(a－2b)，∴(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2＝0，即|a|＝2|b|.向量b在向量a上的投影向量是eq\f(1,4)a，則向量b在向量a上的投影向量為(|b|cos〈a，b〉)eq\f(a,|a|)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|b|,|a|)cos〈a，b〉))a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos〈a，b〉))a＝eq\f(1,4)a，∴eq\f(1,2)cos〈a，b〉＝eq\f(1,4)，即cos〈a，b〉＝eq\f(1,2).由〈a，b〉∈[0，π]，得〈a，b〉＝eq\f(π,3)，即向量a與b的夾角是eq\f(π,3).故選B.(2)設(shè)c＝ma＋nb，因?yàn)閍·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，又a·c＝b·c＝1，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a·c＝a·（ma＋nb）＝m＋\f(1,2)n＝1，,b·c＝b·（ma＋nb）＝\f(1,2)m＋n＝1，))解得m＝n＝eq\f(2,3)，所以c＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，所以|c|＝eq\r(\f(4,9)|a|2＋2×\f(2,3)|a|×\f(2,3)|b|×\f(1,2)＋\f(4,9)|b|2)＝eq\f(2\r(3),3)，故選B.(3)法一(坐標(biāo)法)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(12，0)，B(0，0)，C(0，8)，F(xiàn)(6，0)，易知CF＝eq\r(CB2＋BF2)＝10，即CE＝eq\f(3,10)FC，F(xiàn)E＝eq\f(7,10)FC，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\f(7,10)eq\o(FC,\s\up6(→))＝(6，0)＋eq\f(7,10)(－6，8)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,5)，\f(28,5)))，所以eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BE,\s\up6(→))＝(12，0)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,5)，\f(28,5)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(51,5)，－\f(28,5)))，而eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，－\f(28,5)))，所以eq\o(EA,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\f(51,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(28,5)))eq\s\up12(2)＝13.法二(基底法)由法一知eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(7,10)eq\o(CF,\s\up6(→))，且CF＝eq\r(CB2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BA))\s\up12(2))＝10，故eq\o(EA,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))＝(eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)))·(eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,10)\o(CF,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(BA,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,10)\o(CF,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(BA,\s\up6(→))))＝eq\f(49,100)eq\o(CF,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(BA,\s\up6(→))2＝eq\f(49,100)×102－eq\f(1,4)×122＝13.法三(利用極化恒等式)由法一知|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝7，由極化恒等式知eq\o(EA,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))＝|eq\o(EF,\s\up6(→))|2－eq\f(1,4)|eq\o(BA,\s\up6(→))|2＝49－eq\f(1,4)×144＝13.易錯提醒1.由向量的運(yùn)算求其夾角時要注意夾角的范圍是[0，π].2.利用基底計(jì)算數(shù)量積時，要注意選擇恰當(dāng)?shù)幕?，常用已知的向量作基?訓(xùn)練2(1)(多選)(2024·連云港調(diào)研)設(shè)a，b，c是三個非零向量，且相互不共線，則下列說法正確的是()A.若|a＋b|＝|a－b|，則a⊥bB.若|a|＝|b|，則(a＋b)⊥(a－b)C.若a·c＝b·c，則a－b不與c垂直D.(b·c)a－(a·c)b不與c垂直(2)(2024·鄭州調(diào)研)在矩形ABCD中，AB＝2eq\r(3)，AD＝2，點(diǎn)E滿足2eq\o(DE,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝________.答案(1)AB(2)－14解析(1)a，b，c是三個非零向量，對于A，|a＋b|＝|a－b|兩邊平方得(a＋b)2＝(a－b)2，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，故a·b＝0，則a⊥b，故A正確；對于B，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，因?yàn)閨a|＝|b|，所以(a＋b)·(a－b)＝0，故(a＋b)⊥(a－b)，故B正確；對于C，a·c＝b·c，故a·c－b·c＝(a－b)·c＝0，又a與b不共線，有a≠b，則a－b與c垂直，故C錯誤；對于D，[(b·c)a－(a·c)b]·c＝(b·c)(a·c)－(a·c)(b·c)＝0，故(b·c)a－(a·c)b與c垂直，故D錯誤.(2)由題意，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))的方向分別為x，y軸的正方向建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(2eq\r(3)，0)，C(2eq\r(3)，2)，D(0，2)，所以eq\o(DC,\s\up6(→))＝(2eq\r(3)，0)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－2eq\r(3)，2).因?yàn)?eq\o(DE,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，設(shè)E(x，y)，則2(x，y－2)＝3(2eq\r(3)，0)，解得E(3eq\r(3)，2)，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝(3eq\r(3)，2)，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(3eq\r(3)，2)·(－2eq\r(3)，2)＝－14.熱點(diǎn)三平面向量的綜合應(yīng)用三角函數(shù)和平面向量是高中數(shù)學(xué)的兩個重要分支，內(nèi)容繁雜，且平面向量與三角函數(shù)交匯點(diǎn)較多，如向量的平行、垂直、夾角、數(shù)量積等知識都可以與三角函數(shù)進(jìn)行交匯.例3已知ω＞0，a＝(eq\r(3)sinωx，－cosωx)，b＝(cosωx，cosωx)，f(x)＝a·b，x1，x2是y＝f(x)－eq\f(1,2)的兩個零點(diǎn)，且|x1－x2|min＝π.(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)))＝eq\f(1,10)，求sin2α的值.解(1)f(x)＝eq\r(3)sinωxcosωx－cos2ωx＝eq\f(\r(3),2)sin2ωx－eq\f(1＋cos2ωx,2)＝eq\f(\r(3),2)sin2ωx－eq\f(1,2)cos2ωx－eq\f(1,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx－\f(π,6)))－eq\f(1,2).∵x1，x2是函數(shù)y＝f(x)－eq\f(1,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx－\f(π,6)))－1的兩個零點(diǎn)，即x1，x2是方程sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx－\f(π,6)))＝1的兩個實(shí)根，且|x1－x2|min＝π，∴T＝eq\f(2π,2ω)＝π，∴ω＝1.∴f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))－eq\f(1,2).由－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq\f(π,6)＋kπ≤x≤eq\f(π,3)＋kπ，k∈Z.∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋kπ，\f(π,3)＋kπ))(k∈Z).(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))－eq\f(1,2)＝eq\f(1,10)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(3,5).∵0＜α＜eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,6)＜α－eq\f(π,6)＜eq\f(π,3)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(4,5).∵sinα＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))coseq\f(π,6)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))sineq\f(π,6)＝eq\f(4＋3\r(3),10)，cosα＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))coseq\f(π,6)－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))sineq\f(π,6)＝eq\f(4\r(3)－3,10)，∴sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f(4＋3\r(3),10)×eq\f(4\r(3)－3,10)＝eq\f(24＋7\r(3),50).規(guī)律方法對于此類問題的解決方法就是利用向量的知識將條件“脫去外衣”轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的“數(shù)量關(guān)系”，再利用三角函數(shù)的相關(guān)知識進(jìn)行求解.訓(xùn)練3(2024·武漢統(tǒng)考)如圖所示，A，B，C，D是正弦函數(shù)y＝sinx圖象上四個點(diǎn)，且在A，C兩點(diǎn)函數(shù)值最大，在B，D兩點(diǎn)函數(shù)值最小，則(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))＝________.答案12π2解析由題圖知，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)，1))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)，－1))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)，1))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)，－1))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2π，0)，eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝(6π，0)，所以(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))＝2π×6π＋0×0＝12π2.【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】一、單選題1.(2024·全國甲卷)設(shè)向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，則()A.x＝－3是a⊥b的必要條件B.x＝－3是a∥b的必要條件C.x＝0是a⊥b的充分條件D.x＝－1＋eq\r(3)是a∥b的充分條件答案C解析a⊥b?x2＋x＋2x＝0?x＝0或x＝－3，所以x＝－3是a⊥b的充分條件，x＝0是a⊥b的充分條件，故A錯誤，C正確.a∥b?2x＋2＝x2?x2－2x－2＝0?x＝1±eq\r(3)，故B，D錯誤.2.(2024·唐山模擬)已知向量a＝(3，－1)，b＝(－2，x)，若a⊥(a＋b)，則|b|＝()A.2eq\r(5) B.4C.2eq\r(10) D.20答案A解析a＋b＝(1，x－1)，因?yàn)閍⊥(a＋b)，所以3×1－1×(x－1)＝0?x＝4，所以b＝(－2，4)，所以|b|＝eq\r(4＋16)＝2eq\r(5)，故選A.3.(2024·合肥模擬)已知向量a＝(sinθ，cosθ)，b＝(eq\r(2)，1)，若a·b＝|b|，則tanθ＝()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\r(2)C.eq\r(3) D.eq\f(\r(3),2)答案B解析由a·b＝|b|得eq\r(2)sinθ＋cosθ＝eq\r(3)，又sin2θ＋cos2θ＝1，故sin2θ＋(eq\r(3)－eq\r(2)sinθ)2＝1，即3sin2θ－2eq\r(6)sinθ＋2＝0，解得sinθ＝eq\f(\r(2),\r(3))，故cosθ＝eq\r(3)－eq\r(2)sinθ＝eq\r(3)－eq\f(2\r(3),3)＝eq\f(\r(3),3)，故tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝eq\f(\r(2),\r(3))×eq\f(3,\r(3))＝eq\r(2).4.(2024·泰安模擬)在平面內(nèi)，M，N是兩個定點(diǎn)，P是動點(diǎn)，若eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(NP,\s\up6(→))＝4，則點(diǎn)P的軌跡為()A.橢圓 B.拋物線C.直線 D.圓答案D解析不妨設(shè)|MN|＝2c，以MN為x軸，MN的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，過點(diǎn)O且垂直于MN的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P(x，y)，點(diǎn)M(－c，0)，N(c，0)，則eq\o(MP,\s\up6(→))＝(x＋c，y)，eq\o(NP,\s\up6(→))＝(x－c，y).由eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(NP,\s\up6(→))＝4可得(x＋c)(x－c)＋y2＝4，即x2＋y2＝4＋c2.所以點(diǎn)P的軌跡為圓.5.(2024·西安模擬)在△ABC中，點(diǎn)D是線段AC上一點(diǎn)，點(diǎn)P是線段BD上一點(diǎn)，且eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，則λ＝()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)答案A解析因?yàn)閑q\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，又eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋2λeq\o(AD,\s\up6(→))，因?yàn)辄c(diǎn)P是線段BD上一點(diǎn)，即B，P，D三點(diǎn)共線，所以eq\f(2,3)＋2λ＝1，解得λ＝eq\f(1,6).6.(2024·蕪湖模擬)已知等邊△ABC的邊長為2，點(diǎn)D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，若eq\o(DE,\s\up6(→))＝2eq\o(EF,\s\up6(→))，則eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝()A.1 B.eq\f(4,5)C.eq\f(6,5) D.eq\f(5,4)答案A解析在△ABC中，取eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))為基底，則|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝60°.因?yàn)辄c(diǎn)D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(3,4)\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\f(1,8)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,16)eq\o(AC,\s\up6(→))2＝eq\f(1,8)×2×2×cos60°＋eq\f(3,16)×4＝1.7.(2024·石家莊聯(lián)考)已知點(diǎn)列{Pn}中的所有點(diǎn)都在△ABC內(nèi)部，△ABPn的面積與△ACPn的面積比值為eq\f(1,3).在數(shù)列{an}中，a1＝1，若?n∈N*且n≥2，eq\o(AP,\s\up6(→))n＝3aneq\o(AB,\s\up6(→))＋(4an－1＋3)eq\o(AC,\s\up6(→))恒成立，那么a4＝()A.15 B.31C.63 D.127答案D解析如圖，延長APn交BC于點(diǎn)D，則eq\f(S△ABPn,S△ABD)＝eq\f(S△ACPn,S△ACD)＝eq\f(APn,AD).又△ABPn的面積與△ACPn的面積比值為eq\f(1,3)，∴eq\f(S△ABD,S△ACD)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(BD,CD)＝eq\f(1,3)，∴點(diǎn)D是邊BC上最靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn).eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(APn,\s\up6(→))＝3aneq\o(AB,\s\up6(→))＋(4an－1＋3)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(APn,\s\up6(→))，∴eq\f(3an,\f(3,4))＝eq\f(4an－1＋3,\f(1,4))，∴an＝4an－1＋3(n≥2).由a1＝1，依次計(jì)算得到a2＝7，a3＝31，a4＝4×31＋3＝127.故選D.二、多選題8.(2024·廣州模擬)已知向量a，b不共線，向量a＋b平分a與b的夾角，則下列結(jié)論一定正確的是()A.a·b＝0B.(a＋b)⊥(a－b)C.向量a，b在a＋b上的投影向量相等D.|a＋b|＝|a－b|答案BC解析作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，在?OACB中，eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b，由向量a＋b平分a與b的夾角，得?OACB是菱形，即|a|＝|b|，對于A，a與b不一定垂直，A錯誤；對于B，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，即(a＋b)⊥(a－b)，B正確；對于C，a在a＋b上的投影向量eq\f(a·（a＋b）,|a＋b|2)(a＋b)＝eq\f(a2＋a·b,|a＋b|2)(a＋b)，b在a＋b上的投影向量eq\f(b·（a＋b）,|a＋b|2)(a＋b)＝eq\f(b2＋a·b,|a＋b|2)(a＋b)＝eq\f(a2＋a·b,|a＋b|2)(a＋b)，C正確；對于D，由選項(xiàng)A知，a·b不一定為0，則|a＋b|與|a－b|不一定相等，D錯誤.9.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，D，E分別是AC，AB上的兩點(diǎn)，且eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，BD與CE交于點(diǎn)O，則下列說法正確的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝－1 B.eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0C.|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2) D.eq\o(ED,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影向量的長度為eq\f(7,6)答案BCD解析因?yàn)閑q\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))，△ABC是等邊三角形，所以CE⊥AB，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝0，A錯誤；以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(EA,\s\up6(→))，eq\o(EC,\s\up6(→))的方向分別為x軸，y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，所以E(0，0)，A(1，0)，B(－1，0)，C(0，eq\r(3))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2\r(3),3)))，設(shè)O(0，y)，y∈(0，eq\r(3))，則eq\o(BO,\s\up6(→))＝(1，y)，eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，y－\f(2\r(3),3)))，又eq\o(BO,\s\up6(→))∥eq\o(DO,\s\up6(→))，所以y－eq\f(2\r(3),3)＝－eq\f(1,3)y，解得y＝eq\f(\r(3),2)，即O是CE的中點(diǎn)，eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，所以B正確；|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|2eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OE,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2).所以C正確；eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2\r(3),3)))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3))，eq\o(ED,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影向量的長度為eq\f(\o(ED,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\f(1,3)＋2,2)＝eq\f(7,6)，所以D正確.三、填空題10.若向量a，b為單位向量，且|a－2b|＝eq\r(7)，則向量a與向量b的夾角為________.答案120°解析因?yàn)閨a－2b|＝eq\r(7)，所以|a|2－4a·b＋4|b|2＝7.又向量a，b為單位向量，所以5－4cos〈a，b〉＝7，所以cos〈a，b〉＝－eq\f(1,2)，即〈a，b〉＝120°，故向量a與向量b的夾角為120°.11.寫出一個同時滿足下列條件①②的向量a＝________.①|(zhì)a|＝1；②向量a與b＝(1，－1)的夾角α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))(答案不唯一)解析|a|＝1，可設(shè)a＝(cosθ，sinθ)，θ∈[0，2π)，又向量a與b＝(1，－1)的夾角α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，所以θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，\f(7π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,4)，2π))，在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，\f(7π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,4)，2π))內(nèi)任取一個角θ即可，不妨取θ＝eq\f(11π,6)，則a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))(答案不唯一).12.(2024·鎮(zhèn)江調(diào)研)大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”(如圖1).某數(shù)學(xué)興趣小組類比“趙爽弦圖”構(gòu)造出圖2：△ABC為正三角形，AD，BE，CF圍成的△DEF也為正三角形.若D為BE的中點(diǎn)，①△DEF與△ABC的面積比為________；②設(shè)eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則λ＋μ＝________.答案eq\f(1,7)eq\f(6,7)解析如圖，連接AE，由題意知△ABD≌△BCE≌△CAF，且D，E，F(xiàn)分別為BE，CF，AD的中點(diǎn).所以S△DEF＝S△AEF＝eq\f(1,2)S△AFC，S△ABC＝S△AFC＋S△ABD＋S△BCE＋S△DEF＝7S△DEF，得eq\f(S△DEF,S△ABC)＝eq\f(1,7).eq\o(AD