2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)期末考試：時(shí)間序列分析預(yù)測模型構(gòu)建試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、時(shí)間序列的基本概念與分類要求：根據(jù)所學(xué)知識，判斷以下關(guān)于時(shí)間序列的描述是否正確，并說明理由。1.時(shí)間序列是按照時(shí)間順序排列的一組觀測值。2.時(shí)間序列分析的主要目的是預(yù)測未來的發(fā)展趨勢。3.按照平穩(wěn)性分類，時(shí)間序列可以分為平穩(wěn)序列和非平穩(wěn)序列。4.時(shí)間序列分析中的自回歸模型（AR模型）適用于描述時(shí)間序列的隨機(jī)波動(dòng)。5.時(shí)間序列分析中的移動(dòng)平均模型（MA模型）適用于描述時(shí)間序列的線性趨勢。6.時(shí)間序列分析中的自回歸移動(dòng)平均模型（ARMA模型）適用于描述時(shí)間序列的非線性趨勢。7.時(shí)間序列分析中的季節(jié)性模型可以有效地捕捉時(shí)間序列的季節(jié)性變化。8.時(shí)間序列分析中的指數(shù)平滑法可以用于預(yù)測短期和長期趨勢。9.時(shí)間序列分析中的自回歸積分滑動(dòng)平均模型（ARIMA模型）是時(shí)間序列分析中最常用的模型之一。10.時(shí)間序列分析中的狀態(tài)空間模型可以同時(shí)描述時(shí)間序列的線性部分和非線性部分。二、時(shí)間序列的平穩(wěn)性檢驗(yàn)要求：根據(jù)所學(xué)知識，完成以下時(shí)間序列的平穩(wěn)性檢驗(yàn)。1.設(shè)時(shí)間序列$X_t$的樣本自協(xié)方差函數(shù)為$R(\tau)$，則$R(\tau)$與$\tau$的關(guān)系是：A.線性關(guān)系B.指數(shù)關(guān)系C.對數(shù)關(guān)系D.無關(guān)2.設(shè)時(shí)間序列$X_t$的樣本自相關(guān)系數(shù)為$\rho(\tau)$，則$\rho(\tau)$的取值范圍是：A.$[0,1]$B.$[-1,1]$C.$[0,1)$D.$[-1,1)$3.設(shè)時(shí)間序列$X_t$的樣本自相關(guān)系數(shù)為$\rho(\tau)$，則$\rho(\tau)$的性質(zhì)是：A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.先增后減D.先減后增4.設(shè)時(shí)間序列$X_t$的樣本自協(xié)方差函數(shù)為$R(\tau)$，則$R(\tau)$的性質(zhì)是：A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.先增后減D.先減后增5.設(shè)時(shí)間序列$X_t$的樣本自相關(guān)系數(shù)為$\rho(\tau)$，則$\rho(\tau)$的性質(zhì)是：A.有界B.無界C.正定性D.非負(fù)性6.設(shè)時(shí)間序列$X_t$的樣本自協(xié)方差函數(shù)為$R(\tau)$，則$R(\tau)$的性質(zhì)是：A.有界B.無界C.正定性D.非負(fù)性7.設(shè)時(shí)間序列$X_t$的樣本自相關(guān)系數(shù)為$\rho(\tau)$，則$\rho(\tau)$的性質(zhì)是：A.有界B.無界C.正定性D.非負(fù)性8.設(shè)時(shí)間序列$X_t$的樣本自協(xié)方差函數(shù)為$R(\tau)$，則$R(\tau)$的性質(zhì)是：A.有界B.無界C.正定性D.非負(fù)性9.設(shè)時(shí)間序列$X_t$的樣本自相關(guān)系數(shù)為$\rho(\tau)$，則$\rho(\tau)$的性質(zhì)是：A.有界B.無界C.正定性D.非負(fù)性10.設(shè)時(shí)間序列$X_t$的樣本自協(xié)方差函數(shù)為$R(\tau)$，則$R(\tau)$的性質(zhì)是：A.有界B.無界C.正定性D.非負(fù)性四、時(shí)間序列的自回歸模型（AR模型）參數(shù)估計(jì)要求：根據(jù)所學(xué)知識，完成以下時(shí)間序列的自回歸模型（AR模型）參數(shù)估計(jì)問題。1.設(shè)時(shí)間序列$X_t$為一階自回歸模型，即$X_t=\alphaX_{t-1}+\epsilon_t$，其中$\epsilon_t$為白噪聲序列。已知樣本自相關(guān)系數(shù)$\rho(1)=0.6$，求模型參數(shù)$\alpha$的估計(jì)值。2.設(shè)時(shí)間序列$X_t$為二階自回歸模型，即$X_t=\alpha_1X_{t-1}+\alpha_2X_{t-2}+\epsilon_t$，其中$\epsilon_t$為白噪聲序列。已知樣本自相關(guān)系數(shù)$\rho(1)=0.5$，$\rho(2)=0.3$，求模型參數(shù)$\alpha_1$和$\alpha_2$的估計(jì)值。3.設(shè)時(shí)間序列$X_t$為一階自回歸模型，即$X_t=\alphaX_{t-1}+\epsilon_t$，其中$\epsilon_t$為白噪聲序列。已知樣本自協(xié)方差函數(shù)$R(1)=0.4$，求模型參數(shù)$\alpha$的估計(jì)值。4.設(shè)時(shí)間序列$X_t$為二階自回歸模型，即$X_t=\alpha_1X_{t-1}+\alpha_2X_{t-2}+\epsilon_t$，其中$\epsilon_t$為白噪聲序列。已知樣本自協(xié)方差函數(shù)$R(1)=0.3$，$R(2)=0.2$，求模型參數(shù)$\alpha_1$和$\alpha_2$的估計(jì)值。5.設(shè)時(shí)間序列$X_t$為一階自回歸模型，即$X_t=\alphaX_{t-1}+\epsilon_t$，其中$\epsilon_t$為白噪聲序列。已知樣本自相關(guān)系數(shù)$\rho(1)=0.7$，求模型參數(shù)$\alpha$的置信區(qū)間，置信水平為95%。6.設(shè)時(shí)間序列$X_t$為二階自回歸模型，即$X_t=\alpha_1X_{t-1}+\alpha_2X_{t-2}+\epsilon_t$，其中$\epsilon_t$為白噪聲序列。已知樣本自相關(guān)系數(shù)$\rho(1)=0.4$，$\rho(2)=0.2$，求模型參數(shù)$\alpha_1$和$\alpha_2$的置信區(qū)間，置信水平為95%。本次試卷答案如下：一、時(shí)間序列的基本概念與分類1.正確。時(shí)間序列是指按時(shí)間順序排列的一組觀測值，通常用于描述經(jīng)濟(jì)、氣象、人口等隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)過程。2.正確。時(shí)間序列分析的主要目的是通過對過去數(shù)據(jù)的分析來預(yù)測未來的發(fā)展趨勢。3.正確。時(shí)間序列根據(jù)平穩(wěn)性可以分為平穩(wěn)序列和非平穩(wěn)序列。4.正確。自回歸模型（AR模型）適用于描述時(shí)間序列的隨機(jī)波動(dòng)，它假設(shè)當(dāng)前觀測值與過去若干個(gè)觀測值之間存在線性關(guān)系。5.正確。移動(dòng)平均模型（MA模型）適用于描述時(shí)間序列的線性趨勢，它假設(shè)當(dāng)前觀測值與過去的誤差項(xiàng)之間存在線性關(guān)系。6.錯(cuò)誤。自回歸移動(dòng)平均模型（ARMA模型）適用于描述時(shí)間序列的非線性趨勢，它結(jié)合了AR和MA模型的特點(diǎn)。7.正確。季節(jié)性模型可以有效地捕捉時(shí)間序列的季節(jié)性變化，適用于具有周期性波動(dòng)的數(shù)據(jù)。8.正確。指數(shù)平滑法可以用于預(yù)測短期和長期趨勢，它通過加權(quán)移動(dòng)平均的方法來平滑數(shù)據(jù)。9.正確。自回歸積分滑動(dòng)平均模型（ARIMA模型）是時(shí)間序列分析中最常用的模型之一，它結(jié)合了AR、I和MA模型的特點(diǎn)。10.正確。狀態(tài)空間模型可以同時(shí)描述時(shí)間序列的線性部分和非線性部分，它將時(shí)間序列分析的問題轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型。二、時(shí)間序列的平穩(wěn)性檢驗(yàn)1.A.線性關(guān)系。樣本自協(xié)方差函數(shù)$R(\tau)$與滯后時(shí)間$\tau$之間存在線性關(guān)系。2.B.$[-1,1]$。樣本自相關(guān)系數(shù)$\rho(\tau)$的取值范圍在-1到1之間。3.D.先減后增。樣本自相關(guān)系數(shù)$\rho(\tau)$通常在滯后時(shí)間較短時(shí)較大，然后隨著滯后時(shí)間的增加逐漸減小。4.A.單調(diào)遞增。樣本自協(xié)方差函數(shù)$R(\tau)$通常隨著滯后時(shí)間的增加而增加。5.B.無界。樣本自相關(guān)系數(shù)$\rho(\tau)$可以取任意值，沒有上下界。6.A.有界。樣本自協(xié)方差函數(shù)$R(\tau)$通常有上下界，取決于時(shí)間序列的方差。7.B.無界。樣本自相關(guān)系數(shù)$\rho(\tau)$可以取任意值，沒有上下界。8.A.有界。樣本自協(xié)方差函數(shù)$R(\tau)$通常有上下界，取決于時(shí)間序列的方差。9.B.無界。樣本自相關(guān)系數(shù)$\rho(\tau)$可以取任意值，沒有上下界。10.A.有界。樣本自協(xié)方差函數(shù)$R(\tau)$通常有上下界，取決于時(shí)間序列的方差。三、時(shí)間序列的自回歸模型（AR模型）參數(shù)估計(jì)1.解析思路：使用最小二乘法估計(jì)自回歸模型的參數(shù)，即通過最小化殘差平方和來估計(jì)模型參數(shù)。解答：$\alpha$的估計(jì)值為$\hat{\alpha}=\frac{\rho(1)}{1-\rho(1)}$。2.解析思路：使用最小二乘法估計(jì)自回歸模型的參數(shù)，同樣通過最小化殘差平方和來估計(jì)模型參數(shù)。解答：$\alpha_1$和$\alpha_2$的估計(jì)值分別為$\hat{\alpha}_1=\frac{\rho(1)}{1-\rho(1)}$和$\hat{\alpha}_2=\frac{\rho(2)}{1-\rho(1)}$。3.解析思路：使用最小二乘法估計(jì)自回歸模型的參數(shù)，通過最小化殘差平方和來估計(jì)模型參數(shù)。解答：$\alpha$的估計(jì)值為$\hat{\alpha}=\frac{R(1)}{1-R(1)}$。4.解析思路：使用最小二乘法估計(jì)自回歸模型的參數(shù)，通過最小化殘差平方和來估計(jì)模型參數(shù)。解答：$\alpha_1$和$\alpha_2$的估計(jì)值分別為$\hat{\alpha}_1=\frac{R(1)}{1-R(1)}$和$\hat{\alpha}_2=\frac{R(2)}{1-R(1)}$。5.解析思路：使用t檢驗(yàn)或z檢驗(yàn)來計(jì)算模型參數(shù)的置信區(qū)間，根據(jù)樣本大小和自由度來確定臨界值。解答：$\hat{\alpha}$的置信區(qū)間為$\left[\frac{\rho(1)}{1-\rho(1)}-t_{0.025,n-2}\cdot\frac{\sqrt{\rho(1)(1-\rho(1))}}{\sqrt{n-2}},\frac{\rho(1)}{1-\rho(1)}+t_{0.975,n-2}\cdot\frac{\sqrt{\rho(1)(1-\rho(1))}}{\sqrt{n-2}}\right]$。6.解析思路：使用t檢驗(yàn)或z檢驗(yàn)來計(jì)算模型參數(shù)的置信區(qū)間，根據(jù)樣本大小和自由度來確定臨界值。解答：$\hat{\alpha}_1$和$\hat{\alpha}_2$的置信區(qū)間分別為$\left[\frac{\rho(1)}{1-\rho(1)}-t_{0.025,n-2}\cdot\frac{\sqrt{\rho(1)(1-\rho(1))}}{\sqrt{n-2}},\frac{\rho(1)}{1-\rho(1)}+t_{0.975,n-2}\cdot\frac{\sqrt{\rho(1