第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年浙江省臺金七校聯(lián)盟高一下學期期中聯(lián)考數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={?3,?1,1,2,3}，B={x|x2?2x?3=0}，則A∩B=A.{?1,3} B.{?3,1} C.{3} D.{?3}2.已知復數(shù)(1?i)z=2(i為虛數(shù)單位)，則z=(

)A.i B.?i C.1+i D.1?i3.在△ABC中，BC=3BD，則AC=A.4AD?3AB B.3AD?4AB4.最早的測雨器記載見于南宋數(shù)學家秦九韶所著的《數(shù)書九章》(1247年).該書第二章為“天時類”，收錄了有關降水量計算的四個例子，分別是“天池測雨”、“圓罌測雨”、“峻積驗雪”和“竹器驗雪”;如圖“竹器驗雪”法是下雪時用一個圓臺形的器皿收集雪量(平地降雪厚度=器皿中積雪體積除以器皿口面積)，已知數(shù)據(jù)如圖(注意：單位cm)，則平地降雪厚度的近似值為(

)

A.9712cm B.9512cm C.5.已知平面α，β，直線l?α，直線m?α，下列說法正確的是(

)A.若α//β，m⊥β，則l⊥m B.若α//β，l//m，則m//β

C.若α⊥β，m//β，則l//m D.若l⊥m，m//β，則α⊥β6.如圖，已知平面內(nèi)并列的八個全等的正方形，則∠OAE+∠OBE+∠OCE+∠ODE=(

)

A.π6 B.π4 C.π37.已知a?2a=b?logA.2a+a=b+log2b B.a+b=28.已知一件工藝品由外層一個封閉的大正方體，內(nèi)層一個正四面體構成，已知外層正方體的棱長為2，在該大正方體內(nèi)放置一個棱長為a的正四面體，并且正四面體可在大正方體內(nèi)任意轉動，則a的最大值為(

)A.33 B.63 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知平面向量a=(1,2)，b=(?2,x)，則下列正確的是(

)A.|a|=5

B.若a⊥b，則x=?4

C.當x=2時，則向量a在向量b上的投影向量為14b10.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是(

)A.若a=4，b=10，A=π4，則滿足條件的三角形有兩個

B.若tanA+tanB+tanC>0，則△ABC為銳角三角形

C.若△ABC為銳角三角形，則sinA+sinB+11.如圖1，矩形ABCD，已知AB=2，AD=1，E為CD中點，現(xiàn)將△AED沿AE翻折后得到如圖2四棱錐D′?ABCE，點F是線段D′B上(不含端點)的動點，則下列正確的是(

)

A.當F為中點時，CF//平面AD′E

B.當F為中點時，過點A，E，F(xiàn)的截面交CD′于點M，則2CM=D′M

C.在翻折過程中，存在一個位置使得AE⊥CD′

D.當AD′⊥BD′時，AF+CF的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.如圖，若斜邊長為22的等腰直角?A′B′C′(B′與O′重合)的?ABC的直觀圖，則?ABC的面積為

．13.已知向量|a|=2|b|=2，且向量a與向量b的夾角為π3，則14.已知正四面體A?BCD的棱長為2，在平面BCD內(nèi)有一動直線a，求直線a與直線DA所成角的正弦值最小為

．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)已知復數(shù)z=1+bi(b∈R,i為虛數(shù)單位)，z?21+i(1)求復數(shù)z;(2)若復數(shù)z1=2z?1是關于x的方程x2+mx+n=0的根，求實數(shù)m16.(本小題15分)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，角A的角平分線交BC于點D且1b(1)求角A;(2)若a=2，求△ABC面積的最大值．17.(本小題15分)已知函數(shù)f(x)=2(1)解方程f(x)=(2)若f(3x)?mf(x)≥0恒成立，求m的取值范圍．18.(本小題17分)

如圖，已知多面體ABCDEF的底面ABCD為直角梯形，四邊形ADEF為矩形，且平面ADEF⊥平面ABCD，AB//CD，AB⊥AD，AD=CD=2AB=2．

(1)證明：平面ABF//平面CDE;(2)當異面直線BF與CE所成角取最大時，求DE;(3)當DE=2時，求二面角B?CF?E的正弦值．19.(本小題17分)向量作為一種重要的數(shù)學工具，在代數(shù)與幾何中發(fā)揮著重要橋梁作用，不僅在平面幾何學中有著廣泛的應用，在空間中、物理學、工程學和計算機科學等領域也同樣發(fā)揮著重要的作用。它們通過向量的運算，使得我們能夠描述和分析現(xiàn)實世界中的各種現(xiàn)象和問題.其中數(shù)量積的運算就很好的解決了物理中做功的概念，其運算結果是一個實數(shù)。向量在空間中還有一種運算，其運算結果仍是一個向量，即向量的叉積(外積)，記作：a×規(guī)定：?①a×b為同時與a，b垂直的向量，且與?②|a×b|=|a||b|sin<a，(1)證明：|(2)如圖，已知棱長均為1的平行六面體ABCD?A1B1C(3)有一正四面體的四個頂點分別在四個平行平面α1，α2，α3，α4上，且兩相鄰平行平面距離為參考答案1.A

2.C

3.C

4.B

5.A

6.B

7.D

8.D

9.AC

10.BCD

11.ABD

12.413.6

14.615.解：(1)因為z=1+bi(b∈R)，可得z?21+i=bi?11+i=(bi?1)(1?i)(1+i)(1?i)=b?12+b+12i，

又由z?21+i是純虛數(shù)，可得b?12=0，b+12≠0，解得b=1，所以z=1+i．

(2)法一：因為z1=2z?1=1+2i是方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的根，

所以(1+2i)16.(1)由等面積可得：S△ABC=S△ABD+S△ACD?bcsinA=c?|AD|?sinA2+b?|AD|?sinA2

整理得：1b+1c=217.解：(1)令2x=t，則t2?103t+1=0?t=3或13?x=log23或log213．

(2)f(3x)=23x+1218.解：(1)由ADEF為矩形可得：AF//DE，

又AB//CD，且AB∩AF=A，CD∩DE=D，

AB、AF?平面ABF，CD、DE?平面CDE，

故平面ABF//平面CDE;

(2)如圖，取CD中點M，連接BM，EM，

因AD//BM//EF?BF//EM，

所以∠CEM即為異面直線BF與CE所成角的平面角，

設DE=a，

tan∠CEM=tan(∠CED?∠MED)

=2a?1a1+2a·1a=aa2+2≤a22a=24，

當且僅當a=2時取等；

(3)過點E作EN⊥FC，即平面BCF與平面ECF所成角即為直線EN與平面BCF所成角，

因DE=219.(1)左邊由定義可得：|a×b|=|a||b|sin<a，b>

右邊=

a2b2?a·b2=a2b2?a2b2cos2<a,b>=a2b2sin