PAGE1/11導(dǎo)數(shù)知識(shí)診斷之概念與運(yùn)算問題1：導(dǎo)數(shù)是如何定義的？導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？知識(shí)診斷：導(dǎo)數(shù)的定義：一般的設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，，當(dāng)時(shí)，比值趨近于常數(shù)，則在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱常數(shù)為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記作。導(dǎo)函數(shù)：函數(shù)在區(qū)間上任一點(diǎn)都可導(dǎo)，則在各點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù)簡記為.典例分析;例題1：設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，則等于A．B．C．D．【解題思路】求函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值，由定義直接計(jì)算[解析].故選【技巧指引】求解本題的關(guān)鍵是變換出定義式導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線f(x)在某一點(diǎn)(x0，y0)處的導(dǎo)數(shù)是過點(diǎn)(x0，y0)的切線的斜率，對(duì)應(yīng)的切線方程為。物理意義：若物體運(yùn)動(dòng)方程是s=s(t)，在點(diǎn)P(i0，s(t0))處導(dǎo)數(shù)的意義是t=t0處的瞬時(shí)速度。注意：曲線f(x)在某一點(diǎn)(x0，y0)處的導(dǎo)數(shù)不存在，但是曲線在該點(diǎn)不一定沒有切線。而且應(yīng)明確點(diǎn)(x0，y0)不一定是切點(diǎn)。典例分析：例題1：如圖，函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是，則=.【解題思路】區(qū)分過曲線處的切線與過點(diǎn)的切線的不同，后者的點(diǎn)不一定在曲線上.解析:觀察圖形,設(shè),過P點(diǎn)的切線方程為即它與重合,比較系數(shù)知:故=2.例題2：求在點(diǎn)和處的切線方程。【解題思路】：點(diǎn)在函數(shù)的曲線上，因此過點(diǎn)的切線的斜率就是在處的函數(shù)值；點(diǎn)不在函數(shù)曲線上，因此不能夠直接用導(dǎo)數(shù)求值，要通過設(shè)切點(diǎn)的方法求切線．切忌直接將，看作曲線上的點(diǎn)用導(dǎo)數(shù)求解。即過點(diǎn)的切線的斜率為4，故切線為：．設(shè)過點(diǎn)的切線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，又，故，。即切線的斜率為4或12，從而過點(diǎn)的切線為：【技巧指引】求切線方程時(shí)要注意所給的點(diǎn)是否是切點(diǎn)．若是，可以直接采用求導(dǎo)數(shù)的方法求；不是則需設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)．例題3：一球沿一斜面從停止開始自由滾下，10s內(nèi)其運(yùn)動(dòng)方程是s=s(t)=t2(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，求小球在t=5時(shí)的加速度.【解題思路】計(jì)算連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率實(shí)際上就是在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).:解析：加速度v=(10+Δt)=10m/s.∴加速度v=2t=2×5=10m/s.【技巧指引】計(jì)算連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率的基本步驟是1.計(jì)算2.計(jì)算變式練習(xí)：1.曲線和在它們交點(diǎn)處的兩條切線與軸所圍成的三角形面積是.解析：曲線和在它們的交點(diǎn)坐標(biāo)是(1，1)，兩條切線方程分別是y=－x+2和y=2x－1，它們與軸所圍成的三角形的面積是.點(diǎn)撥::與切線有關(guān)的問題,應(yīng)有運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的意識(shí),求兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)只要聯(lián)立解方程組即可.2.某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是，則在t=1s時(shí)的瞬時(shí)速度為 ()A．－1 B．－3 C．7 D．13解:B點(diǎn)撥:計(jì)算即可3.已知曲線C1:y=x2與C2:y=－(x－2)2,直線l與C1、C2都相切，求直線l的方程.解：設(shè)l與C1相切于點(diǎn)P(x1,x12),與C2相切于Q(x2,－(x2－2)2)對(duì)于C1：y′=2x,則與C1相切于點(diǎn)P的切線方程為y－x12=2x1(x－x1),即y=2x1x－x12 ①對(duì)于C2：y′=－2(x－2),與C2相切于點(diǎn)Q的切線方程為y+(x2－2)2=－2(x2－2)(x－x2),即y=－2(x2－2)x+x22－4 ②∵兩切線重合，∴2x1=－2(x2－2)且－x12=x22－4,解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0∴直線l方程為y=0或y=4x－4點(diǎn)撥:利用解方程組求交點(diǎn),利用直線間的位置和待定系數(shù)法求斜率.問題3：導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的基本法則是什么？知識(shí)診斷;1、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(為常數(shù))；()；；；；；；.2、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：1、；；.2、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：或典例分析：例題1：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)(2)(3)【解題思路】按運(yùn)算法則進(jìn)行[解析](1)(2)(3)例題2：.已知,則.【解題思路】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)計(jì)算不熟練,其與系數(shù)不一樣也是一個(gè)復(fù)合的過程,有的同學(xué)忽視了,導(dǎo)致錯(cuò)解為:.設(shè),,則.【技巧指引】注意復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法(分解求導(dǎo)回代)；注意問題的變通：如的導(dǎo)數(shù)容易求錯(cuò)，但的導(dǎo)數(shù)不易求錯(cuò).例題3：已知函數(shù)(1)若，點(diǎn)P為曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線斜率取最小值時(shí)的切線方程；(2)若函數(shù)上為單調(diào)增函數(shù)，試求滿足條件的最大整數(shù)a.【解題思路】求導(dǎo)運(yùn)算后求切線方程：先按運(yùn)算法則求導(dǎo),再按幾何意義求切線方程.解析：(1)設(shè)切線的斜率為k，則 又，所以所求切線的方程為：即 【技巧指引】求三次函數(shù)圖象的切線在高考中經(jīng)常出現(xiàn).例題4：某市在一次降雨過程中,降雨量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為,則在時(shí)刻的降雨強(qiáng)度為()A.B.C.D.【解題思路】求導(dǎo)運(yùn)算后的小應(yīng)用題：先對(duì)的求導(dǎo),再代的數(shù)值.解析:選D【技巧指引】求某一時(shí)刻的降雨量相當(dāng)于求瞬時(shí)變化率,即那一時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)值.變式練習(xí)：1.設(shè)函數(shù)，且，則A．0B．-1C．3D．-6思路分析:按導(dǎo)數(shù)乘積運(yùn)算法則先求導(dǎo),然后由已知條件構(gòu)造關(guān)于的方程求解.解:先求導(dǎo)再將0代入故又,故2.設(shè)函數(shù)，(、、是兩兩不等的常數(shù))，則．解析:代入即得0..3.質(zhì)量為的物體按的規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng),動(dòng)能,則物體在運(yùn)動(dòng)后的動(dòng)能是解析:先求瞬時(shí)速度后,再代入公式求解.演練廣場：基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1.是的導(dǎo)函數(shù)，則的值是．解析:故=32.在處的導(dǎo)數(shù)值是___________.解析：故填3.已知直線x+2y－4=0與拋物線y2=4x相交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P是拋物線的弧上求一點(diǎn)P，當(dāng)△PAB面積最大時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為.解析：|AB|為定值，△PAB面積最大，只要P到AB的距離最大，只要點(diǎn)P是拋物線的平行于AB的切線的切點(diǎn)，設(shè)P(x,y).由圖可知，點(diǎn)P在x軸下方的圖象上，∴y=－2,∴y′=－,∵kAB=－,∴－∴x=4,代入y2=4x(y<0)得y=－4.∴P(4,－4)4.已知，()，直線與函數(shù)、的圖像都相切，且與函數(shù)的圖像的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．求直線的方程及的值；解：依題意知：直線是函數(shù)在點(diǎn)處的切線，故其斜率，所以直線的方程為．又因?yàn)橹本€與的圖像相切，所以由，得(不合題意，舍去)；5.已知函數(shù)的圖象都相切，且l與函數(shù)圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,求直線l的方程及a的值；解由，故直線l的斜率為1，切點(diǎn)為即(1，0)∴①又∵∴即②比較①和②的系數(shù)得綜合拔高訓(xùn)練6.對(duì)于三次函數(shù)，定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”。現(xiàn)已知,請(qǐng)解答下列問題:(1)求函數(shù)的“拐點(diǎn)”A的坐標(biāo);(2)求證的圖象關(guān)于“拐點(diǎn)”A對(duì)稱;并寫出對(duì)于任意的三次函數(shù)都成立的有關(guān)“拐點(diǎn)”的一個(gè)結(jié)論(此結(jié)論不要求證明).[解析](1)，.令得，.拐點(diǎn)(2)設(shè)是圖象上任意一點(diǎn)，則，因?yàn)殛P(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，把代入得左邊,右邊右邊=右邊在圖象上關(guān)于A對(duì)稱7.已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，其中。設(shè)兩曲線有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線相同。(1)若，求的值；(2)用表示，并求的最大值。解：(1)設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同由題意知 ，∴由得，，或(舍去)即有(2)設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同由題意知 ，∴由得，，或(舍去)即有令，則，于是當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)， 故在的最大值為，故的最大值為8.設(shè)三次函數(shù)在處取得極值，其圖象在處的切線的斜率為。求證：；解：(Ⅰ)方法一、.由題設(shè)，得①②∵，∴，∴。由①代入②得，∴，得∴或③將代入中，得④由③、④得；方法二、同上可得：將(1)變?yōu)椋捍?2)可得：，所以，則方法三：同上可得：將(1)變?yōu)椋捍?2)可得：，顯然，所以因?yàn)閳D象的開口向下，且有一根為x1=1由韋達(dá)定理得,,所以，即，則，由得：所以：高考真題再現(xiàn)1、(2010全國卷2理數(shù))若曲線在點(diǎn)處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)圍成的三角形的面積為18，則(A)64(B)32(C)16(D)8【命題意圖】本試題主要考查求導(dǎo)法則、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的求法和三角形的面積公式，考查考生的計(jì)算能力..【解析】，切線方程是，令，，令，，∴三角形的面積是，解得.故選A.2、(2010遼寧文數(shù))已知點(diǎn)在曲線上，為曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角，則的取值范圍是(A)[0,)(B)(C)(D)【命題立意】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求導(dǎo)運(yùn)算以及三角函數(shù)的知識(shí)。解析：選D.，，即，3、(2010全國卷2文數(shù))若曲線在點(diǎn)處的切線方程是，則(A)(B)(C)(D)【解析】A：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意思即求曲線上一點(diǎn)處的切線