5.2.2等差數(shù)列的前n項和本節(jié)課選自《2019人教B版高中數(shù)學選擇性必修三》第五章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學習等差數(shù)列的前n項和.數(shù)列是高中代數(shù)的主要內(nèi)容，它與數(shù)學課程的其它內(nèi)容（函數(shù)、三角、不等式等）有著密切的聯(lián)系，又是今后學習高等數(shù)學的基礎，所以在高考中占有重要地位。數(shù)列是培養(yǎng)學生數(shù)學能力的良好題材。等差數(shù)列前n項和公式的推導過程中，讓學生經(jīng)歷公式的推導過程，體會數(shù)形結合的數(shù)學思想，體驗從特殊到一般的研究方法，學會觀察、歸納、反思，進一步培養(yǎng)學生靈活運用公式的能力。同時讓學生進一步認識數(shù)列的函數(shù)本質(zhì)。發(fā)展學生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)學建模的的核心素養(yǎng)。課程目標學科素養(yǎng)A.理解等差數(shù)列前n項和公式的推導過程.B.掌握等差數(shù)列前n項和公式及性質(zhì),并能解決相應問題.C.熟練掌握等差數(shù)列的五個量a1,d,n,an,Sn的關系,能夠由其中的三個求另外的兩個.D.理解等差數(shù)列前n項和公式的二次函數(shù)特征.1.數(shù)學抽象：等差數(shù)列前n項和公式2.邏輯推理：等差數(shù)列前n項和公式的推導3.數(shù)學運算：等差數(shù)列前n項和公式的運用4.數(shù)學建模：等差數(shù)列前n項和公式綜合運用重點：等差數(shù)列的前n項和的應用及其函數(shù)特征難點：等差數(shù)列前n項和公式的推導方法多媒體教學過程教學設計意圖核心素養(yǎng)目標情景導學問題1.為了達到比較好的音響和觀賞效果，很多劇場的座位都是排成圓弧形的，如圖所示.如果某公司要為一個類似的劇場定做椅子，而且劇場座位的排列規(guī)律是：第一排36個，以后每一排比前一排多6個，共有8排，你能幫這個公司算出共需要多少椅子嗎？利用這一小節(jié)我們要學習的等差數(shù)列前n項和的公式，我們可以快速地解答情景中的問題.探究1.如圖所示，建筑工地上堆放著一些鋼管，最上面一層有4根，下面每一層比上一層多放一根，共8層.（1）在不逐個相加的前提下，你能想辦法算出這些鋼管共有多少根嗎？（2）你能得出一般等差數(shù)列前n項和的公式嗎？問題圖中這些鋼管，從上到下每一層的數(shù)量構成一個等差數(shù)列an，這個數(shù)列的首項為a1=4，公差d=5,而且該數(shù)列共有a設想在圖的鋼管旁邊再放同樣多數(shù)量的鋼管，但是倒過來放置，如圖所示.這時每一層的鋼管數(shù)是相同的，都是4+11根，因此這些鋼管的總數(shù)為（4+11問設一個等差數(shù)列an的首項為a1,公差為d一般等差數(shù)列前n項的和可以用類似的方式得到，

設等差數(shù)列an的前n項和為SnSn=a1+a2Sn=an又因為根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)有a1+an=2Sn=n(a1+an探究2.上述等差數(shù)列的前n項求和公式與首項和第n項有關，你能將其改寫成與公差d有關的形式嗎？因為an=a1+n?1d由此可知，前述情境與問題中的椅子總數(shù)為8×36+8×二、典例解析例1.已知等差數(shù)列an的公差為2，且a20=29，求這個等差數(shù)列前20解：由等差數(shù)列的通項公式可得29=a1由此可解得a因此S20=20×例2.求等差數(shù)列5，12,19,26，…，201，208.的各項之和.解：可以看出，所求數(shù)列是公差為7的等差數(shù)列.設共有n項，則208=5+（解得n=30.因此各項之和為30×5+208等差數(shù)列的求解策略在等差數(shù)列{an}中,首項a1與公差d是兩個最基本的元素,有關等差數(shù)列的問題,均可化成有關a1,d的方程或方程組求解.解題過程中,要注意:①選擇適當?shù)墓?②合理利用等差數(shù)列的有關性質(zhì).跟蹤訓練1.設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,S4=14,S10-S7=30,則S9=.

解析:設等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,由題意,得4a1+4×(4又10a1聯(lián)立解得a1=2,d=1,所以S9=9×2+9×(9-1)例3.已知數(shù)列an的前n項和為（1）求出數(shù)列的通項公式，并判斷這個數(shù)列是否是等差數(shù)列；（2）求Sn的最小值，并求Sn取最小值時n解：（1）當n=1時，有a當n≥2時，有an=Sn又因為4×1?32=?28，所以n=1時an=也成立，因此數(shù)列的通項公式為an=因為an+1?所以an是等差數(shù)列（2）（方法一）因為Sn又因為n是正整數(shù)，所以當n=7或8時，Sn2×7（方法二）由an=4n?32可知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，而且首項a令an≤0,

可得4n?32≤0，解得n≤8

由此可知，n=7或8時，Sn最小，最小值是8×?28+02探究3.（1）等差數(shù)列中，Sn與n（2）如果數(shù)列{an}的前n項和的公式是S其中，A,B,C都是常數(shù)，那么{an}一定是等差數(shù)列嗎？為什么？（1）Sn=na1+n如果記fx=d2x

則可以看出S（2）如果數(shù)列{an}的前n項和的公式是S由（1）知當C=0時，{an}是等差數(shù)列。解等差數(shù)列的前n項和最大(最小)值問題的常用方法有:(1)二次函數(shù)法:由于Sn=d2n2+a1-d2n是關于n的二次式,因此可用二次函數(shù)的最值來確定Sn的最值,但要注意這里的(2)圖像法:可利用二次函數(shù)圖像的對稱性來確定n的值,使Sn達到最大(或最小).(3)通項法:由于Sn=Sn-1+an,所以當an≥0時,Sn≥Sn-1;當an≤0時,Sn≤Sn-1,因此當a1>0,且d<0時,使an≥0的最大的n的值,使Sn最大;當a1<0,d>0時,滿足an≤0的最大的n的值,使Sn最小.跟蹤訓練2.在等差數(shù)列{an}中,a1=25,S17=S9,求Sn的最大值.分析：本題可用二次函數(shù)求最值或由通項公式求n,使an≥0,an+1<0或利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出大于或等于零的項.解:(方法一)由S17=S9,得25×17+172(17-1)d=25×9+92(9-1)d,解得∴Sn=25n+n2(n-1)(-2)=-(n-13)2+由二次函數(shù)的性質(zhì)得當n=13時,Sn有最大值169.(方法二)先求出d=-2(同方法一).∵a1=25>0,由a∴當n=13時,Sn有最大值169.(方法三)先求出d=-2(同方法一).由S17=S9,得a10+a11+…+a17=0,又a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,故a13+a14=0.∵d=-2<0,a1>0,∴a13>0,a14<0.故n=13時,Sn有最大值169.(方法四)先求出d=-2(同方法一),則Sn的圖像如圖所示,由S17=S9知,圖像的對稱軸n=9+172=故當n=13時,Sn取得最大值169.例4.李先生為今年上高中的兒子辦理了“教育儲蓄”，從8月1日開始，每個月的1日都存入1000元，共存入3年.

（1）已知當年“教育儲蓄”的存款月利率為2.7‰，則3年后李先生一次可支取本息共多少元？

（2）已知當年同檔次的“零存整取”儲蓄的月利率是1.725‰，則李先生辦理“教育儲蓄”比“零存整取”多收益多少元？解:每1000元“教育儲蓄”存一個月能得到的利息是1000第1個1000元存36個月的利息

2.7第2個1000元存35個月得利息

2.7×…….第36個1000元存一個月的利息

2.7因此3年后李先生獲得利息2.7×36+2.7×35+…+所以本息何為每1000元“零存整取”存一個月能得到的利息是1000×因此，若“零存整取”，3年后李先生獲得利息，1.725×36+1.725×35因此李先生多收益，1798.2?即李先生辦理“教育儲蓄”比“零存整取”多收益649.35元.通過具體問題的思考和分析，歸納總結，抽象出等差數(shù)列求和問題。發(fā)展學生數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。通過等差數(shù)列前n項和的公式推導，發(fā)展學生數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。通過典型例題，加深學生對等差數(shù)列前n項和公式的理解和運用，發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素通過典型例題，加深學生對等差數(shù)列前n項和公式函數(shù)特征的理解和運用，發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素三、達標檢測1.已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),前n項和為Sn,若S4=a6,則S5S2=A.112 B.7 C.25 解析:由題意可得4a1+6d=a1+5d?-3a1=d,所以S5S2答案:C2.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知13a3+S13=52,則S9=()A.9 B.18 C.27 D.36解析:因為S13=13×(a1+a所以13a3+S13=13a3+13a7=52,∴a3+a7=4,∴a5=a3+∴S9=9(a1+a9)2=9×2a答案:B3.設數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且a2=-6,a8=6,Sn是數(shù)列{an}的前n項和,則()A.S4<S5 B.S4=S5 C.S6<S5 D.S6=S5解析:(方法一)設該等差數(shù)列的首項為a1,公差為d,則有a1+從而有S4=-20,S5=-20,S6=-18.從而有S4=S5.(方法二)由等差數(shù)列的性質(zhì)知a5+a5=a2+a8=-6+6=0,所以a5=0,從而有S4=S5.答案:B4.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a4+a7+a10=9,S14-S3=77,則使Sn取得最小值時n的值為.

答案:55.等差數(shù)列{an}的前n項和記為Sn.已知a10=30,a20=50.(1)求通項an;(2)若Sn=242,求n.解:(1)由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方程組a解得a1=12,d=2.∴an=2n+10.(2)由Sn=na1+n(n-1)2d,Sn=242,得方程12n+解得n=11或n=-22(舍去).通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。四、小結五、課時練通過總結，讓學生進一步鞏固本節(jié)所學內(nèi)容，