第02講平行四邊形的判定

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握平行四邊形的判定方法并能夠通過(guò)題目已知條

①平行四邊形的判定件選擇合適的判定方法判定平行四邊形。

②三角形的中位線2.掌握三角形的中位線性質(zhì)與判定，能夠熟練的對(duì)三

角形的中位線進(jìn)行判斷與對(duì)性質(zhì)的熟練應(yīng)用。

知識(shí)點(diǎn)01平行四邊形的判定

1.平行四邊形的判定：

如圖：判定四邊形ABCD是平行四邊形：

①利用邊判定：

I：利用一組對(duì)邊判定：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

符號(hào)語(yǔ)言：若AB∥CD或AD∥BC

則四邊形ABCD是平行四邊形

II：利用兩組對(duì)邊判定：兩組對(duì)邊分別平行或分別相等的四邊形是平行四邊形。

符號(hào)語(yǔ)言：若AB∥CD，AD∥BC或AB＝CD，AD＝BC

則四邊形ABCD是平行四邊形

②利用角判定：

兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。

符號(hào)語(yǔ)言：若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD

則四邊形ABCD是平行四邊形

③利用對(duì)角線判定：

對(duì)角線相互平分的四邊形是平行四邊形。

符號(hào)語(yǔ)言：若OA＝OC，OB＝OD

則四邊形ABCD是平行四邊形

【即學(xué)即練1】

1．在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，下列各組條件，其中不能判定四邊形ABCD是平行四

邊形的是（）

A．OA＝OC，OB＝OD

B．OA＝OC，AB∥CD

C．AB＝CD，OA＝OC

D．∠ADB＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD

【解答】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形．故能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形；

B、∵OA＝OC，AB∥CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形．故能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形；

C、AB＝CD，OA＝OC，

∴四邊形ABCD不是平行四邊形．故不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形；

D、∠ADB＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，故能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形．

故選：C．

【即學(xué)即練2】

2．如圖，在四邊形ABCD中，AE⊥BD于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F，且AB＝CD，BF＝DE，求證：四邊形ABCD

是平行四邊形．

【解答】證明：∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，

∴∠AED＝∠CFB＝90°，

∵BF＝DE，

∴BF﹣EF＝DE﹣EF，

即BE＝DF，

在Rt△ADE和Rt△CBF中，

，

∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL），

∴∠ABD＝∠CBD，

∴AB∥CD，

∵AB＝CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形．

【即學(xué)即練3】

3．如圖，四邊形ABCD對(duì)角線交于點(diǎn)O，且O為AC中點(diǎn)，AE＝CF，DF∥BE，求證：四邊形ABCD是平

行四邊形．

【解答】證明：∵O為AC中點(diǎn)，

∴OA＝OC，

∵AE＝CF，

∴OE＝OF，

∵DF∥BE，

∴∠E＝∠F，

在△BOE和△DOF中，，

∴△BOE≌△DOF（ASA），

∴OB＝OD，

又∵OA＝OC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形．

知識(shí)點(diǎn)02三角形的中位線

1.三角形中位線的定義：

連接三角形任意兩邊的中點(diǎn)得到的線段叫做三角形的中位線。

2.三角形的中位線定理：

三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。

幾何語(yǔ)言：∵點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)

1

∴DE∥BC，DE＝BC

2

【即學(xué)即練1】

4．如圖，CD是△ABC的中線，E，F(xiàn)分別是AC，DC的中點(diǎn)，EF＝3，則BD的長(zhǎng)為（）

A．3B．4C．5D．6

【解答】解：∵E，F(xiàn)分別是AC，DC的中點(diǎn)，

∴EF是△ACD的中位線，

∴AD＝2EF＝2×3＝6，

∵CD是△ABC的中線，

∴BD＝AD＝6，

故選：D．

題型01熟悉平行四邊形的判定條件

【典例1】下列條件中，能判定四邊形是平行四邊形的是（）

A．一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行

B．一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角互補(bǔ)

C．一組對(duì)角相等，一組鄰角互補(bǔ)

D．一組對(duì)角互補(bǔ)，另一組對(duì)角相等

【解答】解：A、一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行，也有可能是等腰梯形

B、一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角互補(bǔ)，也有可能是等腰梯形

C、一組對(duì)角相等，一組鄰角互補(bǔ)可得到兩組對(duì)角分別相等，所以是平行四邊形

D、一組對(duì)角互補(bǔ)，另一組對(duì)角相等，可能是含兩個(gè)直角的一般四邊形．

故選：C．

【變式1】在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于O點(diǎn)，給出五組條件：

（1）AB＝DC，AD∥BC；

（2）AB＝CD，AB∥CD；

（3）AB∥CD，AD∥BC；

（4）OA＝OC，OB＝OD；

（5）AB＝CD，AD＝BC．

能判定此四邊形是平行四邊形的有（）組．

A．1B．2C．3D．4

【解答】解：（1）由“AB＝DC，AD∥BC”可知，四邊形ABCD的一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等，據(jù)

此不能判定該四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；

（2）由“AB＝CD，AB∥CD”可知，四邊形ABCD的一組對(duì)邊平行且相等，據(jù)此能判定該四邊形是平

行四邊形，故本選項(xiàng)符合題意；

（3）由“AB∥DC，AD∥BC”可知，四邊形ABCD的兩組對(duì)邊互相平行，則該四邊形是平行四邊形，

故本選項(xiàng)符合題意；

（4）由“AO＝CO，BO＝DO”可知，四邊形ABCD的兩條對(duì)角線互相平分，則該四邊形是平行四邊形，

故本選項(xiàng)符合題意；

（5）由“AB＝DC，AD＝BC”可知，四邊形ABCD的兩組對(duì)邊相等，則該四邊形是平行四邊形，故本

選項(xiàng)符合題意；

故選：D．

【變式2】如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是

（）

A．，B．AB＝CD，AO＝OC

C．AB∥CD，∠DAC＝∠BCAD．AB＝CD，BC＝AD

【解答】解：A、∵OA＝AC，OB＝BD，

∴OA＝OC，OB＝OD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)A不符合題意；

B、AB＝CD，AO＝OC，當(dāng)∠BAC≠∠DCA時(shí)，四邊形ABCD不是平行四邊形，故選項(xiàng)B符合題意；

C、∵∠DAC＝∠BCA，

∴AD∥BC，

∵AB∥CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)C不符合題意；

D、∵AB＝CD，BC＝AD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)D不符合題意；

故選：B．

題型02添加平行四邊形的判定條件

【典例1】在四邊形ABCD中，AB∥DC，要使四邊形ABCD成為平行四邊形，還需添加的條件是（）

A．∠A+∠C＝180°B．∠B+∠D＝180°

C．∠A+∠D＝180°D．∠A+∠B＝180°

【解答】解：選項(xiàng)A，B中的兩對(duì)角是對(duì)角關(guān)系，不能推出AD∥BC，

選項(xiàng)C只能推出AB∥DC，

選項(xiàng)D中兩角是同旁?xún)?nèi)角，

∵∠A+∠B＝180°，

∴AD∥BC，

又∵AB∥DC，

∴四邊形ABCD為平行四邊形，

故選：D．

【變式1】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，要使四邊形ABCD是平行四邊形，下列可添加的條件不正

確的是（）

A．AD＝BCB．AB＝CDC．AD∥BCD．∠A＝∠C

【解答】解：A、當(dāng)AB∥CD，AD＝BC時(shí)，四邊形ABCD可能為等腰梯形，所以不能證明四邊形ABCD

為平行四邊形；

B、AB∥CD，AB＝DC，一組對(duì)邊分別平行且相等，可證明四邊形ABCD為平行四邊形；

C、AB∥CD，AD∥BC，兩組對(duì)邊分別平行，可證明四邊形ABCD為平行四邊形；

D、∵AB∥CD，

∴∠A+∠D＝180°，

∵∠A＝∠C，

∴∠C+∠D＝180°，

∴AD∥BC，

∴四邊形ABCD為平行四邊形；

故選：A．

【變式2】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，若添加一個(gè)條件，使四邊形ABCD為平行四邊形，則下列

正確的是（）

A．AD＝BCB．∠ABD＝∠BDCC．AB＝ADD．∠A＝∠C

【解答】解：A、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，故選項(xiàng)A不符合題意；

B、∵AB∥CD，

∴∠ABD＝∠BDC，

∴不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，故選項(xiàng)B不符合題意；

C、由AB∥CD，AB＝AD，不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，故選項(xiàng)C不符合題意；

D、∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠C＝180°，

∵∠A＝∠C，

∴∠ABC+∠A＝180°，

∴AD∥BC，

又∵AB∥CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)D符合題意；

故選：D．

【變式3】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，添加下列一個(gè)條件后，一定能判定四邊形ABCD是平行四

邊形的是（）

A．AD＝BCB．∠A+∠D＝180°

C．∠B＝∠DD．AB＝BC

【解答】解：一定能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是∠B＝∠D，理由如下：

∵AB∥CD，

∴∠A+∠D＝180°，

∵∠B＝∠D，

∴∠A+∠B＝180°，

∴AD∥BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

故選：C．

題型03三角形的中位線

【典例1】如圖，DE是△ABC的中位線，若BC＝8，則DE的長(zhǎng)是（）

A．3B．4C．5D．6

【解答】解：∵DE是△ABC的中位線，BC＝8，

∴．

故選：B．

【變式1】如圖，DE垂直平分△ABC的邊AB，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，

連接AD、EF．若AD＝5，CD＝9，則EF的長(zhǎng)為（）

A．3B．2.5C．2D．1.5

【解答】解：∵DE垂直平分△ABC的邊AB，AD＝5，

∴AD＝DB＝5，AE＝EB，

∴點(diǎn)E是AB的點(diǎn)，

∵F是AC的中點(diǎn)，

∴EF是△ABC的中位線，

∴．

∵CD＝9，DB＝5，

∴BC＝CD﹣BD＝9﹣5＝4，

∴．

故選：C．

【變式2】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)N是BC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)M為AB邊上的

動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別為CN，MN的中點(diǎn)，則DE的最小值是（）

A．2B．C．3D．

【解答】解：連接CM，當(dāng)CM⊥AB時(shí)，CM的值最?。ù咕€段最短），此時(shí)DE有最小值，

理由是：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，

∴AB＝＝＝10，

∴AC?BC＝，

∴＝，

∴CM＝，

∵點(diǎn)D、E分別為CN，MN的中點(diǎn)，

∴DE＝CM＝＝，

即DE的最小值是，

故選：B．

【變式3】如圖，DE是△ABC的中位線，∠ACB的角平分線交DE于點(diǎn)F，若AC＝6，BC＝14，則DF的

長(zhǎng)為4．

【解答】解：∵DE是△ABC的中位線，BC＝14，AC＝6，

∴DE＝BC＝×14＝7，AE＝CE＝AC＝×6＝3，DE∥BC，

∴∠CFE＝∠BCF，

∵CF平分∠ACB，

∴∠BCF＝∠ECF，

∴∠ECF＝∠CFE，

∴EF＝CE＝3，

∴DF＝DE﹣EF＝7﹣3＝4，

故答案為：4．

【變式4】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)，已知AB＝12，CD＝6，則

EF＝3．

【解答】解：連接CF并延長(zhǎng)交AB于G，

∵AB∥CD，

∴∠FDC＝∠FBG，

在△FDC和△FBG中，

，

∴△FDC≌△FBG（ASA）

∴BG＝DC＝6，CF＝FG，

∴AG＝AB﹣BG＝12﹣6＝6，

∵CE＝EA，CF＝FG，

∴EF＝AG＝3，

故答案為：3．

題型04平行四邊形的判定證明

【典例1】17．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BE到F，使BE＝EF，

連接AF、CF、DF．求證：四邊形ADCF是平行四邊形．

【解答】證明：如圖，

∵E是AD的中點(diǎn)，

∴AE＝ED，

又∵BE＝EF，

∴四邊形ABDF是平行四邊形，

∴AF＝BD，且AF∥BD，

∵AD是BC邊上的中線，

∴CD＝DB，

∴AF＝DC，

又AF∥CD，

∴四邊形AFCD是平行四邊形．

【變式1】如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段OA，OC上，且OB

＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

【解答】證明：∵∠EOB與∠FOD是對(duì)頂角，

∴∠EOB＝∠FOD，

在△BEO和△DFO中，

，

∴△BEO≌△DFO（ASA）；

∴OE＝OF，

∵AE＝CF，

∴OA＝OC，

∵OB＝OD，

∴四邊形ABCD為平行四邊形．

【變式2】如圖，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，連接OB，OC，并將邊AB，OB，OC，AC的中點(diǎn)D，E，F(xiàn)，

G順次連接，DEFG構(gòu)成四邊形，求證：四邊形DEFG是平行四邊形．

【解答】證明：∵D，G分別是AB，AC的中點(diǎn)，

∴DG是△ABC的中位線，

∴DG∥BC，DG＝BC．

∵E，F(xiàn)分別是OB，OC的中點(diǎn)，

∴EF是△OBC的中位線，

∴EF∥BC，EF＝BC．

∴DG＝EF，DG∥EF，

∴四邊形DEFG是平行四邊形．

【變式3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，20），B在原點(diǎn)，C（26，0），D（24，20），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A

開(kāi)始沿AD邊向點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始沿CB以3cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，P、Q

同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形

PQCD是平行四邊形？并寫(xiě)出P、Q的坐標(biāo)．

【解答】解：∵A（0，20），B在原點(diǎn)，C（26，0），D（24，20），

∴AD＝24，BC＝26，

∵四邊形PQCD是平行四邊形，

∴PD＝CQ，

∴24﹣t＝3t，

∴t＝6，

∴當(dāng)t為6時(shí)，四邊形PQCD是平行四邊形，

∴點(diǎn)P（6，20），

∵OQ＝26﹣3×6＝8，

∴點(diǎn)Q（8，0）．

題型05平行四邊形的性質(zhì)與判定

【典例1】如圖，?ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在OB和OD上．

（1）當(dāng)BE，DF滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形AECF是平行四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)∠AEB與∠CFD滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形AECF是平行四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

【解答】解：（1）當(dāng)BE＝DF時(shí)，四邊形AECF是平行四邊形，

理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∴∠ABE＝∠CDF，

∴△ABE≌△CDF（SAS），

∴AE＝CF，

同理，AF＝CE，

∴四邊形AECF是平行四邊形；

（2）當(dāng)∠AEB＝∠CFD時(shí)，四邊形AECF是平行四邊形，

理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∴∠ABE＝∠CDF，

∵∠AEB＝∠CFD，

∴△ABE≌△CDF（SAS），

∴AE＝CF，

∵∠AEB＝∠CFD，

∴∠AEO＝∠CFO，

∴AE∥CF，

∴四邊形AECF是平行四邊形．

【變式1】在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，DC上的點(diǎn)且AE＝CF，連接DE，BF，AF．

（1）求證：四邊形DEBF是平行四邊形；

（2）若∠DAF＝∠BAF，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的長(zhǎng)．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠A＝∠C，AD＝CB，

在△DAE和△BCF中，

，

∴△DAE≌△BCF（SAS），

∴DE＝BF，

∵AB＝CD，AE＝CF，

∴AB﹣AE＝CD﹣CF，

即DF＝BE，

∵DE＝BF，BE＝DF，

∴四邊形DEBF是平行四邊形；

（2）解：∵AB∥CD，

∴∠DFA＝∠BAF，

∵AF平分∠DAB，

∴∠DAF＝∠BAF，

∴∠DAF＝∠AFD，

∴AD＝DF，

∵四邊形DEBF是平行四邊形，

∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，

∴AD＝5，

∵AE＝3，DE＝4，

∴AE2+DE2＝AD2，

∴∠AED＝90°，

∵DE∥BF，

∴∠ABF＝∠AED＝90°，

∴AF＝＝＝4．

【變式2】如圖1，在△ABC中，D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F，使CF＝BC，連接CD

和EF．

（1）求證：四邊形DEFC是平行四邊形．

（2）如圖2，當(dāng)△ABC是等邊三角形且邊長(zhǎng)是8，求四邊形DEFC的面積．

【解答】（1）證明：∵D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，

∴DE是△ABC的中位線，

∴DE＝BC，DE∥BC，

∵CF＝BC，

∴DE＝CF，

∴四邊形DEFC是平行四邊形．

（2）解：過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H，如圖2所示：

∵△ABC是等邊三角形，D為AB的中點(diǎn)

∴∠B＝60°，BD＝AB＝4，

∵∠DHB＝90°，

∴∠BDH＝30°，

∴BH＝DB＝2，

∴DH＝＝，

∵CF＝CB＝4，

∴S四邊形DEFC＝CF?DH＝4×2＝8．

【變式3】如圖，已知?ABCD，AC、BD相交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)E，使CD＝DE，連接AE．

（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；

（2）連接BE，交AD于點(diǎn)F，連接OF，判斷CE與OF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∵CD＝DE，

∴AB＝DE，

∴四邊形ABDE是平行四邊形；

（2）解：CE與OF的數(shù)量關(guān)系為：CE＝4OF，理由如下：

由（1）得：四邊形ABDE是平行四邊形，

∴BF＝EF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OB＝OD，

∴OF是△BDE的中位線，

∴DE＝2OF，

∵CD＝DE，

∴CE＝2DE，

∴CE＝4OF．

【變式4】如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)G，H分別是AB，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F在對(duì)角線AC上，且

AE＝CF．

（1）求證：四邊形EGFH是平行四邊形；

（2）連接BD交AC于點(diǎn)O，若BD＝14，AE+CF＝EF，求EG的長(zhǎng)．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∴∠GAE＝∠HCF，

∵點(diǎn)G，H分別是AB，CD的中點(diǎn)，

∴AG＝CH，

在△AGE和△CHF中，

，

∴△AGE≌△CHF（SAS），

∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，

∴∠GEF＝∠HFE，

∴GE∥HF，

又∵GE＝HF，

∴四邊形EGFH是平行四邊形；

（2）解：連接BD交AC于點(diǎn)O，如圖：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA＝OC，OB＝OD，

∵BD＝14，

∴OB＝OD＝7，

∵AE＝CF，OA＝OC，

∴OE＝OF，

∵AE+CF＝EF，AE＝CF，

∴2AE＝EF＝2OE，

∴AE＝OE，

又∵點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)，

∴EG是△ABO的中位線，

∴EG＝OB＝．

1．下列條件中，能判定四邊形是平行四邊形的是（）

A．對(duì)角線互相平分

B．對(duì)角線互相垂直

C．對(duì)角線相等

D．對(duì)角線互相垂直且相等

【解答】解：A、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．正確．

B、對(duì)角線互相垂直的四邊形不一定是平行四邊形．錯(cuò)誤．

C、對(duì)角線相等的四邊形不一定是平行四邊形．錯(cuò)誤．

D、對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形不一定是平行四邊形．錯(cuò)誤．

故選：A．

2．下列說(shuō)法正確的是（）

A．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形

B．平行四邊形的對(duì)角互補(bǔ)

C．有兩組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形

D．平行四邊形的對(duì)角線平分每一組對(duì)角

【解答】解：A．∵一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是等腰梯形或平行四邊形，

∴A錯(cuò)誤，不符合題意；

B．∵兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形，

∴B錯(cuò)誤，不符合題意；

C．∵兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形，

∴C正確，符合題意；

D．∵菱形對(duì)角線平分每一組對(duì)角，平行四邊形的對(duì)角線不平分每一組對(duì)角，

∴D錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：C．

3．下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）

A．AB∥CD，AD∥BCB．AD＝BC，AB＝CD

C．AB∥CD，AD＝BCD．∠A＝∠C，∠B＝∠D

【解答】解：A、根據(jù)平行四邊形的判定定理：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，故能判斷這個(gè)

四邊形是平行四邊形，不合題意；

B、根據(jù)平行四邊形的判定定理：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，故能判斷這個(gè)四邊形是平行

四邊形，不合題意；

C、不能判斷這個(gè)四邊形是平行四邊形，符合題意；

D、根據(jù)平行四邊形的判定定理：兩組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形，故能判斷這個(gè)四邊形是平行四

邊形；

故選：C．

4．如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的是

（）

A．AB∥DC，AD∥BCB．AB∥DC，AD＝BC

C．AO＝CO，BO＝DOD．AB＝DC，AD＝BC

【解答】解：A、AB∥DC，AD∥BC可利用兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形判定這個(gè)四邊形是

平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；

B、AB∥DC，AD＝BC不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)符合題意；

C、AO＝CO，BO＝DO可利用對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定這個(gè)四邊形是平行四邊形，故

此選項(xiàng)不合題意；

D、AB＝DC，AD＝BC可利用兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形判定這個(gè)四邊形是平行四邊形，

故此選項(xiàng)不合題意；

故選：B．

5．如圖，平地上A、B兩點(diǎn)被池塘隔開(kāi)，測(cè)量員在岸邊選一點(diǎn)C，并分別找到AC和BC的中點(diǎn)D、E，測(cè)

量得DE＝16米，則A、B兩點(diǎn)間的距離為（）

A．30米B．32米C．36米D．48米

【解答】解：∵D、E分別是AC、BC中點(diǎn)，

∴DE是△ABC的中位線，

∴DE＝AB，

∵DE＝16米，

∴AB＝32米，

∴A、B兩點(diǎn)間的距離為32米．

故選：B．

6．?ABCD中，E、F是對(duì)角線BD上不同的兩點(diǎn)，下列條件中，不能得出四邊形AECF一定為平行四邊形

的是（）

A．BE＝DFB．AF∥CEC．CE＝AFD．∠DAF＝∠BCE

【解答】解：如圖，連接AC與BD相交于O，

在?ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，

要使四邊形AECF為平行四邊形，只需證明得到OE＝OF即可；

A、若BE＝DF，則OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、AF∥CE能夠利用“角角邊”證明△AOF和△COE全等，從而得到OE＝OF，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、若CE＝AF，則無(wú)法判斷OE＝OE，故本選項(xiàng)符合題意；

D、由∠DAF＝∠BCE，從而推出△DAF≌△BCE，然后得出∠DFA＝∠BEC，∴∠AFE＝∠CEF，∴AF

∥CE，結(jié)合選項(xiàng)B可證明四邊形AECF是平行四邊形；故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：C．

7．如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC的中點(diǎn)，若AB＝12，BC＝14，則四邊形BDFE

的周長(zhǎng)為（）

A．13B．21C．26D．52

【解答】解：∵D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC的中點(diǎn)，

∴EF、EF分別是△ABC的中位線，

∴EF∥AB，DF∥BC，EF＝AB＝＝6，DF＝BC＝，

∴四邊形BDEF是平行四邊形，

∴BE＝DF＝7，BD＝EF＝6，

∴四邊形BDEF的周長(zhǎng)為：

BE+BD+DF+EF＝2×（7+6）＝26．

故選：C．

8．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，E，F(xiàn)，G分別是BC，AC，AD的中點(diǎn)，若∠EFG＝130°，則∠

EGF的度數(shù)為（）

A．20°B．25°C．30°D．35°

【解答】解：∵E，F(xiàn)，G分別是BC，AC，AD的中點(diǎn)，

∴EF，GF分別是△ABC，△ADC的中位線，

∴，

∵AB＝CD，

∴EF＝GF，

又∵∠EFG＝130°，

∴，

故選：B．

9．如圖，在△ABC中，CF、BE分別平分∠ACB和∠ABC，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CF于點(diǎn)D，作AG⊥BE于點(diǎn)G，

若AB＝9，AC＝8，BC＝7，則GD的長(zhǎng)為（）

A．5.5B．5C．6D．6.5

【解答】解：如圖所示，延長(zhǎng)AD，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，延長(zhǎng)AG，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，

∵CF、BE分別平分∠ACB和∠ABC，

∴∠ACD＝∠PCD，∠ABG＝∠QBG，

又∵AD⊥CF，AG⊥BE，

∴∠ADC＝∠PDC，∠AGB＝∠QGB，

∴∠CAP＝∠P，∠BAG＝∠Q，

∴AC＝PC＝8，AB＝QB＝9，

又∵BC＝7，

∴PQ＝BQ+PC﹣BC＝9+8﹣7＝10，

∵AC＝PC，CD平分∠ACP，

∴點(diǎn)D是AP的中點(diǎn)，

同理可得，點(diǎn)G是AQ的中點(diǎn)，

∴DG是△APQ的中位線，

∴DG＝PQ＝5，

故選：B．

10．如圖，在?ABCD中，要在對(duì)角線BD上找兩點(diǎn)E、F，使A、E、C、F四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，現(xiàn)有①，

②，③，④四種方案，①只需要滿(mǎn)足BE＝DF；②只需要滿(mǎn)足AE⊥BD，CF⊥BD；③只需要滿(mǎn)足AE，

CF分別平分∠BAD，∠BCD，④只需要滿(mǎn)足AE＝CF．則對(duì)四種方案判斷正確的是（）

A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④

【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，

∴∠ABE＝∠CDF，

①在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（SAS），

∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，

∴∠AEF＝∠CFE，

∴AE∥CF，

∴四邊形AECF為平行四邊形，故①正確；

②∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（AAS），

∴AE＝CF，

∴四邊形AECF為平行四邊形，故②正確；

③∵AE，CF分別平分∠BAD，∠BCD，

∴∠BAE＝∠DCF，

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（ASA），

∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，

∴∠AEF＝∠CFE，

∴AE∥CF，

∴四邊形AECF為平行四邊形，故③正確；

④由AE＝CF，不能證明△ABE≌△CDF，不能判定四邊形AECF為平行四邊形，故④不正確；

判斷正確的是①②③，

故選：A．

11．如圖，在四邊形ABCD中AB∥CD，若加上AD∥BC，則四邊形ABCD為平行四邊形．現(xiàn)在請(qǐng)你添加一

個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：BE＝DF，使得四邊形AECF為平行四邊形．（圖中不再添加點(diǎn)和線）

【解答】解：添加的條件：BE＝DF．

證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形

∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF

又∵BE＝DF

∴△ABE≌△CDF

∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD

∴∠AEF＝∠EFC

∴AE∥FC

∴四邊形AECF為平行四邊形．

故答案為：BE＝DF．

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，E是BC的中點(diǎn)，已知A（0，4），B（﹣2，0），C（8，0），D（4，4），

點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BP的長(zhǎng)為1或9時(shí)，以點(diǎn)P，A，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行

四邊形．

【解答】解：∵A（0，4），B（﹣2，0），C（8，0），D（4，4），

∴AD∥BC，AD＝4，OB＝2，OC＝8，

∴BC＝10，

∵E是BC的中點(diǎn)，

∴BE＝CE＝BC＝×10＝5，

當(dāng)EP＝AD＝4時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E的左側(cè)時(shí)，BP＝BE﹣EP＝5﹣4＝1；

②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E的右側(cè)時(shí)，BP＝BE+EP＝5+4＝9；

綜上所述，當(dāng)BP的長(zhǎng)為1或9時(shí)，以點(diǎn)P，A，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

故答案為：1或9．

13．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，且AD＝4cm，BC＝9cm．動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)D，B同時(shí)出發(fā)，

點(diǎn)P以1cm/s的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以2cm/s的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，3秒時(shí)四邊形CDPQ是平

行四邊形？

【解答】解：設(shè)t秒后，四邊形CDPQ是平行四邊形，

∴PD＝tcm，CQ＝（9﹣2t）cm，

∵AD∥BC，

∴當(dāng)PD＝CQ時(shí)，四邊形CDPQ是平行四邊形，

∴t＝9﹣2t，

∴t＝3，

∴3秒時(shí)四邊形CDPQ是平行四邊形．

故答案為：3．

14．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是A（0，2），B（1，0），C（3，2），點(diǎn)D在第一象限

內(nèi)，若以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，4）．

【解答】解：由題意，畫(huà)出平行四邊形ABCD，如圖所示：

由圖可知：D（2，4）．

故答案為：D（2，4）．

15．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，AD＝3，點(diǎn)M，N分別為線段BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M

不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點(diǎn)，則EF長(zhǎng)度的最大值為2.5．

【解答】解：連接DN、DB，

在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝4，AD＝3，

∴BD＝＝＝5，

∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點(diǎn)，

∴EF＝DN，

由題意得，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)B重合是DN最大，最大值為5，

∴EF長(zhǎng)度的最大值為2.5，

故答案為：2.5．

16．如圖，△ABC中，BC＝20，AC＝14，CE平分∠ACB，AE⊥CE，延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)F，D是AB的中

點(diǎn)，求DE的長(zhǎng)．

【解答】解：∵AE⊥CE，

∴∠AEC＝∠FEC＝90°，

又∵CE平分∠ACB，

∠ACE＝∠FCE，

在△ACE和△FCE中，

，

∴△ACE≌△FCE（ASA），

∴AE＝EF，F(xiàn)C＝AC＝14，

∴BF＝BC﹣FC＝6，

又∵D是AB的中點(diǎn)，

∴AD＝BD，

∴DE是△ABF的中位線，

∴DE＝BF＝3．

17．如圖，已知△ABC，分別以它的三邊為邊長(zhǎng)，在BC邊的同側(cè)作三個(gè)等邊三角形，即△ABD，△BCE，

△ACF，求證：四邊形ADEF是平行四邊形．

【解答】證明：∵△ABD，△BEC都是等邊三角形，

∴BD＝AB，BE＝BC，∠DBA＝∠EBC＝60°，

∴∠DBE＝60°﹣∠EBA，∠ABC＝60°﹣∠EBA，

∴∠DBE＝∠ABC，

在△DBE和△ABC中，，