A10聯(lián)盟2024級(jí)高一下學(xué)期3月階段考數(shù)學(xué)（人教A版）試題B卷本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的補(bǔ)集運(yùn)算和交集運(yùn)算求解.【詳解】由題，可得，所以.故選：B.2.已知角，向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示得到，即，再結(jié)合角的范圍求解即可.【詳解】若，則有，即，因?yàn)?，所?故選：D.3.已知關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)不等式的解集求得，，再求解分式不等式即可.【詳解】由題可知的根為1和2，代入方程可得，，不等式等價(jià)于，則解集為，故選：D.4.下列說(shuō)法正確的是（）A.向量與向量的模相等B.若，則C.共線向量是在同一條直線上的向量D.兩個(gè)有共同起點(diǎn)，且長(zhǎng)度相等的向量，它們的終點(diǎn)相同【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的基本概念，包括向量的模、平行向量、共線向量等，逐一分析每個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),對(duì)于向量與向量，它們的大小是相等的，只是方向相反.根據(jù)向量模的定義，向量的模與向量的模是相等的，所以A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量平行，所以對(duì)于任意向量和，都有且，但此時(shí)與不一定平行，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，共線向量也叫平行向量，是指方向相同或相反的非零向量，規(guī)定零向量與任意向量共線.共線向量不一定在同一條直線上，只要它們的方向相同或相反即可，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，兩個(gè)有共同起點(diǎn)，且長(zhǎng)度相等的向量，它們的方向不一定相同.向量不僅有大小還有方向，只有當(dāng)兩個(gè)向量的大小和方向都相同時(shí)，它們才相等.所以即使起點(diǎn)相同且長(zhǎng)度相等，方向不同時(shí)，終點(diǎn)也不相同，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：5.已知是的中線，在直線上，且，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)槭堑闹芯€，所以.又因?yàn)?，所?所以.故選：C.6.若函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角函數(shù)圖象變換可得出變換后的函數(shù)解析式，由已知結(jié)合誘導(dǎo)公式可得出關(guān)于的等式，即可得出結(jié)果.【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到，所以，，解得，又，令，得，所以的最小值為.故選：B.7.一扇中式實(shí)木仿古正方形花窗如圖1所示，該窗有兩個(gè)正方形，將這兩個(gè)正方形（它們有共同的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸）單獨(dú)拿出來(lái)放置于同一平面，如圖2所示.已知分米，分米，點(diǎn)在正方形的四條邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)取得最大值時(shí)，與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合投影法找到數(shù)量積時(shí)點(diǎn)的位置，再去求解兩向量的數(shù)量積的余弦值.【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系如圖；又因?yàn)榉置?，分米，且兩個(gè)正方形有共同的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸，所以點(diǎn)，，則，，又因?yàn)?，且因?yàn)?，則當(dāng)最大時(shí)，最大，由圖象可知，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)最大，所以.故選：D.8.已知函數(shù)，則方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（）A.10 B.8 C.6 D.5【答案】C【解析】【分析】設(shè)，先解出，再分別求解即可.詳解】設(shè)，則，若，則，解得或，則或，當(dāng)時(shí)，，不合題意，則，或，解得，此時(shí)方程僅一個(gè)根；若，則，解得或，即或，當(dāng)時(shí)，或，方程即在僅一個(gè)根，方程，即，，且，，兩根均為負(fù)，合題意，當(dāng)時(shí)，，解得或，方程有兩根，綜上，方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為6.故選：C.二、選擇題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.9.若向量，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.與平行C.在上的投影向量為 D.【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)平面向量的模的坐標(biāo)公式計(jì)算即可判斷；對(duì)于B，根據(jù)平面向量的坐標(biāo)判斷即可；對(duì)于C，根據(jù)投影向量的定義計(jì)算即可；對(duì)于D，先根據(jù)平面向量夾角余弦的坐標(biāo)公式計(jì)算，再利用平方關(guān)系求正弦值即可.【詳解】A選項(xiàng)：，則，，則，所以，故A正確；B選項(xiàng)：，又，因?yàn)?，所以與不平行，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，又，所以，，所以在上的投影向量為，故C正確；D選項(xiàng)：，又，所以，故D正確.故選：ACD.10.下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若一個(gè)扇形所在圓的半徑為2，圓心角為1弧度，則扇形的周長(zhǎng)為6D.函數(shù)的最小值為2【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，考慮，兩種情況，即可做出判斷；對(duì)于選項(xiàng)B，解不等式，即可做出判斷；對(duì)于選項(xiàng)C，由扇形的弧長(zhǎng)公式，求出弧長(zhǎng)，即可做出判斷；對(duì)于選項(xiàng)D，考慮，即可做出判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，若，則；若，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，若，則，所以，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由扇形的弧長(zhǎng)公式可知，所以扇形的周長(zhǎng)為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，若，則，故D錯(cuò)誤.故選：BC11.對(duì)于任意的，表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如：，．十八世紀(jì)，被“數(shù)學(xué)王子”高斯采用，因此得名為高斯函數(shù)，人們更習(xí)慣稱為“取整函數(shù)”．下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.設(shè)，，則有C.函數(shù)，的值域?yàn)镈.不等式的解集為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，取值驗(yàn)證判斷A；利用，計(jì)算可判斷B；由取整函數(shù)的定義得，進(jìn)而判斷C；解一元二次不等式，然后取整函數(shù)的定義求出解集判斷D.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)，都在函數(shù)的圖象上，它們關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C：由取整函數(shù)的定義知，，則，因此函數(shù)，的值域?yàn)?，故C正確；對(duì)于D：由，得，解得，而，則，因此，不等式的解集為，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：關(guān)于新定義題的思路有：（1）找出新定義有幾個(gè)要素，找出要素分別代表什么意思；（2）由已知條件，看所求的是什么問(wèn)題，進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言；（3）將已知條件代入新定義的要素中；（4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答.第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)和是兩個(gè)不共線的向量，若，且三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值為_____.【答案】【解析】【分析】將三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為向量共線，再根據(jù)共線向量基本定理列方程，求解即可.【詳解】由題意，，由三點(diǎn)共線，得，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得，即，又和不共線，所以，解得.故答案為：.13.若，且，則的最小值為______.【答案】5【解析】【分析】由，且，得到,進(jìn)而有，利用基本不等式求解.【詳解】解：因?yàn)?，且，所?則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為5，故答案為：514.若定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足：①為偶函數(shù)；②；③對(duì)任意的，且，都有，則不等式的解集為______.【答案】【解析】【分析】構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)題意分析判斷的奇偶性和單調(diào)性，分類討論結(jié)合的奇偶性和單調(diào)性解不等式.【詳解】令，由條件③可得，，且，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又偶函數(shù)，且，則，所以為奇函數(shù)，且，所以在上單調(diào)遞減，，所以當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以不等式的解集為.故答案為：.四、解答題：本大題共5個(gè)小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知向量.（1）若向量與共線，求的值；（2）若向量與的夾角為銳角，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算可知，即可求出參數(shù)值；（2）利用兩向量夾角為銳角的充要條件是且與不同向共線，從而可得不等式組求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題意得，，，由向量與共線，得，解得【小問(wèn)2詳解】由向量與的夾角為銳角，得，且與不共線，則，解得，即的取值范圍為16.已知函數(shù)，且.（1）求的解析式；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在區(qū)間上有2個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再利用方程求解的值，進(jìn)而得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)圖象變換得的解析式，再畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，將方程的解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可根據(jù)圖象求實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】.由，得，即或，則，解得，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；則.【小問(wèn)2詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得函數(shù).由，得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，此時(shí)，函數(shù)在上的圖象，如圖所示：因此，若關(guān)于的方程在區(qū)間上有2個(gè)實(shí)數(shù)解，則.17.已知為奇函數(shù)，為常數(shù).（1）求的值；（2）若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可求出a的值，驗(yàn)證后即可確定答案；（2）分離參數(shù)，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，結(jié)合判斷函數(shù)單調(diào)性，求得函數(shù)最值，即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】由于，函數(shù)為奇函數(shù)，故，即，則，即，則，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，令，則或，即函數(shù)定義域?yàn)椋?，即函?shù)為奇函數(shù)，符合題意，故；【小問(wèn)2詳解】對(duì)于區(qū)間上的每一個(gè)的值，不等式恒成立，即對(duì)于區(qū)間上每一個(gè)的值，不等式恒成立，所以，令，則在上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，則的最小值為，故.18.在中，設(shè)，點(diǎn)是線段中點(diǎn)，點(diǎn)是線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)．（1）求的值；（2）請(qǐng)用來(lái)表示【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量的線性分解與數(shù)量積運(yùn)算律有，再分別求出模長(zhǎng)，利用向量的夾角公式即可求得結(jié)果.（2）由三點(diǎn)共線，可設(shè)，利用向量相等列出等式即可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】，注意到，所以，，，所以；【小問(wèn)2詳解】由三點(diǎn)共線，可設(shè)，由于不共線，所以只能，所以.19.雙曲函數(shù)是一類與常見的三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)（歷史上著名的“懸鏈線問(wèn)題”與之相關(guān)）．其中雙曲正弦函數(shù)：，雙曲余弦函數(shù)：（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）求的值；（2）證明：兩角和的雙曲余弦公式；（3）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）1；（2）證明見詳解；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)定義直接代入即可求；（2）根據(jù)雙曲函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和指數(shù)冪的運(yùn)算性