（二）教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息

課例編號2020QJ10SXRA010學(xué)科數(shù)學(xué)年級高一學(xué)期第一學(xué)期

課題基本不等式（1）

名：普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊

教科書

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教學(xué)人員

姓名單位

授課教師馬琳北京市第二十二中學(xué)

指導(dǎo)教師李穎東城區(qū)研修中心

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)：

1.初步理解基本不等式及其證明方法和幾何解釋；

2.通過利用基本不等式求簡單的最值問題，使學(xué)生理解利用基本不等式解決最值問題的方法；

3.通過對基本不等式證明方法分析法的認(rèn)識以及利用基本不等式求簡單的最值問題，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、數(shù)

學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng).

教學(xué)重點(diǎn)：理解基本不等式及其證明方法.

教學(xué)難點(diǎn)：基本不等式的幾何解釋以及用基本不等式解決簡單的最值問題.

教學(xué)過程

時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動

教師:我們知道，乘法公式在代數(shù)式的運(yùn)算中有重要作用.那么，是否也有一些不等

式，他們在解決不等式問題時(shí)有著與乘法公式類似的重要作用呢？下面就來研究這個(gè)

問題.

問題1：前面我們利用完全平方公式得出了一類重要不等式：有

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.22

??,?∈?,?+?≥

教師:請大家觀察,這個(gè)不等式左邊的平方結(jié)構(gòu)要求比較高，使用不方便，能否換成

2??,?=?

一個(gè)數(shù)，又因?yàn)樘鎿Q的是個(gè)平方數(shù)，所以應(yīng)該是個(gè)正數(shù)。那么這里特別地，如果

3分鐘問題引入我們用分別代替上式中的可以得到怎樣的式子？

?>

師生活動：學(xué)生獨(dú)立計(jì)算后回答。

0,?>0?,??,?

教師總結(jié)：對于變形為①當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號

?+?

??>0,?>0,?+?≥2????≤2?=?

成立．通常我們稱不等式①為基本不等式.其中叫做正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，叫做

?+?

正數(shù)的幾何平均數(shù)．2?,???

基本不等式表明：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

?,?

問題2：前面，我們通過考察的特殊情形獲得了基本不等式，你能否

直接利用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出基本2不等2式呢？

?+?≥2??

師生活動：學(xué)生可能根據(jù)兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)，用作差比較法證明上式.教師

在肯定學(xué)生的做法之后，給學(xué)生簡單介紹分析法并且引導(dǎo)學(xué)生用分析法寫出證明過程.

教師:分析法是一種“執(zhí)果索因”的證明方法，即從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求

使他成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已

6分鐘分析法證明

知條件、定理、定義、公理）為止.

分析法解題過程如下:

要證①

?+?

只要證??≤2②

要證②，只要證.③

2??≤?+?

2??????≤0

要證③，只要證0④

要證④，只要證20⑤

?(???)≤

顯然，⑤成立，當(dāng)且僅當(dāng)2時(shí)，⑤中的等號成立.

(???)≥

我們可以看到，只要把上面的過程倒過來，就可以直接推出基本不等式了.

?=?

追問（1）：請同學(xué)們想一想上述證明中每一步推理的依據(jù)是什么？教師引導(dǎo)由②①，

由③②由④③，由⑤④的依據(jù).

?

教師總結(jié)：②①（根據(jù)不等式性質(zhì)，兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)，所得不等式與原不等式

?,??

同向）

?

③②（根據(jù)不等式性質(zhì)，兩邊同時(shí)加上正數(shù)（），所得不等式與原不等式同向）

④③（運(yùn)用完全平方差公式打開計(jì)算）

??+?

⑤④（根據(jù)不等式性質(zhì)，兩邊同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，所得不等式與原不等式反向）

?

顯然，⑤成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，⑤中的等號成立.

?

追問（2）：上述證明方法叫做“分析法”，你能歸納一下用分析法證明命題的思路嗎？

?=?

師生活動：學(xué)生討論后回答.

教師總結(jié)：分析法是一種“執(zhí)果索因”的證明方法，即從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋

求使他成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件

（已知條件、定理、定義、公理）為止.

追問（3）:根據(jù)我們的證明過程，說說分析法的證明格式是怎樣的？

師生活動：學(xué)生思考后回答.

教師總結(jié)：由于分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，所以

分析法在書寫過程中必須有相應(yīng)的文字說明：一般每一步的推理都用“要證……”“只要

證……”的格式，當(dāng)推導(dǎo)到一個(gè)明顯成立的條件之后，指出顯然……成立。

下面我們一起來看問題3.

同學(xué)們,經(jīng)過從前面基本不等式的代數(shù)解釋,你是否能聯(lián)想

到從幾何角度基本不等式也有背景對應(yīng)呢?下面我們一起來探

究一下?

問題3：

在圖1中，是圓的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，

過點(diǎn)做垂直于的弦，連接.你能在這個(gè)圖形中嘗

???????=?,??=?.

ab

試找出?和??ab所?對?應(yīng)的是哪??條,?線?段嗎?進(jìn)而得出基本不

2

等式的幾何解釋嗎？

5分鐘幾何解釋

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生思考后回答，可證,因而。由于

小于或等于圓半徑，用不等式表示為????～??????=??

?+?

?顯?然，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即當(dāng)??≤時(shí)，2上述不等式的等號成立.圖1

?=?

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：從條件和基本不等式出發(fā)，發(fā)現(xiàn)圓的半徑長等于，,

?+?

所以基本不等式可以利用“圓中直徑不小于任意一條弦”得到它的幾何2解釋?，?當(dāng)=且?僅?

當(dāng)弦過圓心時(shí)，二者相等.通過基本不等式的幾何解釋,希望同學(xué)們能借助圖形記住基本

不等式的結(jié)構(gòu)特征,特別是不等號的方向.

前面我們知道了基本不等式的內(nèi)容、證明方法和幾何解釋，下面我們利用基本不等式

5分鐘簡單應(yīng)用

來解決一些簡單的最值問題.請看下面的例題.

例1已知求的最小值.

1

追問（1）：?本>題0,中要?+求?最小值的代數(shù)式有什么結(jié)構(gòu)特點(diǎn)？是否可以利用基本不等式求

的最小值？

1

?師+生?活動：學(xué)生思考后回答.

教師總結(jié)：本題中要求的代數(shù)式是與和的形式，而且，由于是與的算

1111

?????=1?+???

術(shù)平均數(shù)的2倍，而后者的幾何平均數(shù)是一個(gè)定值，所以可以利用基本不等式求

1

解.下面是解答過程．???

解：因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立

1112

因此所求?的>最0小值是?2+.?≥2???=2?=??=1,?=1

追問（2）：在上述解答過程中，是否必須說明“當(dāng)且僅當(dāng)，即

12

時(shí)，等號成立”？?=??=1,?=

師生活動：學(xué)生討論后回答.

1

教師總結(jié)：這是為了說明“2”是的一個(gè)取值。

1

?+?

那么請同學(xué)們再想一想，當(dāng)時(shí)，成立嗎？這時(shí)能說是（

11

）的最小值嗎？?0<2?+?≥?0?0?+??>

師生活動：學(xué)生思考后回答.

0

教師總結(jié)：當(dāng)然是不能，因?yàn)榈淖钚≈?，就是要求出一個(gè)使

11

?+??0=?0+?0,??>

都有如果時(shí)，找不到對應(yīng)的可以取到．

1

0追,問（3?）+：通?≥過?本0.例的?解0答<，2你能說說滿足什么條?件能夠利?用0基本不等式求最小值呢？

師生活動：學(xué)生討論后回答.

教師總結(jié)：如果兩個(gè)正數(shù)的積為定值，當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等時(shí)，可以求得它們的和的最小

值.

例2已知，都是正數(shù)，求證：

（1）如果積等于定值,那么當(dāng)時(shí)，和有最小值;

??

（2）如果和??等于定?值,那么?當(dāng)=?時(shí)，?積+?有最小值2?.

12

師生活動：師?生+一?起分析后?，鼓勵學(xué)生?=用?自然語言?把?兩個(gè)問題4連?在一起說，能用自己

的話表達(dá)也是對結(jié)論的進(jìn)一步理解。并書寫證明過程后展示，師生共同補(bǔ)充完善.

證明：（1）因?yàn)?，都是正?shù)，所以,當(dāng)積等于定值時(shí)，,所以

?+??+?

4分鐘簡單應(yīng)用

，當(dāng)且?僅當(dāng)?時(shí)，和2有≥最小??值?;??2≥??+

?（≥2）2當(dāng)?和等于?定=值?時(shí)，?+?=,所以2?，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，