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多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用**第一節(jié)多元函數(shù)基本概念一問題的提出三多元函數(shù)的概念四多元函數(shù)的極限五多元函數(shù)的連續(xù)性六小結(jié)與思考判斷題二平面點(diǎn)集(Conceptionoffunctionsofseveralvariables)**一問題的提出觀察幾個(gè)例子

例1理想氣體的體積V與溫度T成正比，而與壓強(qiáng)P成反比，它們之間的關(guān)系，由下面的公式給出（其中R是比例常數(shù)）

例2三角形的面積A依賴于三角形的兩條邊b和c,以及這兩邊的夾角C，它們之間的關(guān)系，由下面的公式給出這兩個(gè)例子的實(shí)質(zhì)是依賴于多個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系。**1鄰域二平面點(diǎn)集(Planepointset)**2區(qū)域(Domain)（1）內(nèi)點(diǎn)**（3）邊界點(diǎn)**（4）聚點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；說明：

邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；例(0,0)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)．**例如，即為開集．（5）開集(6）閉集例如，**連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域．例如，例如，**（7）連通集連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域．例如，例如，**有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域．例如，（8）有界點(diǎn)集、無界點(diǎn)集**3n維空間(Spacen)設(shè)兩點(diǎn)為比如：

當(dāng)時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離．**三多元函數(shù)的概念類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．**例1

求的定義域解所求定義域?yàn)槔?

求的定義域。解所求定義域?yàn)?*

二元函數(shù)的圖形**說明：二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.**例如例如**四多元函數(shù)的極限**注意：（2）定義中的方式是任意的；（3）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（1）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似．（4）二重極限不同于二次極限**例3

求證證當(dāng)時(shí)，所以結(jié)論成立．**例4

求極限解其中多元函數(shù)的極限可以應(yīng)用一元函數(shù)求極限的法則**例4

證明不存在．證取其值隨k的不同而變化，故極限不存在．**確定極限不存在的方法：**五多元函數(shù)的連續(xù)性1定義**例5

討論函數(shù)在(0,0)處的連續(xù)性．解當(dāng)時(shí)，**故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).**2間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)的判定（只要滿足下列一條）：**例6

討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．**3閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．

在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理**多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．定義區(qū)域是指包含在