第二章線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

§2-1引言§2-2微分方程模型§2-3傳遞函數(shù)模型§2-4方塊圖模型§2-5狀態(tài)空間表達(dá)式§2－1引言數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)輸入、輸出及內(nèi)部物理量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。常用的數(shù)學(xué)模型：微（差）分方程傳遞函數(shù)（或脈沖傳遞函數(shù)）頻率特性狀態(tài)空間表達(dá)式1)為何要建模？定量分析系統(tǒng)的性能；對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真的基礎(chǔ)；2)建模方法解析法：根據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理、化學(xué)定律，列出各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式；實(shí)驗(yàn)法：人為施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄系統(tǒng)的響應(yīng)曲線，根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出辨識(shí)系統(tǒng)模型；3)建模要求準(zhǔn)確性簡(jiǎn)化性一、系統(tǒng)建模}折中考慮二、數(shù)學(xué)模型的分類及形式分類靜態(tài)：靜態(tài)（穩(wěn)態(tài)）下的代數(shù)方程（不含各階導(dǎo)數(shù)，信號(hào)無變化率）動(dòng)態(tài)：動(dòng)態(tài)條件下的微分方程（差分方程）形式時(shí)域：微分方程差分方程狀態(tài)空間表達(dá)式復(fù)域：傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)圖（方塊圖）信號(hào)流圖頻域：頻率特性

z域：脈沖傳遞函數(shù)集總參數(shù)系統(tǒng)——分布參數(shù)系統(tǒng)定常系統(tǒng)——時(shí)變系統(tǒng)線性系統(tǒng)——非線性系統(tǒng)SISO系統(tǒng)——MIMO系統(tǒng)經(jīng)典控制理論研究對(duì)象是：

SISO、集總參數(shù)、線性定常系統(tǒng)三、關(guān)于系統(tǒng)四、線性系統(tǒng)1、線性系統(tǒng)：描述系統(tǒng)的微分方程滿足疊加原理。疊加原理的意義：對(duì)線性系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)時(shí)，根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，可以把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化：1、每個(gè)外作用在數(shù)值上可以只取單位值；2、如果有幾個(gè)外作用同時(shí)作用于系統(tǒng)時(shí)，可以依次求出各個(gè)外作用單獨(dú)作用于系統(tǒng)時(shí)的輸出，然后疊加得到總輸出；3、系統(tǒng)的全響應(yīng)分為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，可以分別進(jìn)行分析和求解；

根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，可以把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化：1、每個(gè)外作用在數(shù)值上可以只取單位值；2、如果有幾個(gè)外作用同時(shí)作用于系統(tǒng)時(shí)，可以依次求出各個(gè)外作用單獨(dú)作用于系統(tǒng)時(shí)的輸出，然后疊加得到總輸出；3、系統(tǒng)的全響應(yīng)分為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，可以分別進(jìn)行分析和求解；試問：某系統(tǒng)靜特性如下圖，從控制理論的觀點(diǎn)看此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)嗎？結(jié)論：此系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。原因：自動(dòng)控制系統(tǒng)一般都有一個(gè)平衡工作點(diǎn)，特別是恒值控制系統(tǒng)主要研究系統(tǒng)處于平衡工作點(diǎn)時(shí)，擾動(dòng)作用產(chǎn)生偏差后的動(dòng)態(tài)過程。（錯(cuò)）yxx0y0bAo設(shè)系統(tǒng)的平衡工作點(diǎn)為，經(jīng)擾動(dòng)作用后工作于，則：(2)-(1)得：結(jié)論：控制理論是研究系統(tǒng)在平衡工作點(diǎn)附近的性能，是研究變量的增量之間的關(guān)系，稱為動(dòng)態(tài)關(guān)系。yxx0+Δxx0y0y0+ΔybA’Ao2、非線性系統(tǒng)的線性化——小偏差理論小偏差理論適用范圍：1）連續(xù)系統(tǒng)；2）有一個(gè)額定工作點(diǎn)；3）小偏差；4）在工作點(diǎn)處可微；飽和特性磁滯特性繼電特性實(shí)質(zhì)：在工作點(diǎn)處，用切線來代替非線性特性。A不可微—>本質(zhì)非線性—>非線性理論小偏差理論適用范圍：1、連續(xù)系統(tǒng)；2、有一個(gè)額定工作點(diǎn)；3、小偏差；4、在工作點(diǎn)處可微；小偏差理論繼電特性總結(jié)：1、關(guān)于模型：建模的意義，形式、方法2、關(guān)于系統(tǒng)：控制理論中線性系統(tǒng)是指增量線性的系統(tǒng)；對(duì)于非線性系統(tǒng)，運(yùn)用小偏差理論，在工作點(diǎn)處近似為增量式線性方程；本章主要內(nèi)容：微分方程的建立（時(shí)域）傳遞函數(shù)的概念與求?。◤?fù)域）方塊圖的建立和化簡(jiǎn)（時(shí)域或復(fù)域）狀態(tài)空間表達(dá)式（時(shí)域）返回首頁§2-2

線性系統(tǒng)的微分方程

微分方程的建立相似系統(tǒng)本節(jié)內(nèi)容：一、用解析法列寫系統(tǒng)微分方程的一般步驟為：1、確定系統(tǒng)或元件的輸入、輸出變量；3、從輸入端開始，按照信號(hào)的傳遞順序，依據(jù)各變量所遵循的物理定理，列寫出原始微分方程組；4、消去中間變量，寫出只含有輸入、輸出變量的微分方程。5、標(biāo)準(zhǔn)化。（輸出項(xiàng)降階排列＝輸入量降階排列）2、進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，忽略次要因素；注意：若有a個(gè)中間變量，就要列寫a+1個(gè)線性無關(guān)的方程。用解析法列寫系統(tǒng)微分方程的一般步驟為：設(shè)一彈簧、質(zhì)量塊、阻尼器組成的系統(tǒng)如圖所示，原處于平衡狀態(tài)，當(dāng)外力F(t)作用于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)將產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)。試寫出外力F(t)與質(zhì)量塊的位移y(t)之間的微分方程。

線性彈簧；忽略彈簧、阻尼器質(zhì)量；質(zhì)量與阻尼器是剛性連接；1、輸入：輸出：解：例2-12、簡(jiǎn)化kF(t)mfy(t)阻尼力：彈簧力：由阻尼器、彈簧的特性可得：式中f—阻尼系數(shù),k—彈性系數(shù)。F1(t)為阻尼器的阻力，F(xiàn)2(t)為彈簧力。3、依據(jù)牛頓定律：kF(t)mfy(t)4、消去中間變量：5、標(biāo)準(zhǔn)化（輸出項(xiàng)降階排列＝輸入量降階排列）質(zhì)量塊:RLC電路如圖所示，ur(t)為輸入電壓，uc(t)為輸出電壓，輸出端開路。要求列出uc(t)與ur(t)的關(guān)系式。1、輸入：輸出：2、簡(jiǎn)化解：3、根據(jù)克希霍夫定律寫出原始方程式：4、消去中間變量i(t)，并且標(biāo)準(zhǔn)化：例2-2克?；舴螂妷憾桑涸诩倕?shù)電路中，任何時(shí)刻，沿任一回路，所有支路電壓的代數(shù)和恒等于0.相似系統(tǒng)相似系統(tǒng)：本質(zhì)不相同的物理系統(tǒng)具有相同結(jié)構(gòu)的微分方程。相似系統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象之間的相似關(guān)系。為我們利用簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)（如電氣系統(tǒng)）去研究復(fù)雜難實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)（如機(jī)械系統(tǒng)）提供了方便。P41:習(xí)題2－3設(shè)機(jī)械系統(tǒng)如圖所示，其中Xi為輸入位移，X0為輸出位移。試分別列寫各系統(tǒng)的微分方程式。2、簡(jiǎn)化（線性彈簧；忽略彈簧、阻尼器質(zhì)量；剛性連接；）解：3、列原始方程組：1、輸入：輸出：4、消去中間變量，標(biāo)準(zhǔn)化：設(shè)阻尼塊向下位移為xf(t)例2－3K1K2fxixo該題關(guān)鍵在于阻尼器向下位移為xf，缸體向下位移為xo，那么兩者的相對(duì)位移為xf-xoP42:習(xí)題2－7設(shè)RC電路如圖所示，若以電壓ur為輸入，電壓uc為輸出，試寫出該電路的微分方程。urR1R2ucC2i1i2C1解：1、輸入：輸出：

2、簡(jiǎn)化例2－4urR1R2ucC2i1i2C14、消去中間變量，且標(biāo)準(zhǔn)化得：3、設(shè)回路電流i1、i2如圖中所示，從輸入端開始，按信號(hào)傳遞順序?qū)懗龈髯兞块g的微分方程式如下：uc1注意

整個(gè)電路雖然是由兩個(gè)RC電路所組成，但不能把它看作是兩個(gè)獨(dú)立的RC電路的連接。因?yàn)榈诙?jí)電路的i2要影響第一級(jí)電路的i1和uc1，列寫方程式應(yīng)考慮這個(gè)影響。這種后一級(jí)對(duì)前一級(jí)的影響叫做負(fù)載效應(yīng)。存在負(fù)載效應(yīng)時(shí)，必須把全部元件作為整體來加以考慮。若將本例看作兩個(gè)獨(dú)立的RC電路的連接，求解如下：

消去中間變量得：顯然，與前面得到的結(jié)果不同。urR1R2ucC2i1i2C1試證明圖2-2(a)、(b)所示的機(jī)、電系統(tǒng)是相似系統(tǒng)。例2-5i對(duì)電氣網(wǎng)絡(luò)(b)：輸入為Ur，輸出為Uc，根據(jù)克?；舴蚨闪袑戨娐贩匠倘缦拢航猓簩?duì)機(jī)械網(wǎng)絡(luò)（a）：輸入為Xr，輸出為Xc，根據(jù)力平衡，可列出其運(yùn)動(dòng)方程式:標(biāo)準(zhǔn)化：B1B2K1K2XrXcR2C2R1C1UrUci利用②、③、④求出將上式代入①，將①兩邊微分得：力-電壓相似性中的相似量機(jī)械阻尼B1阻尼B2彈性系數(shù)K1彈性系數(shù)K2電氣電阻R1電阻R21/C11/C2線性系統(tǒng)的微分方程優(yōu)點(diǎn)：1、時(shí)域中精確描述系統(tǒng)動(dòng)、靜態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型；2、輸入信號(hào)和初始條件已知時(shí)，通過求解微分方程可以得

到系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，并可通過響應(yīng)曲線直觀地反映出系

統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程；缺點(diǎn)：1、高階微分方程求解困難；2、輸出響應(yīng)中包含了系統(tǒng)初始條件和輸入信號(hào)的信息，不能單純反映系統(tǒng)自身的固有響應(yīng)特性，不利于各系統(tǒng)之間的橫向比較；3、只要初始條件或輸入信號(hào)發(fā)生變化，就要重新求解微分程；返回§2-3線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

根據(jù)求解微分方程的拉氏變換法，可以得到系統(tǒng)的另一種數(shù)學(xué)模型——傳遞函數(shù)。它不僅可以表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，而且可以方便地研究系統(tǒng)的參數(shù)或結(jié)構(gòu)的變化對(duì)系統(tǒng)性能所產(chǎn)生的影響。在經(jīng)典控制理論中廣泛應(yīng)用的根軌跡法和頻率法，就是在傳遞函數(shù)基礎(chǔ)上建立起來的。

一、傳遞函數(shù)的定義線性定常系統(tǒng)①在零初始條件②下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，記為G(s).

若線性定常系統(tǒng)的微分方程為:

零初始條件下，進(jìn)行拉氏變換，由微分定理，得：根據(jù)傳遞函數(shù)的定義，描述該線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:可見，傳遞函數(shù)是由系統(tǒng)微分方程經(jīng)拉氏變換而引出的。系統(tǒng)輸入、輸出及傳遞函數(shù)之間的相互關(guān)系可用下圖表示，輸出是由輸入經(jīng)過G(s)的傳遞而得到的，因此稱G(s)為傳遞函數(shù)。G(s)R(s)C(s)傳遞函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)之一：將微積分關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)關(guān)系。RLC電路如圖所示，ur(t)為輸入電壓，uc(t)為輸出電壓，輸出端開路，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解：例2-6系統(tǒng)輸入輸出微分方程為：零初始條件下取拉氏變換：二、關(guān)于定義的說明①只適用于線性定常系統(tǒng)②零初始條件的物理意義輸入信號(hào)是在t=0以后才作用于系統(tǒng)，故輸入量及各階導(dǎo)在t=0時(shí)均為零；b)系統(tǒng)在輸入信號(hào)作用前是相對(duì)靜止的，故輸出量及各階導(dǎo)在t=0時(shí)均為零；試問：線性定常系統(tǒng)初始條件不為零，有沒有傳遞函數(shù)？全響應(yīng)＝零輸入響應(yīng)＋零狀態(tài)響應(yīng)三、傳遞函數(shù)的性質(zhì)1、G(s)與微分方程在零初始條件下等價(jià)；2、G(s)是用系統(tǒng)參數(shù)表示輸入與輸出之間的關(guān)系，即系統(tǒng)傳遞輸入信號(hào)的能力，反映系統(tǒng)自身固有的特性，它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與輸入信號(hào)和初始條件無關(guān)；3、同一個(gè)系統(tǒng)中，可以有不同的傳遞函數(shù)；同一個(gè)傳遞函數(shù)可以對(duì)應(yīng)不同的物理系統(tǒng)；4、實(shí)際系統(tǒng)中，G(s)是復(fù)變量s的有理分式函數(shù)，其分母多項(xiàng)式的次數(shù)n大于或等于分子多項(xiàng)式的次數(shù)m，即n≥m,且系數(shù)均為實(shí)數(shù),稱為物理現(xiàn)實(shí)性條件；5、G(s)的物理意義是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換，因此可以表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能；6、G(s)的局限性：①適用范圍窄，只適用于SISO線性定常系統(tǒng)；②零初始條件：不包含初始條件的信息，只是零狀態(tài)響應(yīng)；③是一種外部描述，稱為“黑箱模型”；四、傳遞函數(shù)的表示形式1、通式2、零極點(diǎn)形式（首一形式）3、典型環(huán)節(jié)形式（尾一形式）傳遞函數(shù)的增益零點(diǎn)根軌跡增益極點(diǎn)分子多項(xiàng)式分母多項(xiàng)式分母多項(xiàng)式的階次決定系統(tǒng)的階次。運(yùn)動(dòng)模態(tài)：在數(shù)學(xué)上，非齊次線性微分方程的通解由非齊次線性微分方程的特解和齊次微分方程的通解組成；齊次微分方程對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的特征方程，通解由微分方程的特征根決定，如果n階微分方程的特征根是λ1，λ2…λn，且無重根，則齊次微分方程的通解為：

其中稱為該微分方程所描述的自由運(yùn)動(dòng)模態(tài)，也叫振型。每一種模態(tài)代表一種類型的運(yùn)動(dòng)形態(tài)，齊次微分方程的通解則是它們的線性組合。五、傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)對(duì)輸出的影響

單位脈沖響應(yīng)：c(t)=Ae-at零極點(diǎn)分布圖：Φ(s)=傳遞函數(shù)：AS+a0-aj0運(yùn)動(dòng)模態(tài)1單位脈沖響應(yīng)：c(t)=Ae-atsin(bt+α)零極點(diǎn)分布圖：tΦ(s)=傳遞函數(shù)：A1s+B1(S+a)2+b2運(yùn)動(dòng)模態(tài)20-ajb0單位脈沖響應(yīng)：c(t)=Asin(bt+α)零極點(diǎn)分布圖：tΦ(s)=傳遞函數(shù)：A1s+B1S2+b2運(yùn)動(dòng)模態(tài)30jb0單位脈沖響應(yīng)：c(t)=Aeatsin(bt+α)零極點(diǎn)分布圖：tΦ(s)=傳遞函數(shù)：A1s+B1(S-a)2+b20ajb0運(yùn)動(dòng)模態(tài)4單位脈沖響應(yīng)：c(t)=Aeat零極點(diǎn)分布圖：tΦ(s)=傳遞函數(shù)：AS-a0aj0運(yùn)動(dòng)模態(tài)5

式中前兩項(xiàng)具有與輸入函數(shù)r(t)相同的模態(tài)，后兩項(xiàng)中包含由極點(diǎn)－1和－2所形成的自由運(yùn)動(dòng)模態(tài)，這是系統(tǒng)“固有”的成分，但其系數(shù)卻與輸入函數(shù)有關(guān)，因此可以認(rèn)為這兩項(xiàng)是受輸入函數(shù)激發(fā)而形成的。這意味著傳遞函數(shù)的極點(diǎn)可以受輸入函數(shù)的激發(fā)，在輸出響應(yīng)中形成自由運(yùn)動(dòng)的模態(tài)。傳遞函數(shù)的零點(diǎn)并不形成自由運(yùn)動(dòng)的模態(tài)，但它們卻影響各模態(tài)在響應(yīng)中所占的比重，因而也影響響應(yīng)曲線的形狀。五、傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)對(duì)輸出的影響

例2-7:例2－8具有相同極點(diǎn)不同零點(diǎn)的兩個(gè)系統(tǒng)

,它們零初始條件下的單位階躍響應(yīng)分別為：

極點(diǎn)決定系統(tǒng)響應(yīng)形式（模態(tài)），零點(diǎn)影響各模態(tài)在響應(yīng)中所占比重。

五、傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)對(duì)輸出的影響

六、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

一個(gè)物理系統(tǒng)是由許多元件組合而成的，雖然元件的結(jié)構(gòu)和作用原理多種多樣，但若考察其數(shù)學(xué)模型，卻可以劃分成為數(shù)不多的幾種基本類型，稱之為典型環(huán)節(jié)。比例環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)-延滯環(huán)節(jié)1.比例環(huán)節(jié)微分方程：傳遞函數(shù)：若：r(t)=1(t)，K=2，則：c(t)=2*1(t)，如下圖所示。試問：反饋控制系統(tǒng)中，比例環(huán)節(jié)能否為負(fù)？特點(diǎn)：輸出與輸入成正比，不失真也不滯后。實(shí)例：理想的杠桿、放大器、測(cè)速發(fā)電機(jī)，電位器。2.慣性環(huán)節(jié)T－慣性時(shí)間常數(shù)若在零初始條件下對(duì)慣性環(huán)節(jié)輸入單位階躍信號(hào)，則有:可見，在單位階躍輸入時(shí)慣性環(huán)節(jié)的輸出量是按指數(shù)函數(shù)變化的。當(dāng)t=3T或4T時(shí)，輸出才能接近其穩(wěn)態(tài)值。2.慣性環(huán)節(jié)T－慣性時(shí)間常數(shù)T越大，表示系統(tǒng)慣性大，系統(tǒng)響應(yīng)越慢慣性環(huán)節(jié)的實(shí)例:RC復(fù)位電路

RCuruc直接用復(fù)阻抗方法列寫系統(tǒng)傳遞函數(shù)：特點(diǎn)：慣性環(huán)節(jié)通常含一個(gè)儲(chǔ)能元件，對(duì)突變的輸入,其輸出不能立即復(fù)現(xiàn)，輸出無振蕩。3.積分環(huán)節(jié)特點(diǎn)：輸出量與輸入量的積分成正比例，當(dāng)輸入消失，輸出具有記憶功能。實(shí)例：電動(dòng)機(jī)角速度與角度間的傳遞函數(shù)，模擬計(jì)算機(jī)中的積分器等。積分電路當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)，輸出響應(yīng)如右圖所示：4.振蕩環(huán)節(jié)（欠阻尼二階系統(tǒng)）T－時(shí)間常數(shù)－阻尼比對(duì)振蕩環(huán)節(jié)有：

0<<1

振蕩環(huán)節(jié)的實(shí)例

(a)輸出電壓uc和輸入電壓ur之間的微分方程為

(b)輸出位移y(t)與輸入作用力F(t)之間的微分方程為可見它們都是典型的振蕩環(huán)節(jié)。RLCuruc(a)F(t)Kmfy(t)(b)特點(diǎn)：該環(huán)節(jié)存在兩個(gè)獨(dú)立儲(chǔ)能元件，且所儲(chǔ)兩種能量可以互相轉(zhuǎn)換，故動(dòng)態(tài)過程表現(xiàn)出振蕩特性。

理想微分環(huán)節(jié)在瞬態(tài)過程中其輸出量是輸入量的微分，理想微分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)為：這是一個(gè)強(qiáng)度為1的理想脈沖。在實(shí)際物理系統(tǒng)中得不到這種理想微分環(huán)節(jié)。5.理想微分環(huán)節(jié)特點(diǎn)：輸出量正比輸入量的變化率，能預(yù)示輸入信號(hào)的變化趨勢(shì)?？捎糜诔翱刂扑惴ㄖ?。5.理想微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線：R(t)=1(t)C(t)

當(dāng)輸入信號(hào)作用到環(huán)節(jié)以后，其輸出量要等待一段時(shí)間后，才能復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)，在時(shí)間0到的時(shí)間內(nèi)，輸出量為零，這種具有延時(shí)效應(yīng)的環(huán)節(jié)稱為延滯環(huán)節(jié)。式中為延滯時(shí)間。當(dāng)輸入信號(hào)為下圖(a)所示的單位階躍函數(shù)時(shí)，其響應(yīng)曲線如下圖(b)所示。r(t)1t0tc(t)10

(a)(b)6.延滯環(huán)節(jié)時(shí)域位移定理

上述各典型環(huán)節(jié)，是從數(shù)學(xué)模型的角度來劃分的。它們是系統(tǒng)傳遞函數(shù)的最基本的構(gòu)成因子。在和實(shí)際元件相聯(lián)系時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：⑴典型環(huán)節(jié)是按數(shù)學(xué)模型的共性來劃分的，與實(shí)際系統(tǒng)中使用的元件并非是一一對(duì)應(yīng)，一個(gè)元件的數(shù)學(xué)模型可能是若干個(gè)典型環(huán)節(jié)的組合，而若干個(gè)元件的數(shù)學(xué)模型的組合也可能就是一個(gè)典型環(huán)節(jié)。⑵同一裝置（元件），如果選取的輸入、輸出量不同，它可以成為不同的典型環(huán)節(jié)。關(guān)于典型環(huán)節(jié)的幾點(diǎn)說明⑶在分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，將被控對(duì)象（或系統(tǒng)）的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分解，就可以了解它是由哪些典型環(huán)節(jié)所組成的。因而，掌握典型環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)特性將有助于對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的分析研究。既然可以把組成控制系統(tǒng)的元件劃分為若干典型環(huán)節(jié)，那么控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)也可以寫成典型環(huán)節(jié)形式：式中都是微分環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)的組合，稱為一階微分環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)。由于它們?cè)诳刂葡到y(tǒng)中較常用，所以也可以把他們當(dāng)作典型環(huán)節(jié)對(duì)待。（4）

采用傳遞函數(shù)模型后，在設(shè)計(jì)和校正系統(tǒng)時(shí)，可以只

考慮調(diào)節(jié)器環(huán)節(jié)（或叫控制器），將被控對(duì)象環(huán)節(jié)視

為不變環(huán)節(jié)。R(s)C(s)E(s)U(s)N(s)B(s)調(diào)節(jié)器被控對(duì)象檢測(cè)元件六、系統(tǒng)傳遞函數(shù)的求法方法1：方法2：方法3：復(fù)阻抗法TroublesomeWork!EasyWork!適用于簡(jiǎn)單的電氣系統(tǒng)。P42:習(xí)題2－7設(shè)RC電路如圖所示，若以電壓ur為輸入，電壓uc為輸出，試寫出該電路的傳遞函數(shù)。urR1R2ucC2i1i2C1例2－9解：1、輸入：輸出：

2、簡(jiǎn)化方法一urR1R2ucC2i1i2C14、消去中間變量，且標(biāo)準(zhǔn)化得：3、設(shè)回路電流i1、i2如圖中所示，從輸入端開始，按信號(hào)傳遞順序?qū)懗龈髯兞块g的微分方程式如下：5、零初始條件下求拉氏變換：方法二解：1、輸入：輸出：

2、簡(jiǎn)化3、設(shè)回路電流i1、i2如圖中所示，從輸入端開始，按信號(hào)傳遞順序?qū)懗龈髯兞块g的微分方程式如下：4、零初始條件下，對(duì)方程組求拉氏變換：5、消去中間變量得傳遞函數(shù)：解：根據(jù)電路的基本定理可以得到如下的關(guān)系式：uru0C1i2R1i1iR2C2例2－10設(shè)下圖所示電路中，輸入電壓為ur，輸出電壓為u0，試寫出其傳遞函數(shù)。在零初始條件下，對(duì)方程組進(jìn)行拉氏變換，得：消去中間變量得：傳遞函數(shù)為：§2-4控制系統(tǒng)的方塊圖方塊圖：描述系統(tǒng)各組成元件之間信號(hào)傳遞關(guān)系的圖形模型，表示系統(tǒng)中各變量之間的因果關(guān)系。采用方塊圖，不僅能形象直觀地表明信號(hào)在系統(tǒng)各元件間的傳遞過程，而且能方便地求取復(fù)雜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

方塊圖的組成方塊圖的建立方塊圖的等效變換方塊圖的化簡(jiǎn)閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)本節(jié)內(nèi)容：一、方塊圖的組成：信號(hào)線、方塊、綜合點(diǎn)、引出點(diǎn)G(s)xr(s)xc(s)2.方塊：方塊代表元件的功能，通常將元件的傳遞函數(shù)寫在方塊中，表示輸入信號(hào)經(jīng)過該方塊的傳遞變成輸出信號(hào)。1.信號(hào)線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的傳遞方向，且信號(hào)只能單向傳輸。信號(hào)線上標(biāo)記著信號(hào)的函數(shù)。X(s)3.綜合點(diǎn)：表示對(duì)兩個(gè)或多個(gè)信號(hào)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算。其中

“＋”號(hào)表示相加，“－”表示相減?！?”號(hào)可以省略，“－”號(hào)必須標(biāo)明。注意：只有具有相同量綱的量才能進(jìn)行加減運(yùn)算。X2(s)+-X3(s)X1(s)Xc(s)綜合點(diǎn)的運(yùn)算關(guān)系為：x(s)x(s)4、引出點(diǎn)：表示信號(hào)引出或測(cè)量的位置。從同一位置引出的信號(hào)在數(shù)值和性質(zhì)上完全相同。繪制系統(tǒng)方塊圖的步驟如下：

1.列寫出系統(tǒng)各元件的微分方程。在建立方程時(shí)應(yīng)分清各元件的輸入量、輸出量。

2.在零初始條件下，對(duì)微分方程組進(jìn)行拉氏變換，并將變換式寫成標(biāo)準(zhǔn)形式。

3.由標(biāo)準(zhǔn)變換式利用方塊圖的四個(gè)基本單元，分別畫出各元部件的方塊圖。

4.按照系統(tǒng)中信號(hào)的傳遞順序，依次將各元部件的方塊圖連接起來，便可得到系統(tǒng)的方塊圖。

二、方塊圖的建立例2-11

下圖中，輸入電壓為ur，輸出電壓為uc，試畫出系統(tǒng)的方塊圖。urR1R2ucC2C1i1i22.對(duì)上述方程組進(jìn)行拉氏變換，并整理成標(biāo)準(zhǔn)式。輸入量輸出量C(s)=G(s)R(s)3.按標(biāo)準(zhǔn)變換式畫出各元件的結(jié)構(gòu)圖：1/R1Ur(s)Uc1(s)I1(s)_1/c1s_I2(s)I1(s)Uc1(s)1/c2sI2(s)Uc(s)1/R2Uc1(s)Uc(s)I2(s)_1/R11/c1s1/R21/c2sUr(s)I1(s)I2(s)Uc1(s)I2(s)Uc(s)---4.按照信號(hào)傳遞順序，依次將各元部件的結(jié)構(gòu)圖連接起來。1/R1Ur(s)Uc1(s)I1(s)_1/c1s_I2(s)I1(s)Uc1(s)1/R2Uc1(s)Uc(s)I2(s)_1/c2sI2(s)Uc(s)例2-12：試?yán)L制圖中無源網(wǎng)絡(luò)的方塊圖urucCR1R2ii1i2課堂練習(xí)！CurucR1R2ii1i2[4]將所有部分結(jié)構(gòu)圖在相同信號(hào)處疊加起來[3]對(duì)每個(gè)方程繪制相應(yīng)的部分結(jié)構(gòu)圖Uc(s)I(s)R2I1(s)R1CsI2(s)I1(s)I(s)I2(s)?Uc(s)??????)(1)(1r1sIsURI1(s)R1CsI2(s)R21/R1I(s)Uc(s)Ur(s)??-

方塊圖變換應(yīng)按等效原理進(jìn)行，所謂等效，就是對(duì)方塊圖的任一部分進(jìn)行變換時(shí)，變換前、后其輸入、輸出總的數(shù)學(xué)關(guān)系應(yīng)保持不變。三、方塊圖的等效變換1、串聯(lián)方塊的等效變換2、并聯(lián)方塊的等效變換3、反饋連接方塊的等效變換4、引出點(diǎn)的移動(dòng)5、綜合點(diǎn)的移動(dòng)6、相鄰綜合點(diǎn)和引出點(diǎn)的移動(dòng)1、串聯(lián)方塊的等效變換C(s)G2(s)G1(s)V(s)R(s)(a)C(s)G2(s)G1(s)R(s)(b)(a)變換前R(s)C1(s)C3(s)

C2(s)

-G1(s)G2(s)G3(s)C(s)G1(s)+G2(s)-G3(s)(b)變換后R(s)C(s)2、并聯(lián)方塊的等效變換3、反饋連接方塊的等效變換C(s)=G(s)E(s)E(s)=R(s)

H(s)C(s)C(s)=G(s)[R(s)

H(s)C(s)]

R(s)C(s)E(s)G(s)H(s)

(a)變換前(b)變換后R(s)C(s)注意：負(fù)反饋對(duì)應(yīng)＋，正反饋對(duì)應(yīng)－。

例2-13G4(s)(-)G2(s)G6(s)(-)C(s)R(s)G3(s)G5(s)G1(s)①并聯(lián)等效＋串聯(lián)等效②并聯(lián)等效③反饋等效＋串聯(lián)等效G(s)C(s)R(s)R(s)G(s)C(s)C(s)R(s)？4、引出點(diǎn)的移動(dòng)等效原則：移動(dòng)前后引出的信號(hào)不變。a)引出點(diǎn)前移G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)G(s)R(s)C(s)R(s)b)引出點(diǎn)后移？5、綜合點(diǎn)的移動(dòng)a)綜合點(diǎn)前移G(s)-B(s)C(s)R(s)G(s)B(s)C(s)R(s)-C(s)=G(s)R(s)-B(s)等效原則：移動(dòng)前后局部總輸出不變。？C(s)G(s)R(s)B(s)-5、綜合點(diǎn)的移動(dòng)b)綜合點(diǎn)后移等效原則：移動(dòng)前后局部總輸出不變。？C(s)R(s)G(s)-B(s)G(s)C(s)=[R(s)-B(s)]G(s)

=R(s)G(s)-B(s)G(s)C(s)=R(s)G(s)-B(s)X(s)R(s)V1(s)V2(s)C(s)-V2(s)V1(s)-C(s)R(s)V1(s)V2(s)C(s)R(s)-6、相鄰綜合點(diǎn)和引出點(diǎn)的移動(dòng)a)相鄰綜合點(diǎn):可以互換位置或合并。b)相鄰引出點(diǎn)：可以互換位置或合并。A(s)A(s)A(s)A(s)A(s)A(s)A(s)A(s)A(s)6、相鄰綜合點(diǎn)和引出點(diǎn)的移動(dòng)c)相鄰的綜合點(diǎn)和引出點(diǎn)如何互換位置？V(s)C(s)R(s)-C(s)V(s)C(s)R(s)-C(s)V(s)-

四、方塊圖的簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化規(guī)則：1、首先確定輸入輸出；2、先去交叉，先內(nèi)后外，化零為整；綜合點(diǎn)、引出點(diǎn)移動(dòng)反饋等效變換串、并聯(lián)等效變換例2-14、引出點(diǎn)移動(dòng)G1G2G3G4H3H2H1abG41G1G2G3G4H3H2H1G1G2G3G4H3H2H1G1H1G2H1G1G3例2-15、綜合點(diǎn)移動(dòng)向同類移動(dòng)G1G2G3H1G1G2H1G1G3G1G2H1G1G1G1G4H3G2G3H1例2-11、作用分解H1H3G1G4G2G3H3H1G4H1H3G1G2G3H3H1G4G4G4例2－16

方塊圖化簡(jiǎn)RH2+G3H1G1G2G3H2G4(-)Y(a)G4G3H2YR(b)G4YR(c)H1H2G1G2G3G4(-)(-)RY①引出點(diǎn)A前移＋并聯(lián)等效A②反饋等效＋串聯(lián)等效③反饋等效＋串聯(lián)等效④并聯(lián)等效YR(c)例2－17

雙RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖簡(jiǎn)化（判斷變換準(zhǔn)則）Ui(s)R1(-)(-)(-)Uo(s)(b)Ui(s)(-)(-)Uo(s)R1(c)

R1C2sUi(s)Uo(s)(-)(e)(d)Ui(s)R1C2s(-)Uo(s)(-)Ui(s)(-)(-)(-)Uo(s)(a)綜合點(diǎn)前移＋綜合點(diǎn)互換位置負(fù)反饋等效引出點(diǎn)后移串聯(lián)等效＋負(fù)反饋等效(f)Ui(s)Uo(s)

R1C2sUi(s)Uo(s)(-)(e)串聯(lián)等效＋負(fù)反饋等效

五、閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)R(s)C(s)E(s)U(s)N(s)B(s)給定輸入擾動(dòng)輸入

一般，反饋通路傳函＝1的控制系統(tǒng)稱為單位反饋系統(tǒng);

反饋通路傳函≠1的控制系統(tǒng)稱為非單位反饋系統(tǒng);被控對(duì)象控制器檢測(cè)元件1、前向通道傳遞函數(shù)前向通道：指信號(hào)從輸入端傳遞到輸出端的傳輸通道；前向通道傳遞函數(shù):前向通道上各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積；R(s)N(s)B(s)E(s)C(s)R(s)N(s)B(s)E(s)C(s)2、反饋通道傳遞函數(shù)反饋通道：指信號(hào)從輸出端反送到輸入端的傳輸通道；反饋通道傳遞函數(shù):反饋通道上各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積；R(s)N(s)B(s)E(s)C(s)3、閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù):閉環(huán)系統(tǒng)前向通道傳遞函數(shù)與反饋通道傳遞函數(shù)的乘積；4、閉環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)R(s)N(s)B(s)E(s)C(s)根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)的總輸出應(yīng)為各輸入引起的輸出的疊加，因而得到系統(tǒng)總輸出為：這表明，采用反饋控制系統(tǒng)，適當(dāng)?shù)嘏渲每刂破骱蜏y(cè)量元件的參數(shù)，有可能獲得較高的精度和較強(qiáng)的抑制干擾的能力，這是反饋控制優(yōu)于開環(huán)控制之處。若：5、閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)的誤差為：誤差傳遞函數(shù)：R(s)N(s)B(s)E(s)C(s)輸入為給定R(s)或擾動(dòng)N(s)，輸出為誤差E(s)。被控量的測(cè)量值（1）給定輸入作用下的誤差傳遞函數(shù)令N(s)=0，方塊圖變成如下形式：R(s)N(s)B(s)E(s)C(s)（2）擾動(dòng)輸入作用下的誤差傳遞函數(shù)令R(s)=0，方塊圖變成如下形式：R(s)N(s)B(s)E(s)C(s)（3）系統(tǒng)的總誤差R(s)N(s)B(s)E(s)C(s)5、閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程試問：已知閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅與系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式有關(guān)，由于同一個(gè)系統(tǒng)選取不同輸入輸出，可以有不同的傳遞函數(shù)，請(qǐng)問系統(tǒng)的穩(wěn)定性會(huì)因輸入輸出的不同而變化嗎？

上面導(dǎo)出閉環(huán)傳遞函數(shù)及誤差傳遞函數(shù)雖然各不相同，但是分母卻是一樣的，均為：閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式＝1＋開環(huán)傳遞函數(shù)

可以是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，稱為特征方程的根，或稱為閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)。

特征方程：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程對(duì)給定的系統(tǒng)而言，特征多項(xiàng)式是唯一的，即閉環(huán)極點(diǎn)的分布是唯一的。閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)與控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)和系統(tǒng)的穩(wěn)定性密切相關(guān)。特征多項(xiàng)式與開環(huán)傳函相關(guān)，因此其動(dòng)態(tài)特性可用開環(huán)傳函分析。課堂練習(xí)：試求下圖所示系統(tǒng)的輸出答案：返回古典控制理論和現(xiàn)代控制理論區(qū)別古典控制理論輸入、輸出、誤差關(guān)系頻域單輸入－單輸出線性系統(tǒng)定常系統(tǒng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)基于圖解或手工的方法通過經(jīng)驗(yàn)和試探法測(cè)試適于簡(jiǎn)單系統(tǒng)的設(shè)計(jì)現(xiàn)代控制理論狀態(tài)空間表達(dá)式時(shí)域多輸入多輸出線性系統(tǒng)定常系統(tǒng)時(shí)變系統(tǒng)可以根據(jù)性能指標(biāo)設(shè)計(jì)最優(yōu)控制系統(tǒng)可用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)可用于設(shè)計(jì)復(fù)雜系統(tǒng)§2-5線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述法

1．控制系統(tǒng)的兩種基本描述方法：

輸入-輸出描述法——經(jīng)典控制理論狀態(tài)空間描述法——現(xiàn)代控制理論

2．經(jīng)典控制理論的特點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：對(duì)單輸入-單輸出系統(tǒng)的分析和綜合特別有效。缺點(diǎn)：內(nèi)部信息無法描述，僅適于單輸入-單輸出系統(tǒng)。

3.現(xiàn)代控制理論

(1)適應(yīng)控制工程的高性能發(fā)展需要，可用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)。

(2)

可處理時(shí)變、非線性、多輸入-多輸出問題。

(3)應(yīng)用方面的理論分支：最優(yōu)控制、系統(tǒng)辯識(shí)，自適應(yīng)控制……一、引言R(s)C(s)外部描述：微分方程、傳遞函數(shù)內(nèi)部描述：狀態(tài)空間表達(dá)式{數(shù)學(xué)模型uyx輸入引起內(nèi)部狀態(tài)的變化，用一階微分方程組表示----狀態(tài)方程內(nèi)部狀態(tài)和輸入引起輸出的變化，用代數(shù)方程表示----輸出方程§2-5線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述法狀態(tài)空間分析法在狀態(tài)空間中以狀態(tài)變量或狀態(tài)向量描述系統(tǒng)狀態(tài)的方法稱為狀態(tài)空間分析法?；靖拍顮顟B(tài)狀態(tài)變量狀態(tài)向量狀態(tài)空間狀態(tài)空間表達(dá)式

1、

先看一個(gè)例子：

例2-18

試建立圖示電路的數(shù)學(xué)模型。二.基本概念RLCuruci(t)

由微分方程的知識(shí)可知，如果已知初始條件i(0)、uc(0)以及t≥0時(shí)的ur(t),那么上述方程組在t>0后的任一時(shí)刻的解就完全被確定了。同時(shí)該系統(tǒng)其余的變量在t＞0時(shí)的值，也均能用這兩個(gè)變量i(t)和uc(t)的線性組合來表示.

上面的例子說明，系統(tǒng)的變量往往有好多個(gè)，但它們并不一定都是互相線性獨(dú)立的。若從中選擇一組線性獨(dú)立的變量xi(t)，i＝1，2，…，n，當(dāng)這組變量的初始值xi(0)以及系統(tǒng)的輸入u(t)被確定以后，則這組變量在t＞0時(shí)的值也就被完全確定了。同時(shí)該系統(tǒng)的其余變量在t＞0時(shí)的值，也均能用這組獨(dú)立的變量的線性組合來表示,那么通常把這組獨(dú)立的變量xi(t)，i＝1，2，…，n，叫做系統(tǒng)的狀態(tài)變量。①狀態(tài)：所謂狀態(tài)，是指系統(tǒng)過去、現(xiàn)在和將來的狀況。例如電路中的電流、電壓，平移系統(tǒng)的位移、速度、加速度等；②狀態(tài)變量：狀態(tài)變量是指能夠確定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的一組線性獨(dú)立、數(shù)目最少的變量。

a)線性獨(dú)立：變量之間線性無關(guān)；b)數(shù)目最少：n階系統(tǒng)有n個(gè)獨(dú)立狀態(tài)變量；c)系統(tǒng)其余狀態(tài)能夠用狀態(tài)變量的線性組合表示；d)狀態(tài)變量的選?。阂话氵x擇容易測(cè)量的物理量為狀態(tài)變量，如電容電壓、電感電流；2.定義狀態(tài)變量的選取

1.狀態(tài)變量的選取是非唯一的；

2.選取方法

（1）可選取初始條件對(duì)應(yīng)的變量或與其相關(guān)的變量作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。

（2）可選取獨(dú)立儲(chǔ)能元件的特征變量或與其相關(guān)的變量作為控制系統(tǒng)的狀態(tài)變量。（如電感電流i、電容電壓uc

、質(zhì)量m

的速度v

等。

變量的線性無關(guān)試確定系統(tǒng)中獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)。③狀態(tài)向量：以n個(gè)狀態(tài)變量作為分量的向量x(t)稱為狀態(tài)向量。④狀態(tài)空間：以n個(gè)狀態(tài)變量為坐標(biāo)構(gòu)成的n維空間，稱為狀態(tài)空間。系統(tǒng)在任意時(shí)刻的狀態(tài)對(duì)應(yīng)狀態(tài)空間中的一個(gè)點(diǎn)。由原點(diǎn)指向該點(diǎn)的矢量就是對(duì)應(yīng)的狀態(tài)向量，隨時(shí)間變化，狀態(tài)向量的端點(diǎn)軌跡形成一條狀態(tài)軌跡；⑤狀態(tài)空間表達(dá)式：狀態(tài)方程＋輸出方程狀態(tài)方程——由系統(tǒng)n階微分方程轉(zhuǎn)換成一階微分方程組的形式，表示系統(tǒng)輸入向量u和狀態(tài)向量x的關(guān)系；輸出方程——將系統(tǒng)的輸出向量y表示為輸入向量u和狀態(tài)向量x的線性組合，表示系統(tǒng)輸出向量y與輸入向量u及狀態(tài)向量x之間的關(guān)系；其中：輸入向量：u(t)

輸出向量：y(t)

狀態(tài)向量：x(t)線性定常系統(tǒng)線性時(shí)變系統(tǒng)非線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的形式對(duì)于p個(gè)輸入，q個(gè)輸出的n階線性定常系統(tǒng)：狀態(tài)方程輸出方程狀態(tài)矩陣輸入矩陣輸出矩陣直接作用矩陣維數(shù)分析通常用{A、B、C、D}表示一個(gè)系統(tǒng)。將狀態(tài)空間表達(dá)式畫成方塊圖形式：直接作用矩陣狀態(tài)矩陣輸入矩陣輸出矩陣狀態(tài)空間描述的優(yōu)越性：能揭示系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)信息并加以利用；一階微分方程組比高階微分方程宜于在計(jì)算機(jī)上求解；采用向量－矩陣形式，當(dāng)變量數(shù)目增加時(shí)，不增加數(shù)學(xué)表達(dá)的復(fù)雜性；適用于各種系統(tǒng)；

例2-19

圖示彈簧-質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)，外作用力u(t)為該系統(tǒng)的輸入量，質(zhì)量的位移y(t)為輸出量，試列寫該系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。

k

mu(t)y(t)f2.列寫狀態(tài)方程3.列寫輸出方程4、寫成狀態(tài)空間表達(dá)式例2-20

由質(zhì)量塊、彈簧、阻尼器組成的機(jī)械位移系統(tǒng)如圖示系統(tǒng)輸入量為：外力F和阻尼器汽缸速度V，輸出量為：質(zhì)量塊位移、速度和加速度。試寫出該雙輸入－三輸出機(jī)械位移系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。圖中m、k、f分別為質(zhì)量、彈簧的彈性系數(shù)、阻尼系數(shù)，x為位移。解：根據(jù)牛頓第二定律得到該系統(tǒng)的微分方