模板06萬有引力與航天（四大題型）

本節(jié)導航：

題型01天體質量和密度的估算題型02衛(wèi)星及其變軌問題

題型03天體表面重力加速度的相關問題題型04雙星和多星問題

題型01天體質量和密度的估算

口曼理解禳

1、問題涉及情景新穎，常與最新的航天科技結合出題，出題角度不難但易錯。

2、公式的選用靈活多變，學生要謹記其本質為萬有引力提供向心力，掌握各個公式是解題的關鍵。

一、必備基礎知識

1、開普勒三大定律

定律內容圖示

入

開普勒第一定律所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太

（軌道定律）陽處在橢圓的一個焦點上。陽

開普勒第二定律對任意一個行星來說，它與太陽的連線在

（面積定律）相等的時間內掃過相等的面積。O

所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它

星

開普勒第三定律的公轉周期的二次方的比值都相等。即

（周期定律）3

a=左，上是一個與行星無關的常量。

2、萬有引力定律

內容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質量風

和他2的乘積成正比，與它們之間距離r的二次方成反比。

u

表達式：F=d^,其中G叫做引力常量，G^6.61xlO^N-frr/kg\牛頓得出了萬有引力與物

體質量及它們之間距離的關系，但沒有測出引力常量G。英國物理學家卡文迪什通過實驗推算出引力常量G

的值。

適用條件：①適用于質點間的相互作用；②兩個質量分布均勻的球體可視為質點或者一個均勻球體與

球外一個質點，r是兩球心間的距離或者球心到質點間的距離；③兩個物體間的距離遠遠大于物體本身的大

小，r為兩物體質心間的距離。

3、天體（衛(wèi)星）運動問題的兩點思路

2

①天體運動的向心力來源于天體之間的萬有引力，即=maa==mcor=0

②在中心天體表面或附近運動時，萬有引力近似等于重力，即隼=mg（g表示天體表面的重力加速度）。

二、解題模板

1、解題思路

明確中心天體，建

立圓周運動模型

2、注意問題

區(qū)分中心天體的半徑和環(huán)繞天體的軌道半徑，只有近地環(huán)繞天體的軌道半徑才等于中心天體的半徑。

該類型的題目是求解中心天體的質量和密度，是不能求解環(huán)繞天體的質量和密度。

3、解題方法

①利用天體表面的重力加速度g和天體半徑Ro

由于$耨=岫故天體質量M=啥，天體密度P=^=^-=4；*R。

"鏟廬

②通過觀察衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的周期T和軌道半徑ro

由萬有引力等于向心力，即牽=符匕得出中心天體質量M=盛；若已知天體半徑R,則天體

的平均密度"=的=產=施7；若天體的衛(wèi)星在天體表面附近環(huán)繞天體運動，可認為其軌道半徑r等于

押3

天體半徑R,則天體密度〃=溪?？梢?，只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動的周期T,就可估算出中心天體

的密度。

第槿極運用

|（2024?北京?高考真題）科學家根據天文觀測提出宇宙膨脹模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙

物質（星體等）在做彼此遠離運動，且質量始終均勻分布，在宇宙中所有位置觀測的結果都一樣。以某一

點。為觀測點，以質量為根的小星體（記為P）為觀測對象。當前尸到。點的距離為為,宇宙的密度為4。

（1）求小星體P遠離到5處時宇宙的密度"；

（2）以。點為球心，以小星體P到。點的距離為半徑建立球面。P受到的萬有引力相當于球內質量集中于

。點對P的引力。己知質量為奶和利、距離為R的兩個質點間的引力勢能l=-G巧會，G為引力常量。

僅考慮萬有引力和P遠離。點的徑向運動。

a.求小星體尸從％處遠離到2%。處的過程中動能的變化量A線；

b.宇宙中各星體遠離觀測點的速率v滿足哈勃定律v=Hr,其中廠為星體到觀測點的距離，”為哈勃系數。

H與時間/有關但與「無關，分析說明H隨丹曾大還是減小。

思路分析

第一問的思路：

在宇宙中所有位置觀測的結果都一樣,根據質量相同即

則小星體P運動前后球內質量相同可求出密度

第二問的思路:

根據密度和半徑由能量守恒定律根據a問得到速度與半徑的

可求得質量求得動能變化量關系，聯立哈勃定律可求解

詳細解析

12

【答案】（1）P=--P;（2）a.AE=-^Gjipmr^；b.H隨f增大而減小

o03kQ

【詳解】（1）在宇宙中所有位置觀測的結果都一樣，則小星體P運動前后距離。點半徑為4和2%的球內

質量相同，即

Arg屁兀（24丫

解得小星體P遠離到4處時宇宙的密度

1

方於

（2）a.此球內的質量

4

M“3

=P0--^

P從4處遠離到4處，由能量守恒定律得，動能的變化量

（GMm\_22

△紜=-G----------------------------=--Gnpomro

roV2roJ3

b.由。知星體的速度隨％增大而減小，星體到觀測點距離越大，運動時間f越長，由廠=坳知，//減小，

故〃隨f增大而減小。

|（2024?廣東?模擬預測）2021年2月10日19時52分，我國首次火星探測任務"天間一號"探測

器實施近火捕獲制動，成功實現環(huán)繞火星運動，成為我國第一顆人造火星衛(wèi)星。設想某一天一位宇航員到

達火星后進行如下實驗：如圖所示，將支架水平固定在火星表面上，擺軸末端用細繩連接一質量為優(yōu)的小

球。拉直細繩并給小球一個垂直細繩的初速度，讓它在豎直平面內做完整的圓周運動。在最低點a和最高

點b,細繩拉力大小分別為￡、Tb,阻力不計。已知火星的半徑為R,萬有引力常量為G。求:

⑴火星表面重力加速度的大小g;

（2）火星的質量

【答案】⑴

om

⑵M=（小心

6Gm

【詳解】（1）設繩長為/,在。點時

emv：

Ta-mg=—

在b點時

Tb+mg=

由機械能守恒定律可得

1212c,

—mva=—mvb+2mgl

聯立解得

(2)由題可知

「Mm

G-^=ms

解得

6Gm

題型02衛(wèi)星及其變軌問題

金敦幽篌

1、該題型常與較新的衛(wèi)星結合出題，題目一般較長，一般介紹的內容可以忽略，本質就是圓周運動規(guī)

律的應用。

2、題型難度不大，考查公式較多，需要學生具備一定的綜合分析能力。

一、必備基礎知識

1、衛(wèi)星軌道

衛(wèi)星運動的軌道平面一定通過地心，一般分為赤道軌道、極地軌道和傾斜軌道。

N■N'

A<?*

?

赤道軌道極地軌道逆行軌道順行軌道

傾斜軌道

2、運行規(guī)律

y24兀之、、

2

衛(wèi)星做勻速圓周運動。萬有引力提供向心力：即由m~=mrw=mr=man可推導出：①線

2

Mmv/GMA、士士

速度：G駕=m一=>y=J------；②角速度:

rrVr

「Mm47r之nT=2%匚；④向心加速度:

G-----=m----r

r2T2\GM

3、三種衛(wèi)星

①近地衛(wèi)星：在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運動其運行的軌道半徑可近似認為等于

地球的半徑，其運行線速度約為7.9km/s。

②地球同步衛(wèi)星：地球同步衛(wèi)星，是相對于地面靜止的，這種衛(wèi)星位于赤道上方某一高度的穩(wěn)定軌道

上，且繞地球運動的周期等于地球的自轉周期。

③極地衛(wèi)星：運行時每圈都經過南北兩極，由于地球自轉，極地衛(wèi)星可以實現全球覆蓋。

4、三大宇宙速度

數值

宇宙速度意義

(km/s)

第一宇宙速度是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是人造地球衛(wèi)星

7.9

（環(huán)繞速度）繞地球做圓周運動的最大運行速度。

第二宇宙速度使物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度。

11.2

（脫離速度）

第三宇宙速度

16.7使物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度。

（逃逸速度）

發(fā)射速度為％第一宇宙速度為歷，第二宇宙速度為匹，第三宇宙速度為%,發(fā)射物體的運動情況跟宇

宙速度息息相關，它們的關系如下表所示：

V<V]發(fā)射物體無法進入外太空，最終仍將落回地面；

VIWv<V2發(fā)射物體進入外太空，環(huán)繞地球運動；

V2WV<V3發(fā)射物體脫離地球引力束縛，環(huán)繞太陽運動；

發(fā)射物體脫離太陽系的引力束縛，逃離太陽系中。

5、兩類變軌的比較

兩類變軌離心運動近心運動

變軌起因衛(wèi)星速度突然增大衛(wèi)星速度突然減小

受力分析冷<4尊

變?yōu)闄E圓軌道運動或在較大半徑圓軌變?yōu)闄E圓軌道運動或在較小半徑圓軌

變軌結果

道上運動道上運動

應用衛(wèi)星的發(fā)射和回收

二、解題模板

1、解題思路

2、注意問題

地球同步衛(wèi)星的軌道平面、周期、角速度、高度、速率、繞行方向、向心加速度都是一定的。

軌道平面一定（只能位于赤道上空，軌道平面和赤道平面重合）；

周期一定（與地球自轉周期相同，大小為六24h=8.64X10"s。）；

角速度一定（與地球自轉的角速度相同）；

高度一定（根據G（=冽［與］（R+h）得八月?—R）=3.6X10,加；

線速度一定（根據線速度的定義，可得y=2-（R+/z）=3.08km/s,小于第一宇宙速度）；

T

向心加速度一定（根據可得an=瞿h2=gh=Q.23m/s2）；

十句n~rn

繞行方向一定（與地球自轉的方向一致）。

衛(wèi)星變軌時半徑的變化，根據萬有引力和所需向心力的大小關系判斷；穩(wěn)定在新軌道上的運行速度變

化由v='丹判斷；衛(wèi)星在不同軌道上運行時機械能不同，軌道半徑越大，機械能越大；衛(wèi)星經過不同

軌道相交的同一點時加速度相等，外軌道的速度大于內軌道的速度。

3、解題方法

衛(wèi)星變軌的判斷及處理思路方法：①要增大衛(wèi)星的軌道半徑，必須加速；②當軌道半徑增大時，衛(wèi)星

的機械能隨之增大。

2

衛(wèi)星向心加速度的不同表述形式：（j^=man-,an=y=r（o=^-r?

解決力與運動關系的思想還是動力學思想，解決力與運動的關系的橋梁還是牛頓第二定律：衛(wèi)星的詼、

v、co、T是相互聯系的，其中一個量發(fā)生變化，其他各量也隨之發(fā)生變化；出、。、8、T均與衛(wèi)星的質量無

關，只由軌道半徑r和中心天體質量共同決定。

衛(wèi)星變軌解題方法：

軌道漸變問題：當衛(wèi)星由于某種原因速度逐漸改變時，萬有引力不再等于向心力，衛(wèi)星將做變軌運行。

當衛(wèi)星的速度逐漸增加時，畔1即萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星將做離心運動，軌道半徑

變大，當衛(wèi)星進入新的軌道穩(wěn)定運行時由v=、浮可知其運行速度比原軌道時減小。

當衛(wèi)星的速度逐漸減小時，尊＞/，即萬有引力大于所需要的向心力，衛(wèi)星將做近心運動，軌道半

徑變小，當衛(wèi)星進入新的軌道穩(wěn)定運行時由v=、岸可知其運行速度比原軌道時增大。

離心運動：

當/增大時，所需向心力"增大，衛(wèi)星將做離心運動，軌道半徑變大，由■=當口其運行速度要

r\r

減小，此時重力勢能、機械能均增加。同一衛(wèi)星在不同軌道上運行時機械能不同，軌道半徑（半長軸）越大,

機械能越大。

衛(wèi)星向心運動：當n減小時，所需向心力用減小，因此衛(wèi)星將做向心運動，軌道半徑變小，由v=

知其運行速度將增大，此時重力勢能、機械能均減少。情景分析，如下圖所示：

m/汽N、、

先將衛(wèi)星發(fā)送到近地軌道I；使其繞地球做勻速圓周運動，速率為71,變軌時在尸點處點火加速，短

時間內將速率由再增加到吸，使衛(wèi)星進入橢圓形的轉移軌道II；衛(wèi)星運行到遠地點0時的速率為期此時

進行第二次點火加速，在短時間內將速率由聰增加到右，使衛(wèi)星進入同步軌道III,繞地球做勻速圓周運動。

注意：衛(wèi)星在不同軌道相交的同一點處加速度相等，但是外軌道的速度大于內軌道的速度。中心天體

相同，但是軌道不同（不同圓軌道或橢圓軌道），其周期均滿足開普勒第三定律。

變軌過程物體的分析如下：

速度根據以上分析可得：V4>V3>V2>V7

加速度在尸點，衛(wèi)星只受到萬有引力作用，所以衛(wèi)星當從軌道I或者軌道n上經

過尸點時，衛(wèi)星的加速度是一樣的；同理在。點也一樣。

周期根據開普勒第三定律,=上可得Ti<r2<r3o

機械能衛(wèi)星在一個確定的軌道上（圓或者橢圓）運動時機械能是守恒的，若衛(wèi)星

在I、II、III軌道的機械能分別為機、E”E3,則區(qū)<及<&?

說明：根據以上分析可得當增大衛(wèi)星的軌道半徑時必須加速。

。槿極運用

］（2024?江蘇蘇州?三模）人造衛(wèi)星發(fā)射場一般選擇靠近赤道的地方，這樣可以利用地球自轉減小

發(fā)射需要的能量，中國文昌航天發(fā)射場是世界上為數不多的低緯度發(fā)射場之一、已知地球質量為〃，半徑

為R,地球自轉角速度為。，萬有引力常量為G。若在赤道上發(fā)射一近地衛(wèi)星，求：

（1）發(fā)射前衛(wèi)星在赤道上隨地球自轉的速度大小%;

（2）衛(wèi)星相對地面的最小發(fā)射速度V。

思路分析

第一問的思路:

衛(wèi)星靜止時，角速度由線速度與角速度的關

為地球自轉角速度系公式可求出線速度

第二問的思路:

近地衛(wèi)星由萬有引根據圓周運動規(guī)律求根據相對速度公式可求得相

力提供向心力得發(fā)射最小速度對地面衛(wèi)星的最小發(fā)射速度

詳細解析

【答案】（1）%=6尺；（2）

【詳解】（1）衛(wèi)星靜止時，隨地球自轉角速度為。，且運動半徑等于地球半徑R,由線速度與角速度的關

系公式，得

%=coR

（2）近地衛(wèi)星，由萬有引力提供向心力可得

2

廠Mmv,

G——=m—

R2R

求得衛(wèi)星發(fā)射的最小速度

GM

匕=

則在赤道上相對地面衛(wèi)星的最小發(fā)射速度

也一①R

R

（2024■陜西安康?一模）從1970年中國成功發(fā)射第一顆人造地球衛(wèi)星東方紅一號起，至2024

年，中國在軌運行的衛(wèi)星數量已超過600顆，這標志著中國航天技術實現了從跟跑到并跑，乃至領跑的跨

越式發(fā)展?，F有一顆在赤道上空運行的人造衛(wèi)星，它到地球表面的距離等于地球的半徑，轉動的方向與地

球的自轉方向相同。若地球的半徑為R,自轉的角速度為明，地球表面附近的重力加速度大小為g。求:

⑴該人造衛(wèi)星繞地球轉動的線速度大小V；

（2）該人造衛(wèi)星連續(xù)兩次經過赤道上同一處的時間間隔北

【答案】（l）v=

271

t=

⑵蔡-豌

【詳解】（1）該人造衛(wèi)星靜止在地球表面時有

-Mm

G鏟="吆

該衛(wèi)星在軌道上運動時，由萬有引力提供向心力

_Mmv2

G------=m——

（2J?）272R

解得

（2）衛(wèi)星的角速度

由幾何關系可知

-gt=2%

解得

題型03天體表面重力加速度的相關問題

重力加速度往往是萬有引力和運動學聯系的橋梁，通過它可以將天體運動和自由落體運動、拋體運動

相結合進行考查。

勵槿超的建

一、必備基礎知識

1、地球自轉對地表物體重力的影響

如下圖所示，在緯度為0的地表處，物體所受的萬有引力為尸G=m與M巴。

物體隨地球一起繞地軸自轉所需的向心力為/向=??RCOS0Q2,方向垂直于地軸指向地軸，這是物體所

受到的萬有引力的一個分力充當的，而萬有引力的另一個分力就是通常所說的重力mg,嚴格地說：除了在

地球的兩個極點處，地球表面處的物體所受的重力并不等于萬有引力，而只是萬有引力的一個分力。

地球表面處物體所受到的重力是指地球上的物體由于地球的吸引而使物體受到的力。通過分析地球上

物體受到地球引力產生的效果，可以知道重力是引力的一個分力，大小等于地面對物體的支持力FN=mg,

方向跟支持力方向相反，垂直該處的水平面豎直向下。引力的另一個分力是地球上的物體隨同地球自轉的

向心力F向=ms盲r（這個向心力也可以看作是物體受到的地球引力與地面支持力的合力）如圖所示。從合力

與分力的關系來看，重力mg和向心力F向是萬有引力的兩個效果力，即分力。若從力產生的原因（力的性

質）來分析地面上物體的受力情況，則物體只受到萬有引力和地面的支持力，不能同時再分析重力。但由

于向心力很小，所以在一般計算中可認為重力近似等于引力，重力方向豎直向下（即指向地心）。

2、不忽略地球自轉的影響

地球對物體的萬有引力F表現為兩個效果：一是重力機g,二是提供物體隨地球自轉的向心力產向，如

下圖所示。

①在赤道上：G-^-^mgi+marRo

②在兩極上：鬻=7Mg2。

③在一般位置：萬有引力隼可分解為兩個分力：重力，咫與向心力廠向。

越靠近南北兩極g值越大，由于物體隨地球自轉所需的向心力較小，常認為萬有引力近似等于重力，

anGMm

即尺2=mg。

3、忽略地球自轉影響

在地球表面附近，物體所受重力近似等于地球對它的吸引力，即〃zg=G^?？傻茫?/p>

①地球表面重力加速度g=窄，距地面高h處重力加速度g=。有$="5"'即g與到

地心距離的平方成反比。

②地球質量M=塔；

③恒等式：GM=gk。

以上各式對自轉可忽略的其他星球同樣適用。

4、處于地球上空不隨地球自轉的物體

在地球表面上，mg=竿，在〃高度處mg'=浮后，所以g'=（皆力之且，隨高度的增加，重力加

速度減小，在計算時，這個因素不能忽略。

二、解題模板

1、解題思路

根據運動學規(guī)律列方

程，求出重力加速度

2、注意問題

在地球上所有只在重力作用下的運動形式，如自由落體運動、豎直上拋運動、平拋運動、斜拋運動等，

其運動規(guī)律和研究方法同樣適用于在其他星球表面的同類運動的分析，只是當地重力加速度取值不同而已。

3、解題方法

星體表面上的重力加速度問題，計算重力加速度的方法：

①在地球表面附近的重力加速度g（不考慮地球自轉）：，"g=瞿，得g=等;

②在地球上空距離地心廠=R+〃處的重力加速度為mg'=篙*，所以＞,隨高度的

增加，重力加速度減小，在計算時，這個因素不能忽略；

③地球表面的物體運動規(guī)律的遷移應用，在地球上所有只在重力作用下的運動形式，如自由落體運動、

豎直上拋運動、平拋運動、斜拋運動等，其運動規(guī)律和研究方法同樣適用于在其他星球表面的同類運動的

分析，只是當地重力加速度取值不同而已。

第梗極運用

］（2024?廣東清遠?模擬預測）火星是距離太陽第四近的行星，也是太陽系中僅次于水星的第二小

的行星，為太陽系里四顆類地行星之一，其半徑R=3400km。我國發(fā)射的火星探測器"天問一號"在登陸火

星之前圍繞火星做圓周運動，其環(huán)繞速度v與軌道半徑廠之間的關系如圖甲所示。"天問一號"火星探測器成

功登陸火星表面后，“祝融號"火星車出艙進行探測任務，如圖乙所示。某次任務時，火星車以速度vo=O.5m/s

沿水平面勻速行駛，前方有一高度/?=2m的斷崖，斷崖下方是平坦的地面。求：

/(xlO'V)

圖乙

⑴火星表面的重力加速度g火;

(2)火星車在斷崖下方地面著陸時的速度Vo

思路分析

第一問的思路;

萬有引力提供向心力得結合圖像和在火星表面萬聯立方程可求出重力

到速度的表達式有引力等于重力列方程加速度

第二問的思路:

火星車做平拋運動根據平拋運動規(guī)律求得著陸時的速度

詳細解析

【答案】⑴4m/s2,方向豎直向下

⑵晅m/s,方向與水平方向夾角的正切值為8

2

【詳解】(1)根據萬有引力充當向心力

Mmmv2

G^~=-----

rr

可得

1

v92=GM-

結合圖像可知

GM==4.624xio13m3/s2

在火星表面上有

GMm

〃吆火

解得

g火=4m/s2

方向豎直向下。

（2）火星車做平拋運動，在豎直方向有

vj=2g火〃

可得

vy=4m/s

水平方向做勻速直線運動

火星車在斷崖下方地面著陸時的速度

設著陸時的速度方向與水平方向的夾角為仇則有

tan0=—=8

匕

則速度方向與水平方向夾角的正切值為8?

|（2024?全國?模擬預測）為實現嫦娥六號探測器在月球背面與地面順利進行通信，中國又發(fā)射了

"鵲橋二號"中繼衛(wèi)星，作為嫦娥六號探測器與地面聯系的橋梁，"鵲橋二號"中繼衛(wèi)星在環(huán)繞月球的大橢圓軌

道上運行，其運行周期為已知嫦娥六號探測器環(huán)繞月球表面飛行的周期為T,月球半徑為R,引力常

量為G,求:

（1）"鵲橋二號”中繼衛(wèi)星的軌道半長軸與月球半徑之比;

（2）月球表面的重力加速度;

⑶月球的密度。

【答案】（1）3=）生

Rvr2

4/R

(2)g=

T2

..3乃

⑶。=彳

【詳解】（1）根據開普勒第三定律有

不一產

解得

￡=3匠

RVr2

（2）對嫦娥六號探測器有

4/"zR

m

S=y2

解得

4/R

S=^T~

（3）對嫦娥六號探測器有

GMmc4萬2

解得

3%

P~GTT

題型04雙星和多星問題

這類題目考查學生應用萬有引力定律、牛頓運動定律、圓周運動規(guī)律解決天體運動問題的能力，對建

模能力、幾何作圖能力和分析推理能力要求較高。

.槿笆狗建

一、必備基礎知識

1、雙星

定義：在天體運動中，將兩顆彼此相距較近，且在相互之間萬有引力作用下繞兩者連線上的某點（公

共圓心）做周期相同的勻速圓周運動的行星組成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng)，如圖所示。它們在宇宙中

往往會相距較近，質量可以相比，它們離其它星球都較遠，因此其它星球對它們的萬有引力可以忽略不計。

2、雙星模型的條件

①兩顆星彼此相距較近。

②兩顆星利用相互之間的萬有引力做勻速圓周運動。

③兩顆星繞同一■圓心做圓周運動。

3、雙星的特點

①“向心力等大反向”—各自所需的向心力由彼此間的萬有引力相互提供,即兩星做勻速圓周運動的

向心力相等，都等于兩者之間的萬有引力，故涇=巳，且方向相反，分別作用在兩顆行星上，是一對作用

力和反作用力。所以有蟹也=如。，］,號詈=租2s加2。

②“周期、角速度相同”一一兩顆星做勻速圓周運動的周期及魚速度都相同，即71=乃，01=02。

③“距離不變”一一兩星之間的距離不變，且兩星的軌道半徑之和等于兩星之間的距離，廠1+/2=小

④“半徑反比”一一圓心在兩顆行星的連線上，且n+r2=￡,兩顆行星做勻速圓周運動的半徑與行星

的質量成反比，即號，與星體運動的線速度成反比。

m2ri—

⑤若在雙星模型中，圖中乙、機1、機2、G為已知量，雙星的運動周期7=2”/丁匚。

\1十加2

4冗2/3

⑥若雙星運動的周期為T,雙星之間的距離為L,G已知，雙星的總質量加1+加2=爺仔，即雙星系統(tǒng)

的周期的平方與雙星間距離的三次方之比只與雙星的總質量有關，而與雙星個體的質量無關。

4、多星

多星定義：所研究星體的萬有引力的合力提供做圓周運動的向心力，除中央星體外，各星體的角速度

或周期相同。

5、三星模型

①如圖所示，三顆質量相等的行星，一顆行星位于中心位置不動，另外兩顆行星圍繞它做圓周運動。

這三顆行星始終位于同一直線上，中心行星受力平衡。運轉的行星由其余兩顆行星的引力提供向心力：誓

+舞=機小兩行星轉動的方向相同，周期、角速度、線速度的大小相等。

②如圖所示，三顆質量相等的行星位于一正三角形的頂點處，都繞三角形的中心做圓周運動。每顆行

星運行所需向心力都由其余兩顆行星對其萬有引力的合力來提供。詈x2xcos30°=:也其中L=2n=os30。。

三顆行星轉動的方向相同，周期、角速度、線速度的大小相等。

①如下圖所示，四顆質量相等的行星位于正方形的四個頂點上，沿外接于正方形的圓軌道做勻速圓周

運動，誓x2xcos45。+匿=加由其中『尊。四顆行星轉動的方向相同，周期、角速度、線速度的大

小相等。

②如下圖所示，三顆質量相等的行星位于正三角形的三個頂點，另一顆恒星位于正三角形的中心。點，

三顆行星以。點為圓心，繞正三角形的外接圓做勻速圓周運動。察><2xcos30°+烏羅=.。其中L=2rcos

30%外圍三顆行星轉動的方向相同，周期、角速度、線速度的大小均相等。（其中一種是四顆質量相等的

恒星位于正方形的四個頂點上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運動；另一種是三顆恒星始終位

于正三角形的三個頂點上，另一顆位于中點。，外圍三顆星繞。做勻速圓周運動。）

二、解題模板

1、解題思路

2、注意問題

由于雙星和該固定點總保持三點共線，所以在相同時間內轉過的角度必相等，即雙星做勻速圓周運動

的角速度必相等，因此周期也必然相同。

由于每顆星的向心力都是由雙星間相互作用的萬有引力提供的，因此大小必然相等，由凡77a2可得

1m2rm,!r

rx一,可得八=——二—L,r2=———L,即固定點離質量大的星較近。

m+m2mx+m.

列式時須注意：萬有引力定律表達式中的「表示雙星間的距離，按題意應該是￡,而向心力表達式中的

廠表示它們各自做圓周運動的半徑，在本題中為八、r2,千萬不可混淆。

當我們只研究地球和太陽系統(tǒng)或地球和月亮系統(tǒng)時（其他星體對它們的萬有引力相比而言都可以忽略

不計），其實也是一個雙星系統(tǒng)，只是中心星球的質量遠大于環(huán)繞星球的質量，因此固定點幾乎就在中心

星球的球心。可以認為它是固定不動的。

多顆行星在同一軌道繞同一點做勻速圓周運動，每顆行星做勻速圓周運動所需的向心力由其它各個行

星對該行星的萬有引力的合力提供。

每顆行星轉動的方向相同，運行周期、角速度和線速度大小相等。

注意利用幾何知識求半徑。

3、解題方法

①雙星或多星的特點、規(guī)律，確定系統(tǒng)的中心以及運動的軌道半徑。

②星體的向心力由其他天體的萬有引力的合力提供。

③星體的角速度相等。

④星體的軌道半徑不是天體間的距離。要利用幾何知識，尋找兩者之間的關系，正確計算萬有引力和

向心力。

@掇隹三用

|（2024?廣東?模擬預測）某雙星系統(tǒng)中A、B兩星球的質量都是他，相距3它們正圍繞兩者連

線上某一點做勻速圓周運動。實際觀測該系統(tǒng)的周期T要小于按照力學理論計算出的周期理論值心，且

9k于是有學者猜測這可能是受到了一顆未發(fā)現的星球C的影響，并認為星球C位于星球A、B

的連線正中間，相對星球A、B靜止。引力常量為G。求：

（1）A、B兩星球組成的雙星系統(tǒng)周期理論值”的表達式；

（2）星球C的質量（用瓦機表示）。

思路分析

第一問的思路：

題目為雙星模型，萬有!■根據雙星的運動規(guī)律即可

引力提供向心力?■求出周期的表達式

第二問的思路:

|（2024?廣東?階段練習）由三顆星體構成的系統(tǒng)，忽略其他星體對它們的作用，存在著一種運動

形式：三顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個頂點上，繞某一共同的圓心在

三角形所在的平面內做角速度相等的圓周運動，如圖所示。己知星體A的質量為4僧，星體B、C的質量均

為m,三角形邊長為d。求：

（1）星體A所受的合力大小”;

（2）星體A、B、C的向心加速度大小之比%A：a”B：a“c。

【詳解】（1）設星體A受到星體B、C的引力大小分別為《A、或A，分析如圖所示，由幾何關系知

FBA=FCA

又

k4〃，

%=G丁

由矢量合成有

FA=2^Acos30°

則二者的合力大小

4石G病

設星體8所受的合力為心，正交分解心，有

%=0cos60°+%=十

%=%sin60°=尊d

則

~?Gm2

6=J凡」+/

d2

則

.._尸4.FB,取

解得

%人："：金="7：7

@梭板演秣

1.（2024?北京海淀?一模）1610年，伽利略用他制作的望遠鏡發(fā)現了木星的四顆主要衛(wèi)星。根據觀察，他

將其中一顆衛(wèi)星P的運動視為一個振幅為A、周期為T的簡諧運動，并據此推測，他觀察到的衛(wèi)星振動是

衛(wèi)星圓周運動在某方向上的投影。如圖所示，是伽利略推測的衛(wèi)星尸運動的示意圖，在尤Oy平面內，質量

為相的衛(wèi)星P繞坐標原點。做勻速圓周運動。已知引力常量為G,不考慮各衛(wèi)星之間的相互作用。

（1）若認為木星位于坐標原點。，根據伽利略的觀察和推測結果:

①寫出衛(wèi)星P做圓周運動的向心力大小尸的表達式。

②求木星的質量Mo

③物體做簡諧運動時，回復力應該滿足聲-依。請據此證明：衛(wèi)星尸繞木星做勻速圓周運動在x軸上的投

影是簡諧運動。

（2）若將木星與衛(wèi)星尸視為雙星系統(tǒng)，彼此圍繞其連線上的某一點做勻速圓周運動，計算出的木星質量為

M'a請分析比較（1）②中得出的質量底與時的大小關系。

A;②加。=尤￡；③見解析；（2）M'>M0

GT

【詳解】（1）①衛(wèi)星P做圓周運動的向心力大小P的表達式

尸=92ym"A

T2

②根據

G乎=庠4

得木星的質量

4萬2A3

%)

GT2

③如圖

4%24乃2

晶復=-m—rrcos0=-m—x=-kx

則衛(wèi)星P繞木星做勻速圓周運動在x軸上的投影是簡諧運動。

（2）根據

廠M'm4/

°1rmFA

得

22

M'=4TZ-￡A

GT2

由于

A<L

則

M'>M0

2.（2024?江蘇南通?模擬預測）嫦娥六號探測器將于2024年6月登月。已知探測器在近月圓軌道運行速度

大小為v,月球半徑為凡萬有引力常量為G,不考慮月球的自轉。求：

（1）月球質量M；

（2）月球表面重力加速度大小g。

【答案】（1）M=—；（2）g=E

GR

【詳解】（1）探測器繞月球做圓周運動，萬有引力定律及牛頓第二定律得

—Mmv2

G——=m——

R2R

化簡可得月球質量

M=-----

G

（2）不考慮月球自轉的影響，月球表面的物體受到的重力等于萬有引力

G也…

將月球質量代入上式化簡可得月球表面的重力加速度

V2

3.（2024?廣東?階段練習）若宇航員登上月球后，在月球表面做了一個實驗：將一片羽毛和一個鐵錘從同

一高度由靜止同時釋放，二者幾乎同時落地，若羽毛和鐵錘是從高度為〃處下落，經時間/落到月球表面。

已知引力常量為G,月球的半徑為R。（AR,不考慮月球自轉的影響）求：

（1）月球表面的自由落體加速度大小g月；

（2）月球的質量

（3）月球的第一宇宙速度；

（4）月球的平均密度夕。

【答案】（1）辛（2）槳；（3）A[ihR,-3h

；⑷2?RG產

【詳解】（1）月球表面附近的物體做自由落體運動

z12

解得

2h

g月二產

（2）不考慮月球自轉的影響，有

「Mm

G言=帆？月

解得

“2hR,

M=b

（3）由第一宇宙速度的物理意義為

-Mmv2

G——=m——

R2R

解得

[2hR

V=^J—

（4）月球的體積為

V=-^3

3

平均密度為

M

p=-

V

解得

3h

p=----------

2兀RGt°

4.（2024?江蘇南通?三模）兩顆相距較遠的行星A、B的半徑分別為反、RB，且T=2RA，距行星中心r

處的衛(wèi)星圍繞行星做勻速圓周運動的線速度的平方F隨r變化的關系如圖所示。行星可看作質量分布均勻

的球體，忽略行星的自轉和其他星球的影響。

（1）求行星A、B的密度之比0A：0B；

（2）假設有相同的人形機器人在行星A、B表面的水平地面上從肩位水平射出相同的鉛球，在初速度相同

的情況下，求鉛球射程的比值乙：/。

【答案】（1）0A：0B=4：1；（2）A：4=1：應

【詳解】（1）設質量為根的衛(wèi)星繞行星做圓周運動