高中排列組合試題及答案姓名：____________________

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20題）

1.從數(shù)字1到9中任取三個(gè)不同的數(shù)字，組成一個(gè)三位數(shù)，則不同的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是：

A.36B.72C.144D.216

2.若集合A中有m個(gè)元素，集合B中有n個(gè)元素，則集合A和集合B的笛卡爾積中元素的個(gè)數(shù)是：

A.m+nB.mnC.m-nD.2mn

3.在5個(gè)不同的球中取出3個(gè)球，不同的取法共有：

A.5B.10C.15D.20

4.從1到10中任取5個(gè)不同的數(shù)字，能組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是：

A.5040B.2520C.504D.252

5.在5個(gè)不同的球中取出3個(gè)球，取出的球可以是任意3個(gè)，不同的取法共有：

A.5B.10C.15D.20

6.若集合A中有m個(gè)元素，集合B中有n個(gè)元素，且A∩B中有k個(gè)元素，則A∪B中有多少個(gè)元素？

A.m+n-kB.m+n+kC.m-n+kD.m-n-k

7.在5個(gè)不同的球中取出3個(gè)球，取出的球必須包含某個(gè)特定的球，不同的取法共有：

A.4B.8C.10D.16

8.從1到10中任取5個(gè)不同的數(shù)字，能組成有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是：

A.5040B.2520C.504D.252

9.在5個(gè)不同的球中取出3個(gè)球，取出的球必須包含某個(gè)特定的球，不同的取法共有：

A.4B.8C.10D.16

10.若集合A中有m個(gè)元素，集合B中有n個(gè)元素，則A∩B中有多少個(gè)元素？

A.m+n-kB.m+n+kC.m-n+kD.m-n-k

11.從1到10中任取5個(gè)不同的數(shù)字，能組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是：

A.5040B.2520C.504D.252

12.在5個(gè)不同的球中取出3個(gè)球，取出的球可以是任意3個(gè)，不同的取法共有：

A.5B.10C.15D.20

13.若集合A中有m個(gè)元素，集合B中有n個(gè)元素，則集合A和集合B的笛卡爾積中元素的個(gè)數(shù)是：

A.m+nB.mnC.m-nD.2mn

14.在5個(gè)不同的球中取出3個(gè)球，取出的球必須包含某個(gè)特定的球，不同的取法共有：

A.4B.8C.10D.16

15.從1到10中任取5個(gè)不同的數(shù)字，能組成有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是：

A.5040B.2520C.504D.252

16.若集合A中有m個(gè)元素，集合B中有n個(gè)元素，且A∩B中有k個(gè)元素，則A∪B中有多少個(gè)元素？

A.m+n-kB.m+n+kC.m-n+kD.m-n-k

17.在5個(gè)不同的球中取出3個(gè)球，取出的球可以是任意3個(gè)，不同的取法共有：

A.5B.10C.15D.20

18.從1到10中任取5個(gè)不同的數(shù)字，能組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是：

A.5040B.2520C.504D.252

19.若集合A中有m個(gè)元素，集合B中有n個(gè)元素，則集合A和集合B的笛卡爾積中元素的個(gè)數(shù)是：

A.m+nB.mnC.m-nD.2mn

20.在5個(gè)不同的球中取出3個(gè)球，取出的球必須包含某個(gè)特定的球，不同的取法共有：

A.4B.8C.10D.16

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.排列組合中，如果事件A和事件B不可能同時(shí)發(fā)生，那么它們的和事件A∪B的概率等于事件A的概率加上事件B的概率。（）

2.在排列問題中，如果有重復(fù)元素，則排列數(shù)是所有元素的全排列數(shù)除以重復(fù)元素的全排列數(shù)。（）

3.組合問題中，順序不重要，所以兩個(gè)元素的組合與這兩個(gè)元素交換順序后仍然是一個(gè)有效的組合。（）

4.在組合問題中，如果從n個(gè)不同元素中取出k個(gè)元素的組合數(shù)等于從n-k個(gè)元素中取出k個(gè)元素的組合數(shù)，那么n和k滿足n=k。（）

5.從n個(gè)不同的球中取出r個(gè)球，如果沒有放回地取出，那么取出的球是有序的。（）

6.在排列問題中，如果有重復(fù)元素，則排列數(shù)是所有元素的全排列數(shù)除以重復(fù)元素的全排列數(shù)乘以重復(fù)元素的排列數(shù)。（）

7.組合問題中，從n個(gè)不同元素中取出k個(gè)元素的組合數(shù)與從n-k個(gè)元素中取出k個(gè)元素的組合數(shù)相等。（）

8.如果從n個(gè)不同元素中取出r個(gè)元素的組合數(shù)是C(n,r)，那么從n個(gè)不同元素中取出r個(gè)元素的排列數(shù)是C(n,r)乘以r!。（）

9.在組合問題中，從n個(gè)不同元素中取出k個(gè)元素的組合數(shù)等于從n個(gè)不同元素中取出k個(gè)元素的排列數(shù)除以k!。（）

10.如果事件A和事件B互斥，那么它們的和事件A∪B的概率等于事件A的概率加上事件B的概率再減去1。（）

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.簡述排列和組合的基本區(qū)別。

2.解釋組合數(shù)C(n,k)的含義及其計(jì)算公式。

3.如何計(jì)算在有重復(fù)元素的排列問題中的排列數(shù)？

4.在求解排列組合問題時(shí)，如何判斷是使用排列公式還是組合公式？

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述在解決排列組合問題時(shí)，如何處理元素重復(fù)的情況，并舉例說明。

2.分析排列組合問題在實(shí)際生活中的應(yīng)用，舉例說明其在數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)等領(lǐng)域的具體應(yīng)用場景。

試卷答案如下：

一、單項(xiàng)選擇題

1.B.72

解析思路：從9個(gè)數(shù)字中取3個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)，第一位有9種選擇，第二位有8種選擇，第三位有7種選擇，因此總共有9×8×7=504種組合，但由于三位數(shù)的順序可以任意，所以實(shí)際排列數(shù)為504/3!（因?yàn)槊總€(gè)三位數(shù)可以旋轉(zhuǎn)3!種方式得到不同的順序），即504/6=84種不同的三位數(shù)。

2.B.mn

解析思路：笛卡爾積是由兩個(gè)集合的所有可能的配對(duì)組成的集合，所以如果集合A有m個(gè)元素，集合B有n個(gè)元素，那么它們的笛卡爾積將有m×n個(gè)元素。

3.C.15

解析思路：從5個(gè)不同的球中取出3個(gè)球，可以通過組合公式C(5,3)計(jì)算，即5!/(3!×(5-3)!)=10，但由于取出的球是無序的，所以實(shí)際組合數(shù)為10/3!=15種。

4.A.5040

解析思路：從1到10中任取5個(gè)不同的數(shù)字，首先選擇第一個(gè)數(shù)字有10種可能，第二個(gè)數(shù)字有9種可能，以此類推，直到第五個(gè)數(shù)字有6種可能。因此，總共有10×9×8×7×6=30240種可能，但由于五位數(shù)的順序可以任意，所以實(shí)際排列數(shù)為30240/5!=5040種。

5.C.15

解析思路：與第三題類似，從5個(gè)不同的球中取出3個(gè)球，可以通過組合公式C(5,3)計(jì)算，即5!/(3!×(5-3)!)=10，但由于取出的球是無序的，所以實(shí)際組合數(shù)為10/3!=15種。

6.A.m+n-k

解析思路：集合A和集合B的并集A∪B包含所有在A或B中的元素，因此元素總數(shù)為A的元素?cái)?shù)加上B的元素?cái)?shù)減去A和B的交集元素?cái)?shù)，即m+n-k。

7.A.4

解析思路：如果必須包含某個(gè)特定的球，那么首先選擇這個(gè)特定的球有1種方法，然后從剩余的4個(gè)球中選擇2個(gè)球，有C(4,2)種方法，即4!/(2!×(4-2)!)=6種方法，但由于取出的球是無序的，所以實(shí)際組合數(shù)為6/2!=3種，因此總共有1×3=3種不同的取法。

8.D.252

解析思路：從1到10中任取5個(gè)不同的數(shù)字，首先選擇第一個(gè)數(shù)字有10種可能，第二個(gè)數(shù)字有9種可能，以此類推，直到第五個(gè)數(shù)字有6種可能。因此，總共有10×9×8×7×6=30240種可能，但由于五位數(shù)的順序可以任意，所以實(shí)際排列數(shù)為30240/5!=5040種。但是，這包括了所有可能的數(shù)字組合，包括有重復(fù)數(shù)字的情況。因此，需要從總排列數(shù)中減去有重復(fù)數(shù)字的組合數(shù)。有重復(fù)數(shù)字的組合數(shù)是從剩余的5個(gè)數(shù)字中選擇4個(gè)數(shù)字，有C(5,4)種方法，即5!/(4!×(5-4)!)=5種方法，但由于五位數(shù)的順序可以任意，所以實(shí)際排列數(shù)為5/4!=5種，因此有重復(fù)數(shù)字的組合數(shù)為5040-5=5035種。

9.A.4

解析思路：與第七題類似，如果必須包含某個(gè)特定的球，那么首先選擇這個(gè)特定的球有1種方法，然后從剩余的4個(gè)球中選擇2個(gè)球，有C(4,2)種方法，即4!/(2!×(4-2)!)=6種方法，但由于取出的球是無序的，所以實(shí)際組合數(shù)為6/2!=3種，因此總共有1×3=3種不同的取法。

10.A.m+n-k

解析思路：與第六題相同，集合A和集合B的并集A∪B包含所有在A或B中的元素，因此元素總數(shù)為A的元素?cái)?shù)加上B的元素?cái)?shù)減去A和B的交集元素?cái)?shù)，即m+n-k。

二、判斷題

1.×

解析思路：事件A和事件B不可能同時(shí)發(fā)生時(shí)，它們的和事件A∪B的概率等于事件A的概率加上事件B的概率減去事件A和事件B同時(shí)發(fā)生的概率。

2.×

解析思路：排列問題中，如果有重復(fù)元素，則排列數(shù)是所有元素的全排列數(shù)除以重復(fù)元素的全排列數(shù)乘以重復(fù)元素的選擇數(shù)。

3.√

解析思路：組合問題中，順序不重要，所以兩個(gè)元素的組合與這兩個(gè)元素交換順序后仍然是一個(gè)有效的組合。

4.×

解析思路：在組合問題中，從n個(gè)不同元素中取出k個(gè)元素的組合數(shù)等于從n-k個(gè)元素中取出k個(gè)元素的組合數(shù)，但這并不意味著n和k必須相等。

5.√

解析思路：從n個(gè)不同的球中取出r個(gè)球，如果沒有放回地取出，那么取出的球是有序的，因?yàn)槊看稳∏蚨紩?huì)改變剩余球的數(shù)量。

6.×

解析思路：排列問題中，如果有重復(fù)元素，則排列數(shù)是所有元素的全排列數(shù)除以重復(fù)元素的全排列數(shù)乘以重復(fù)元素的選擇數(shù)。

7.√

解析思路：在組合問題中，從n個(gè)不同元素中取出k個(gè)元素的組合數(shù)等于從n-k個(gè)元素中取出k個(gè)元素的組合數(shù)。

8.×

解析思路：如果從n個(gè)不同元素中取出r個(gè)元素的組合數(shù)是C(n,r)，那么從n個(gè)不同元素中取出r個(gè)元素的排列數(shù)是C(n,r)乘以r!，但這個(gè)陳述是錯(cuò)誤的，因?yàn)榕帕袛?shù)是C(n,r)乘以r!。

9.√

解析思路：在組合問題中，從n個(gè)不同元素中取出k個(gè)元素的組合數(shù)等于從n個(gè)不同元素中取出k個(gè)元素的排列數(shù)除以k!。

10.×

解析思路：如果事件A和事件B互斥，那么它們的和事件A∪B的概率等于事件A的概率加上事件B的概率，但不減去1。

三、簡答題

1.排列和組合的基本區(qū)別在于順序是否重要。排列問題中順序重要，即不同順序的排列被視為不同的排列；而組合問題中順序不重要，即不同順序的組合被視為相同的組合。

2.組合數(shù)C(n,k)表示從n個(gè)不同元素中取出k個(gè)元素的不同組合方式的數(shù)量。其計(jì)算公式為C(n,k)=n!/(k!(n-k)!），其中n!表示n的階乘，即n×(n-1)×(n-2)×...×1。

3.在有重復(fù)元素的排列問題中，首先計(jì)算所有元素的全排列數(shù)，然后除以重復(fù)元素的全排列數(shù)乘以重復(fù)元素的選擇數(shù)。例如，如果有3個(gè)相同的球和2個(gè)不同的球，要排列成一行，總排列數(shù)為5!，但由于3個(gè)相同的球可以互換位置，所以需要除以3!，最終排列數(shù)為5!/3!。

4.在求解排列組合問題時(shí)，判斷使用排列公式還是組合公式的方法是：如果問題涉及到順序，即不同順序的結(jié)果被視為不同，則使用排列公式；如果問題不涉及順序，即不同順序的結(jié)果被視為相同，則使用組合公式。

四、論述題

1.在解決排列組合問題時(shí)，處理元素重復(fù)的情況通常涉及使用排列公