專題15排列組合

——題型_：相鄰問題0、易錯點：糕嶼不相鄰問題處理方法不當(dāng)致誤

——題型二：不相鄰問題易錯點：??捆綁法"中忽略了"內(nèi)髀例"或"整體列”

科的?。萁M合?-------題型三：排列組合綜合軟、易措點：忽懈例數(shù)、組合數(shù)公式的隱含條件

——題型四：加法與乘法原理3、易錯點：實際問蝦清楚導(dǎo)致計算或致誤

——題型五：相同元素與不同元素分配問題<3、易丁點：均勻分組與不均勻分組混淆致謖

易錯點一：相鄰與不相鄰問題處理方法不當(dāng)致誤（相鄰問題）

相鄰問題

技巧總結(jié)

相鄰問題

1、思路：對于相鄰問題，一般采用“捆綁法”解決，即將相鄰的元素看做是一個整體，在于其他元素放在一

起考慮.如果設(shè)計到順序，則還應(yīng)考慮相鄰元素的順序問題，再與其他元素放在一起進(jìn)行計算.

2、解題步驟：

第一步：把相鄰元素看作一個整體（捆綁法），求出排列種數(shù)

第二步：求出其余元素的排列種數(shù)

第三步：求出總的排列種數(shù)

易錯提醒：排列組合實際問題主要有相鄰問題和不相鄰問題。（1）相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個特殊

元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排

列）；

（2）不相鄰（相間）問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法，即先安

排好沒有限制條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間）；

三當(dāng)

例、現(xiàn)有8個人排成一排照相，其中甲、乙、丙3人不能相鄰的排法有（)

A.A/A；種B.（A；-A，A；H4）

C.A；.A；種D.（A*A：^

易錯分析：本題易出現(xiàn)的錯誤是把“甲、乙、丙3人不能相鄰”理解為“甲、乙、丙3人互不相鄰”的情況，使

結(jié)果中遺漏甲、乙、丙3人中有兩人相鄰的情況.

正解：在8個人全排列的方法數(shù)中減去甲、乙、丙全相鄰的方法數(shù)，就得到甲、乙、丙3人不相鄰的方法

數(shù)，即A；-A〉A(chǔ)；,故選B.

易錯警示：處理相鄰問題的基本方法是“捆綁法”，即把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個元素，然后與其

余元素全排列，最后“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列.處理不相鄰問題的基本方法是“插空法”，即

先安排好沒有限制條件的元素，然后把有限制條件的元素

變式1：加工某種產(chǎn)品需要5道工序，分別為A,B,C,D,E,其中工序A,8必須相鄰，工序C,。不能

相鄰，那么有（）種加工方法.

A.24B.32C.48D.64

解：工序A,B必須相鄰，可看作一個整體，工序C,D不能相鄰，所以先對AB,E工序進(jìn)行排序，有&=2

種方法，內(nèi)部排序，有段=2種方法，排好之后有三個空可以把工序C,。插入，共用=6種情況，所

以一共有2x2x6=24種可能性故選：A

變式2：中國航天工業(yè)迅速發(fā)展，取得了輝煌的成就，使我國躋身世界航天大國的行列.中國的目標(biāo)是到2030

年成為主要的太空大國.它通過訪問月球，發(fā)射火星探測器以及建造自己的空間站，擴(kuò)大了太空計劃.在航天

員進(jìn)行的一項太空實驗中，要先后實施6個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序B和C

實施時必須相鄰，請問實驗順序的編排方法共有（）

A.24種B.48種C.96種D.144種

解：首先將程序8和C捆綁在一起，再和除程序A之外的3個程序進(jìn)行全排列，最后將程序A排在第一步

或最后一步，根據(jù)分步計數(shù)原理可得=2x24x2=96種.故選：C

變式3：為推動黨史學(xué)習(xí)教育各項工作扎實開展，營造“學(xué)黨史、悟思想、辦實事、開新局”的濃厚氛圍，某

校黨委計劃將中心組學(xué)習(xí)、專題報告會、黨員活動日、主題班會、主題團(tuán)日這五種活動分5個階段安排，

以推動黨史學(xué)習(xí)教育工作的進(jìn)行，若主題班會、主題團(tuán)日這兩個階段相鄰，且中心組學(xué)習(xí)必須安排在前兩

階段并與黨員活動日不相鄰，則不同的安排方案共有（）

A.10種B.12種C.16種D.24種

解：如果中心組學(xué)習(xí)在第一階段，主題班會、主題團(tuán)日在第二、三階段，則其它活動有2種方法；主題班

會、主題團(tuán)日在第三、四階段，則其它活動有1種方法；主題班會、主題團(tuán)日在第四、五階段，則其它活

動有1種方法，則此時共有段（2+1+1）=8種方法;

如果中心組學(xué)習(xí)在第二階段，則第一階段只有1種方法，后面的三個階段有段=2種方法.綜合得不同的安

排方案共有10種.故選:A

1.2023年杭州亞運會期間，甲、乙、丙3名運動員與5名志愿者站成一排拍照留念，若甲與乙相鄰、丙不

排在兩端，則不同的排法種數(shù)有（）

A.1120B.7200C.8640D.14400

【答案】B

【分析】相鄰問題用捆綁法看成一個整體，丙不排在兩端可先排好其他人后再排丙.

【詳解】甲與乙相鄰有A；種不同的排法，將甲與乙看作是一個整體，與除丙外的5人排好，有A；種不同的

排法，

再將丙排入隔開的不在兩端的5個空中，有C；種不同的排法，

所以共有A；A：C；=7200種不同的排法.

故選：B.

2.六名同學(xué)暑期相約去都江堰采風(fēng)觀景，結(jié)束后六名同學(xué)排成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相

鄰，則不同的排法共有（）

A.48種B.72種C.120種D.144種

【答案】D

【分析】甲和乙相鄰利用捆綁法，丙和丁不相鄰用插空法，即先捆甲和乙，再與丙和丁外的兩人共“3人”排

列，再插空排丙和丁.

【詳解】甲和乙相鄰，捆綁在一起有A；種，再與丙和丁外的兩人排列有A；種，

再排丙和丁有A：種，故共有A；A；A：=144種排法.

故選：D.

3.把二項式的所有展開項重新排列，記有理項都相鄰的概率為P,有理項兩兩不相鄰的概率為q,

則"=（）

q

A.5B.-C.4D.-

54

【答案】A

【分析】根據(jù)二項式的展開公式可得有5項有理項，4項無理項，從而可得，、q的值，再代入求解即可得

答案.

4--

【詳解】解：Crx2,其中0VY8,reN,

當(dāng)r=0,2,4,6,8時為有理項，故有5項有理項，4項無理項,

AS.A5

A4-A5p

故"X‘q=”，故—==5.

A；qA人：：Y

故選:A.

4.A,B,C,D,E,尸六人站成一排，滿足A,8相鄰，C,。不相鄰的不同站法的種數(shù)為（）

A.48B.96C.144D.288

【答案】C

【分析】根據(jù)相鄰捆綁法和不相鄰問題插空法即可由排列數(shù)計算求解.

【詳解】由于48相鄰，所以先將A8看作一個整體捆綁起來與E,尸進(jìn)行全排列,

然后將C,。插入到已排好隊的兩兩之間以及首尾的空隙中即可，

故共有A：A；A；=144,

故選：C

5.2023年5月21日，中國羽毛球隊在2023年蘇迪曼杯世界羽毛球混合團(tuán)體錦標(biāo)賽決賽中以總比分3:0戰(zhàn)

勝韓國隊，實現(xiàn)蘇迪曼杯三連冠.甲、乙、丙、丁、戊五名球迷賽后在現(xiàn)場合影留念，其中甲、乙均不能

站左端，且甲、丙必須相鄰，則不同的站法共有（）

A.18種B.24種C.30種D.36種

【答案】C

【分析】分別計算丙站在左端時和丙不站在左端時的情況，即可得到答案.

【詳解】當(dāng)丙站在左端時，甲、丙必須相鄰，其余人全排列，有A；=6種站法；

當(dāng)丙不站在左端時，從丁、戊兩人選一人站左邊，再將甲、丙捆綁，與余下的兩人全排，

有A；A；A：=24種站法，

所以一共有6+24=30種不同的站法.

故選：C

6.為配合垃圾分類在學(xué)校的全面展開，某學(xué)校舉辦了一次垃圾分類知識比賽活動.高一、高二、高三年級分別

有1名、2名、3名同學(xué)獲一等獎.若將上述獲一等獎的6名同學(xué)排成一排合影，要求同年級同學(xué)排在一起，則

不同的排法共有（）

A.18種B.36種C.72種D.144種

【答案】C

【分析】根據(jù)相鄰問題捆綁法即可由全排列求解.

【詳解】由題意可得A；A；A；A；=72,

故選:C

7.甲、乙兩個家庭周末到附近景區(qū)游玩，其中甲家庭有2個大人和2個小孩，乙家庭有2個大人和3個小

孩，他們9人在景區(qū)門口站成一排照相，要求每個家庭的成員要站在一起，且同一家庭的大人不能相鄰，

則所有不同站法的種數(shù)為（）

A.144B.864C.1728D.2880

【答案】C

【分析】利用捆綁以及插空法求得正確答案.

【詳解】甲家庭的站法有A；A；=12種，乙家庭的站法有A：A：=72種，

最后將兩個家庭的整體全排列，有A；=2種站法，

則所有不同站法的種數(shù)為12x72x2=1728.

故選：C

8.某駕校6名學(xué)員站成一排拍照留念，要求學(xué)員A和B不相鄰，則不同的排法共有（）

A.120種B.240種C.360種D.480種

【答案】D

【分析】正難則反，首先我們可以求出6名學(xué)員隨機站成一排的全排列數(shù)即A：,然后求學(xué)員A和B相鄰的

排列數(shù)，兩數(shù)相減即可.

【詳解】一方面：若要求學(xué)員A和8相鄰，則可以將學(xué)員A和8捆綁作為一個“元素”，此時一共有5個元素，

但注意到學(xué)員A和B可以互換位置，所以學(xué)員A和8相鄰一共有A，A；=2xlx5x4x3x2xl=240種排法.

另一方面：6名學(xué)員隨機站成一排的全排列數(shù)為A：=6x5x4x3x2x1=720種排法.

結(jié)合以上兩方面：學(xué)員A和B不相鄰的不同的排法共有A；-A；?A；=720-240=480種排法.

故選：D.

9.某高鐵動車檢修基地庫房內(nèi)有共5條并行的停車軌道線，每條軌道線只能停一列車，現(xiàn)有動車01,02、

高鐵01,02,03共五列車入庫檢修，若已知兩列動車安排在相鄰軌道，則動車01停放在A道的概率為（）

A.—B.-C.—D.—

45810

【答案】C

【分析】根據(jù)條件概型以及排列數(shù)的計算求得正確答案.

【詳解】記"="兩動車相鄰”，N="動車01停在A道”，

/,、n（MN）A；

則「仙1

8

故選：C

10.班長邀請A四位同學(xué)參加圓桌會議.如圖，班長坐在⑤號座位，四位同學(xué)隨機坐在①②③④四

個座位，則A,3兩位同學(xué)座位相鄰的概率是（）

①

【答案】A

【分析】先計算出A,四位同學(xué)參加圓桌會議的情況數(shù)，再計算出A3兩位同學(xué)座位相鄰的情況，從

而計算出概率.

【詳解】四位同學(xué)參加圓桌會議，共有A：=24種情況,

其中A,8兩位同學(xué)可坐在①②，②③，③④三個位置，并可進(jìn)行互換位置，有3A；=6種情況,

CO兩位同學(xué)坐在其余兩個位置，且可互換，有A；=2種情況,

故A,3兩位同學(xué)座位相鄰的情況有6x2=12種情況，

121

所以A,2兩位同學(xué)座位相鄰的概率為—

242

故選：A

11.將3名男生，2名女生排成一排，要求男生甲必須站在中間，2名女生必須相鄰的排法種數(shù)有（）

A.4種B.8種C.12種D.48種

【答案】B

【分析】根據(jù)分步乘法原理結(jié)合排列數(shù)求解即可.

【詳解】先讓甲站好中間位置，再讓2名女生相鄰有兩種選法，最后再排剩余的2名男生，

根據(jù)分步乘法原理得，有2xA；xA；=8種不同的排法.

故選：B

12.5名同學(xué)排成一排，其中甲、乙、丙三人必須排在一起的不同排法有（）

A.70種B.72種C.36種D.12種

【答案】C

【分析】相鄰問題用捆綁法即可得解.

【詳解】甲、乙、丙先排好后視為一個整體與其他2個同學(xué)進(jìn)行排列，

則共有A閨=36種排法.

故選：C

13.現(xiàn)有2名男生和3名女生，在下列不同條件下進(jìn)行排列，則（）

A.排成前后兩排，前排3人后排2人的排法共有120種

B.全體排成一排，女生必須站在一起的排法共有36種

C.全體排成一排，男生互不相鄰的排法共有72種

D.全體排成一排，甲不站排頭，乙不站排尾的排法共有72種

【答案】ABC

【分析】根據(jù)題意，利用排列數(shù)公式，以及捆綁法、插空法，以及分類討論，結(jié)合分類計數(shù)原理，逐項判

定，即可求解.

【詳解】由題意知，現(xiàn)有2名男生和3名女生，

對于A中，排成前后兩排，前排3人后排2人，則有A：A；=120種排法，所以A正確；

對于B中，全體排成一排，女生必須站在一起，則有A；A：=36種排法，所以B正確；

對于C中，全體排成一排，男生互不相鄰，則有A：A：=72種排法，所以C正確；

對于D中，全體排成一排，甲不站排頭，乙不站排尾

可分為兩類：（1）當(dāng)甲站在中間的三個位置中的一個位置時，有A；=3種排法，

此時乙有A；=3種排法，共有A；A閨=54種排法；

（2）當(dāng)甲站在排尾時，甲只有一種排法，此時乙有A；=4種排法，

共有A：A；=24種排法，綜上可得，共有54+24=78種不同的排法，所以D錯誤.

故選：ABC.

14.甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（）

A.若甲、乙、丙按從左到右的順序排列，則不同的排法有12種

B.若甲、乙不相鄰，則不同的排法有72種

C.若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，則不同的排法共有72種

D.如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，則不同的排法有24種

【答案】BD

【分析】A選項，定序問題采用倍縮法進(jìn)行求解；B選項，采用插空法進(jìn)行求解；C選項，分兩種情況，若

最左端排乙，最左端不排乙，分別求出兩種情況下的排法，相加即可；D選項，使用捆綁法進(jìn)行求解；

A5

【詳解】對于A,甲乙丙按從左到右的順序排列的排列有m=20種情況，故A錯誤；

￡

對于B,先安排丙，丁，戊三人，有A；=6種情況，再將甲乙兩人插空，則有A；=12種情況，故甲乙不相鄰

的排法種數(shù)為6x12=72種情況，故B正確；

對于C,若最左端排乙，此時其余四人可進(jìn)行全排列，故有A：=24種；若最左端不排乙，則最左端只能從

丙，T,戊選出1人,又乙不能在最右端，則有A；A；A；=54種情況，則共有24+54=78種站法，故C錯誤；

對于D,將甲與乙捆綁，看做一個整體且固定順序，再與其他三人站成一排，故有A：=24種，故D正確;

故選：BD

15.甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排進(jìn)行列隊訓(xùn)練，則（）

A.甲乙不相鄰的不同排法有48種

B.甲乙中間恰排一個人的不同排法有36種

C.甲乙不排在兩端的不同排法有36種

D.甲乙丙三人從左到右由高到矮的不同排法有20種

【答案】BCD

【分析】根據(jù)排列和組合的定義、結(jié)合捆綁法逐一判斷即可.

【詳解】A：甲乙不相鄰的不同排法有A；A：=72種，所以本選項不正確；

B：甲乙中間恰排一個人的不同排法有C；A；A；=36種，所以本選項正確；

C：甲乙不排在兩端的不同排法有A；A；=36種，所以本選項正確；

D：甲乙丙三人從左到右由高到矮的不同排法有普=20種，所以本選項正確.

故選：BCD

16.某學(xué)校舉行校園歌手大賽，共有4名男生，3名女生參加，組委會對他們的出場順序進(jìn)行安排，則下列

說法正確的是（）

A.若3個女生不相鄰，則有144種不同的出場順序

B.若女生甲在女生乙的前面，則有2520種不同的出場順序

C.若4位男生相鄰，則有576種不同的出場順序

D.若學(xué)生的節(jié)目順序已確定，再增加兩個教師節(jié)目，共有72種不同的出場順序

【答案】BCD

【分析】選項A采用“插空法”，先排4名男生，形成5個空檔，將3名女生插入其中，由此可得；選項B

由女生甲在女生乙的前面與女生甲在女生乙的后面各占一半，結(jié)合4男3女的全排列求解即可；選項C先

將4位男生捆綁作為一個整體進(jìn)行全排列，然后3位女生和這個整體全排列可得；選項D采用“插空法”，

分兩次插入老師節(jié)目即可.

【詳解】若3個女生不相鄰，則有A：A；=1440種不同的出場順序，A錯誤；

若女生甲在女生乙的前面，則有3A；=2520種不同的出場順序，B正確；

若4位男生相鄰，則有A；A；=576種不同的出場順序，C正確；

若學(xué)生的節(jié)目順序確定，再增加兩個教師節(jié)目，可分為兩步，第一步，原7個學(xué)生節(jié)目形成8個空，插入1

個教師節(jié)目，有8種情況；

第二步，原7個學(xué)生節(jié)目和剛插入的1個教師節(jié)目形成9個空，再插入1個教師節(jié)目，有9種情況，

所以這兩位教師共有8x9=72種不同的出場順序，D正確.

故選：BCD.

17.某校高二年級安排甲、乙、丙三名同學(xué)到A,B,C,D,E五個社區(qū)進(jìn)行暑期社會實踐活動，每名同學(xué)只

能選擇一個社區(qū)進(jìn)行實踐活動，且多名同學(xué)可以選擇同一個社區(qū)進(jìn)行實踐活動，則下列說法正確的有（）

A.如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有61種

B.如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A,則不同的安排方法有50種

C.如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有60種

D.如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個社區(qū)，則不同的安排方法共有20種

【答案】AC

【分析】對于A,根據(jù)社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，由甲、乙、丙三名同學(xué)都有5種選擇減去有4種選擇求解；

對于B,根據(jù)同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A,有乙丙都有5種選擇求解；對于C,根據(jù)三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相

同求解；對于D,由甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個社區(qū)，捆綁再選擇求解；

【詳解】對于A,如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有53-型=61（種），故A正確；

對于B,如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A,則不同的安排方法有52=25（種），故B錯誤；

對于C,如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有5x4x3=60（種），故C正確；

對于D,甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個社區(qū)，第一步，將甲、乙視作一個整體，第二步，兩個整體挑選社區(qū)，

則不同的安排方法共有5?=25（種），故D錯誤.

故選：AC.

18.在樹人中學(xué)舉行的演講比賽中，有3名男生，2名女生獲得一等獎.現(xiàn)將獲得一等獎的學(xué)生排成一排合

影，貝U（）

A.3名男生排在一起，有6種不同排法B.2名女生排在一起，有48種不同排法

C.3名男生均不相鄰，有12種不同排法D.女生不站在兩端，有108種不同排法

【答案】BC

【分析】利用捆綁法可判斷A、B；利用插空法可判斷C；利用分步計數(shù)法可判斷D.

【詳解】解：由題意得：

對于選項A：3名男生排在一起，先讓3個男生全排后再作為一個整體和2個女生做一個全排，共有

A，A；=36種，A錯誤；

對于選項B：2名女生排在一起，先讓2個女生全排后再作為一個整體和3個男生做一個全排，共有

A，A：=48種，B正確；

對于選項C：3名男生均不相鄰，先讓3個男生全排后，中間留出兩個空位讓女生進(jìn)行插空，共有A；?A；=12

種，C正確；

對于選項D：女生不站在兩端，先從三個男生種選出兩個進(jìn)行全排后放在兩端，共有C，A；=6種，然后將

剩下的3人進(jìn)行全排后放中間，共有C，A1A；=36種，D錯誤.

故選：BC

19.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（）

A.如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種

B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種

C.甲乙不相鄰的排法種數(shù)為72種

D.甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有40種

【答案】ABC

【分析】A選項，使用捆綁法進(jìn)行求解；B選項，分兩種情況，最左端排甲和最左端排乙，分別求出兩種情

況下的排法，相加即可；C選項，采用插空法進(jìn)行求解；D選項，定序問題采用倍縮法進(jìn)行求解.

【詳解】A選項，將甲與乙捆綁，看做一個整體，與其他三人站成一排，故有A：=24種，A正確；

B選項，若最左端排甲，此時其余四人可進(jìn)行全排列，故有A：=24種，

若最左端排乙，則最右端只能從丙，丁，戊選出1人，其余三人與三個位置進(jìn)行全排列，故有C；A；=18種

選擇，

綜上：最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有24+18=42種，B正確；

C選項，先安排丙，丁，戊三人，有A；=6種情況，再將甲乙兩人插空，則有A；=12種情況，故甲乙不相鄰

的排法種數(shù)為6x12=72種情況，C正確；

D選項，甲乙丙按從左到右的順序排列的排列有冬=20種情況，D錯誤.

故選：ABC

20.（多選）把5件不同產(chǎn)品A,B,C,D,￡擺成一排，貝|（）

A.A與8相鄰有48種擺法

B.A與C相鄰有48種擺法

C.A,B相鄰又A,C相鄰，有12種擺法

D.A與8相鄰，且A與C不相鄰有24種擺法

【答案】ABC

【分析】逐個分析每個選項正確與否即可

【詳解】對于A選項：產(chǎn)品A與2相鄰，把A8作為一個元素有A：=4x3x2x1=24種方法，

而A,2可交換位置，所以有2A：=48種擺法.故A選項符合題意.

對于B選項：同A選項一樣分析可知產(chǎn)品A與C相鄰也有48種擺法.故B選項符合題意.

對于C選項:當(dāng)A3相鄰又滿足AC相鄰，

首先將產(chǎn)品4B,C捆綁起來作為一個元素并把產(chǎn)品A放在產(chǎn)品B與C之間，

注意到產(chǎn)品3與C可互換位置，所以首先排列48,C有A；=2x1=2種擺法，

把A,民C組成的整體作為一個元素和剩下的兩個元素，E進(jìn)行排列，又有A；=3x2xl=6種擺法，

所以A,8相鄰又A,C相鄰，有=2x6=12種擺法.故C選項符合題意.

對于D選項：由A選項可知A與B相鄰有48種擺法，

由C選項可知A,8相鄰又4,C相鄰有12種擺法，

因此A與8相鄰，且A與C不相鄰有48-12=36種擺法.故D選項不符合題意.

故選：ABC.

21.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)和一名老師站成一排合影留念.要求老師必須站在正中間，且甲同學(xué)不與老

師相鄰，則不同的站法種數(shù)為（）

A.A"A：B.A：YA：C.C：C；A：D.1

【答案】BCD

【分析】根據(jù)排列組合，結(jié)合相鄰問題，即可求解.

【詳解】（方法1：間接法）：四名同學(xué)全排再去掉甲與老師相鄰的情況為A：-C；A>

（方法2：直接法）：特殊元素優(yōu)先安排，先讓老師站在正中間，甲同學(xué)從兩端中任選一個位置，有

2=C：=2種站法，其余三名學(xué)生任意排列有乂=A；=6種排法，則不同站法共有"=兇乂班=2乂6=12

（種）.

或者，四名同學(xué)全排時，甲同學(xué)與老師相鄰與甲同學(xué)與老師不相鄰各占;，故有:A：.

乙2

故選:BCD.

易錯點二：“捆綁法”中忽略了“內(nèi)部排列”或“整體列”

（不相鄰問題）

不相鄰問題

技巧總結(jié)

L思路：對于不相鄰問題一般采用“插空法”解決，即先將無要求的元素進(jìn)行全排列，然后將要求不相鄰的元

素插入到已排列的元素之間，最后進(jìn)行計算即可

2.解題步驟：

①先考慮不受限制的元素的排列種數(shù)

②再將不相鄰的元素插入到已排列元素的空當(dāng)種（插空法），求出排列種數(shù)

③求出總的排列種數(shù)

易錯提醒：處理相鄰問題的基本方法是“捆綁法”，即把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個元素，然后與其

余元素全排列，最后“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列.處理不相鄰問題的基本方法是“插空法”，即

先安排好沒有限制條件的元素，然后把有限制條件的元素按要求插入到排好的元素之間.但應(yīng)該注意插入

的元素之間如果也有順序，應(yīng)先進(jìn)行排列.

苣

例、有3名男生，4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法的總數(shù).

（1）全體排成一行，其中男、女生各站在一起；

（2）全體排成一行，其中男生必須排在一起.

錯解：（1）男、女生各站在一起，先把男女生各看成一個整體，分別全排列，所以共有A；xA：=144種排法；

（2）將男生看成一個整體，與女生進(jìn)行全排列即可，所以共有A1=120種排法.

錯因分析：解決此類問題時將“在一起”的進(jìn)行“捆綁”，與其他元素進(jìn)行排列即可.錯解中（1）忽略了將男

女生所看成的兩個整體進(jìn)行排列，即忽略了“整體排列”；（2）忽略了將男生進(jìn)行排列，即忽略了“內(nèi)部排列”.

正解：（1）男、女生各站在一起，先把男女生各看成一個整體，分別全排列，最后兩個整體全排列①，所

以共有人凱人卜人；=288種排法；

（2）將男生看成一個整體，先進(jìn)行內(nèi)部排列，再與女生進(jìn)行全排列即可②，所以共有A；xA；=720種排法.

變式1：為推動黨史學(xué)習(xí)教育各項工作扎實開展，營造“學(xué)黨史、悟思想、辦實事、開新局”的濃厚氛圍，某

校黨委計劃將中心組學(xué)習(xí)、專題報告會、黨員活動日、主題班會、主題團(tuán)日這五種活動分5個階段安排，

以推動黨史學(xué)習(xí)教育工作的進(jìn)行，若主題班會、主題團(tuán)日這兩個階段相鄰，且中心組學(xué)習(xí)必須安排在前兩

階段并與黨員活動日不相鄰，則不同的安排方案共有（

A.10種B.12種C.16種D.24種

解：如果中心組學(xué)習(xí)在第一階段，主題班會、主題團(tuán)日在第二、三階段，則其它活動有2種方法；主題班

會、主題團(tuán)日在第三、四階段，則其它活動有1種方法；主題班會、主題團(tuán)日在第四、五階段，則其它活

動有1種方法，則此時共有禺（2+1+1）=8種方法；

如果中心組學(xué)習(xí)在第二階段，則第一階段只有1種方法，后面的三個階段有禺=2種方法.

綜合得不同的安排方案共有10種.故選:A

變式2：甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機地排成一行，則甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的概率為（）

A.-B.-C.-D.—

54312

解：甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機地排成一行有片=120種方法，

甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的排法為先將甲、乙捆綁在一起，再與戊進(jìn)行排列，然后丙、丁從3個空中選2

個空插入，則共有號段用=2x2x3x2=24種方法，

所以甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的概率為?急4=W1，故選：A

變式3：某地元旦匯演有2男3女共5名主持人站成一排，則舞臺站位時男女間隔的不同排法共有（）

A.12種B.24種C.72種D.120種

解：先排列2名男生共有禺種排法，再將3名女生插入到3名男生所形成的空隙中，共有A；種排法，

所以舞臺站位時男女間隔的不同排法共有用禺=12種排法，故選：A.

三9

1.4名男生和3名女生排隊（排成一排）照相，下列說法正確的是（）

A.若女生必須站在一起，那么一共有A；A；種排法

B.若女生互不相鄰，那么一共有A；A：種排法

C.若甲不站最中間，那么一共有種排法

D.若甲不站最左邊，乙不站最右邊，那么一共有A；-2A：種排法

【答案】AC

【分析】分別利用捆綁法、插空法、優(yōu)先安排特殊元素法、間接法依次求解.

【詳解】選項A,利用捆綁法，將3名女生看成一個整體，其排列方式有A；種，加上4名男生一共有5個個

體，則有A；種排列方式，則由乘法原理可知一共有A；A；種排法，故A正確；

選項B,利用插空法，4名男生排成一排形成5個空，其排列方式有A：種，再將3名女生插入空中，有A；種

排列方式，則由乘法原理可知一共有A：A；種排法，故B不正確；

選項C,利用優(yōu)先安排特殊元素法，甲不站最中間,甲先從除中間之外的6個位置選一個,其選擇方式有C；種,

再將剩余的6人全排列，有A；種排列方式，則由乘法原理可知一共有C；A；種排法，故C正確；

選項D,利用間接法，3人站成一排共有A；種排法，若甲站最左邊有A：種排法，乙站最右邊有A；種排法,

甲站最左邊且乙站最右邊有A；種排法，所以甲不站最左邊，乙不站最右邊，那么一共有A；-2A：+A；種排

法，故D不正確；

故選：AC.

2.某校文藝匯演共6個節(jié)目，其中歌唱類節(jié)目3個，舞蹈類節(jié)目2個，語言類節(jié)目1個，則下列說法正確

的是（）

A.若以歌唱類節(jié)目開場，則有360種不同的出場順序

B.若舞蹈類節(jié)目相鄰，則有120種出場順序

C.若舞蹈類節(jié)目不相鄰，則有240種不同的出場順序

D.從中挑選2個不同類型的節(jié)目參加市藝術(shù)節(jié)，則有11種不同的選法

【答案】AD

【分析】根據(jù)全排列、捆綁法、插空法，結(jié)合分步與分類計數(shù)原理依次分析選項，即可判斷.

【詳解】A：從3個歌唱節(jié)目選1個作為開場，有C；=3種方法，后面的5個節(jié)目全排列，

所以符合題意的方法共有3A；=360種，故A正確；

B：將2個舞蹈節(jié)目捆綁在一起，有A；=2種方法，再與其余4個節(jié)目全排列，

所以符合題意的方法共有2A；=240,故B錯誤；

C：除了2個舞蹈節(jié)目以外的4個節(jié)目全排列，有A：=24種，再由4個節(jié)目組成的5個空插入2個舞蹈節(jié)

目，

所以符合題意的方法有24A；=480種，故C錯誤;

D：符合題意的情況可能是1個歌唱1個舞蹈、1個歌唱1個語言、1個舞蹈1個語言，

所以不同的選法共C；c；+C；C；+C；C；=11種，故D正確.

故選：AD.

3.現(xiàn)將8把椅子排成一排，4位同學(xué)隨機就座，則下列說法中正確的是（）

A.4個空位全都相鄰的坐法有120種

B.4個空位中只有3個相鄰的坐法有240種

C.4個空位均不相鄰的坐法有120種

D.4個空位中至多有2個相鄰的坐法有900種

【答案】AC

【分析】對于A,用捆綁法即可；對于B,先用捆綁法再用插空法即可；對于C,用插空法即可；對于D,

用插空法的同時注意分類即可.

【詳解】對于A,將四個空位當(dāng)成一個整體，全部的坐法：8=120種，故A對；

對于B,先排4個學(xué)生A：,然后將三個相鄰的空位當(dāng)成一個整體，

和另一個空位插入5個學(xué)生中有A：種方法，

所以一共有4&=480種，故B錯；

對于C,先排4個學(xué)生A：,4個空位是一樣的，

然后將4個空位插入4個學(xué)生形成的5個空位中有C；種，

所以一共有A：C；=120,故C對；

對于D,至多有2個相鄰即都不相鄰或者有兩個相鄰，由C可知都不相鄰的有120種，

空位兩個兩個相鄰的有：A：C；=240,

空位只有兩個相鄰的有A：C；C：=72。，

所以一共有120+240+720=1080種，故D錯；

故選：AC.

4.有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)，下列說法正確的是（）.

A.若五位同學(xué)排隊要求甲、乙必須相鄰且丙、丁不能相鄰，則不同的排法有12種

B.若五位同學(xué)排隊最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種

C.若甲、乙、丙三位同學(xué)按從左到右的順序排隊，則不同的排法有20種

D.若甲、乙、丙、丁四位同學(xué)被分配到三個社區(qū)參加志愿活動，每個社區(qū)至少一位同學(xué)，則不同的分

配方案有36種

【答案】BCD

【分析】根據(jù)相關(guān)的計數(shù)原理逐項分析.

【詳解】對于A,將甲乙捆綁有A；種方法，若戊在丙丁之間有A；排法，丙丁戊排好之后用插空法插入甲

乙，有A；種方法；

若丙丁相鄰，戊在左右兩邊有A；.A；種排法，但甲乙必須插在丙丁之間，一共有A；?A；?A；種排法，

所以總的排法有A；.A；?A：+A；.A；?A”24,故A錯誤；

對于B,若甲在最左端，有A：=24種排法，若乙在最左端，先排甲有A；=3種排法，

再排剩下的3人有A；=6,所以總共有24+3x6=42種排法，正確；

對于C,先將甲乙丙按照從左至右排好，采用插空法，先插丁有A；種，再插戊有A：種，總共有A；?A；=20

種，正確；

對于D,先分組，將甲乙丙丁分成3組有C：種分法，再將分好的3組安排在3個社區(qū)有A；種方法，共有

C：?A；=36種方法，正確;

故選：BCD.

5.現(xiàn)將9把椅子排成一排，5位同學(xué)隨機就座，則下列說法中正確的是（）

A.4個空位全都相鄰的坐法有720種

B.4個空位中只有3個相鄰的坐法有1800種

C.4個空位均不相鄰的坐法有1800種

D.4個空位中至多有2個相鄰的坐法有9000種

【答案】AC

【分析】對于A,用捆綁法即可;對于B,先用捆綁法再用插空法即可；對于C,用插空法即可；對于D,

用插空法的同時注意分類即可.

【詳解】對于A,將四個空位當(dāng)成一個整體，全部的坐法：A；=720,故A對；

對于B,先排5個學(xué)生A；,然后將三個相鄰的空位當(dāng)成一個整體，和另一個空位插入5個學(xué)生中有A；中方

法，所以一共有A：A；=3600種，故B錯;

對于C,先排5個學(xué)生A；,4個空位是一樣的，然后將4個空位插入5個學(xué)生中有C：種，

所以一共有A；C：=1800,故C對；

對于D,至多有2個相鄰即都不相鄰或者有兩個相鄰，由C可知都不相鄰的有1800種，

空位兩個兩個相鄰的有：A：C；=1800,空位只有兩個相鄰的有A：C；C；=7200,所以一共有

1800+1800+7200=10800種，故D錯；

故選：AC

6.現(xiàn)有3位歌手和4名粉絲站成一排，要求任意兩位歌手都不相鄰，則不同的排法種數(shù)可以表示為（）

A.B.A：A；

C.A；-A；A：A：-C；A；A；A：D.A：A：

【答案】CD

【分析】第一種排法：先排4名粉絲，然后利用插空法將歌手排好；第二種排法：先計算3位歌手和2位

歌手站一起的排法，然后利用總排法去掉前面兩種不滿足題意的排法即可

【詳解】第一種排法：分2步進(jìn)行：①將4名粉絲站成一排，有A：種排法；

②4人排好后，有5個空位可選，在其中任選3個，安排三名歌手，有A；種情況.

則有A：A；種排法，

第二種排法：先計算3位歌手站一起，此時3位歌手看做一個整體，有A；A；A：種排法，

再計算恰好有2位歌手站一起,此時2位歌手看做一個整體，與另外一個歌手不相鄰，有C；A；A；A：種排法，

則歌手不相鄰有A；-A；A；A：-C；A；A；A：種排法.

故選：CD

7.為弘揚我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設(shè)“禮”、“樂，“射”、“御工“書”、“數(shù)”

六門體驗課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周，則下列說法正確的是（）

A.某學(xué)生從中選2門課程學(xué)習(xí)，共有15種選法

B.課程“樂”“射”排在不相鄰的兩周，共有240種排法

C.課程“御”“書”“數(shù)”排在相鄰的三周，共有144種排法

D.課程“禮”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480種排法

【答案】ACD

【分析】根據(jù)給定條件利用組合知識可以判斷A正確；不相鄰問題利用插空法可以判斷B錯誤；相鄰問題

利用捆綁法可以判斷C正確；利用特殊位置法可以判斷D正確.

【詳解】對于A,從六門課程中選兩門的不同選法有C；=15種，A正確；

對于B,先排“禮”、“御”、“書”、“數(shù)”，再用插空法排“樂”“射”，不同排法共有"隸=480種，B錯誤；

對于C,“御”“書”“數(shù)”排在相鄰的三周，可將“御”“書”“數(shù)”視為一個元素，不同排法共有A；A：=144種，C

正確；

對于D,從中間四周中任取一周排“禮”，再排其它五門體驗課程共有4A；=48。種，D正確.

故選：ACD.

8.有甲、乙、丙等6名同學(xué)，則說法正確的是（）

A.6人站成一排，甲、乙兩人不相鄰，則不同的排法種數(shù)為480

B.6人站成一排，甲、乙、丙按從左到右的順序站位，則不同的站法種數(shù)為240

C.6名同學(xué)平均分成三組到A、B、C工廠參觀（每個工廠都有人），則有90種不同的安排方法

D.6名同學(xué)分成三組參加不同的活動，甲、乙、丙在一起，則不同的分組方法有6種

【答案】ACD

【分析】A選項，利用插空法求解甲、乙兩人不相鄰的排法；B選項，利用倍縮法求解；C選項，先進(jìn)行平

均分組，再進(jìn)行全排列，得到答案；D選項，先將除甲、乙、丙外的剩余3人分組，再進(jìn)行全排列，得到

答案.

【詳解】A選項，6人站成一排，甲、乙兩人不相鄰，先將除甲、乙外的4人進(jìn)行全排列，有A：=24種排

法，

再將甲、乙兩人插空，有A；=20種排法，則共有24x20=480種不同的排法，A正確；

B選項，6人站成一排，甲、乙、丙按從左到右的順序站位，可用倍縮法進(jìn)行求解，即當(dāng)

120種不同的站

法，B錯誤;

也

C選項,6名同學(xué)平均分成三組到A、B、C工廠參觀（每個工廠都有人），則有CcA；=90種不同的安

排方法，C正確;

D選項，6名同學(xué)分成三組參加不同的活動，甲、乙、丙在一起,

若還有一位同學(xué)與他們一組，共有C；=3種分法；

若三組同學(xué)分為3人一組，2人一組和1人一組，

先將除甲、乙、丙外的剩余3人分為兩組，有C；C；=3種分法；

共有6種分組方法，D正確.

故選：ACD

9.有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)，下列說法正確的是（）

A.若五位同學(xué)排隊要求甲、乙必須相鄰且丙、丁不能相鄰，則不同的排法有12種

B.若五位同學(xué)排隊最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種

C.若甲乙丙三位同學(xué)按從左到右的順序排隊