數(shù)學(xué)

貴州專版2025第二部分

貴州中考專題突破專題六圖形變化問(wèn)題欄目導(dǎo)航折疊變化類型一旋轉(zhuǎn)變化類型二例1折疊問(wèn)題是我們常見(jiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，它是利用圖形變化的軸對(duì)稱性質(zhì)解決的相關(guān)問(wèn)題.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們以”矩形的折疊“為主題開展了數(shù)學(xué)活動(dòng).【操作】如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)M在邊AD上，將矩形紙片ABCD沿MC所在的直線折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)D'處，MD'與BC交于點(diǎn)N.折疊變化(8年2考：2022·25，2017·15)類型一典例精析典例精析【猜想】MN＝CN.【驗(yàn)證】請(qǐng)將下列證明過(guò)程補(bǔ)充完整：∵矩形紙片ABCD沿MC所在的直線折疊，∴∠CMD＝________________.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC(矩形的對(duì)邊平行).∴∠CMD＝______________(________________________).∴________________＝______________(等量代換).∴MN＝CN(____________).∠CMD'∠MCN兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等∠CMD'∠MCN等角對(duì)等邊【應(yīng)用】如圖2，繼續(xù)將矩形紙片ABCD折疊，使AM恰好落在直線MD'上，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，折痕為ME.(1)猜想MN與EC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；解：EC＝2MN，理由如下：∵由四邊形ABEM折疊得到四邊形A'B'EM，∴∠AME＝∠A'ME.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC(矩形的對(duì)邊平行).∴∠AME＝∠MEN(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等).∴∠A'ME＝∠MEN.∴MN＝EN(等角對(duì)等邊).∵M(jìn)N＝CN，∴MN＝EN＝NC.又∵EC＝EN＋NC，∴EC＝2MN.第一步：根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠AME＝∠A'ME；第二步：根據(jù)矩形的性質(zhì)推出∠AME＝∠MEN，則∠A'ME＝∠MEN；第三步：根據(jù)等角對(duì)等邊可得MN＝EN，結(jié)合MN＝CN即可得解.(2)若CD＝2，MD＝4，求EC的長(zhǎng).

第一步：根據(jù)矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)得出∠D＝∠D'＝90°，DC＝D'C＝2，MD＝MD'＝4；第二步：設(shè)MN＝NC＝x，則ND'＝4－x，根據(jù)勾股定理求解即可.

針對(duì)訓(xùn)練

(2)問(wèn)題探究：如圖2，當(dāng)∠BAD＝45°，將△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度數(shù)，并求出此時(shí)m的最小值；

(3)拓展延伸：當(dāng)∠BAD＝30°，將△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE＝MD，根據(jù)題意在備用圖中畫出圖形，并求出m的值.

例2(2024棗莊)一副三角板分別記作△ABC和△DEF，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝DE.作BM⊥AC于點(diǎn)M，EN⊥DF于點(diǎn)N，如圖1.旋轉(zhuǎn)變化(8年2考：2023·25，2020·25)類型二(1)求證：BM＝EN；

利用等腰直角三角形與含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論.(2)在同一平面內(nèi)，將圖1中的兩個(gè)三角形按如圖2所示的方式放置，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合記為C，點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，將圖2中的△DCF繞C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α后，延長(zhǎng)BM交直線DF于點(diǎn)P.①當(dāng)α＝30°時(shí)，如圖3，求證：四邊形CNPM為正方形；證明：∵∠D＝30°，CN⊥DF，∴∠CND＝90°，∠DCN＝90°－30°＝60°.∵α＝∠ACD＝30°，∴∠ACN＝90°.∵BM⊥AC，∴∠PMC＝∠BMC＝90°.∴四邊形CNPM為矩形.由(1)知BM＝EN，即BM＝CN，而BM＝CM，∴CM＝CN.∴四邊形CNPM是正方形.第一步：證明∠CND＝90°，∠DCN＝90°－30°＝60°，可得∠ACN＝90°；第二步：證明∠PMC＝∠BMC＝90°，可得四邊形CNPM為矩形；第三步：結(jié)合BM＝EN，即BM＝CN，而BM＝CM，可得CM＝CN，從而可得結(jié)論.②當(dāng)30°＜α＜60°時(shí)，寫出線段MP，DP，CD的數(shù)量關(guān)系，并證明；當(dāng)60°＜α＜120°時(shí)，直接寫出線段MP，DP，CD的數(shù)量關(guān)系.

2.(2023貴州25，12分)如圖1，小紅在學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識(shí)后，對(duì)等腰直角三角形進(jìn)行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB，∠C＝90°，過(guò)點(diǎn)B作射線BD⊥AB，垂足為B，點(diǎn)P在CB上.針對(duì)訓(xùn)練(1)【動(dòng)手操作】如圖2，若點(diǎn)P在線段CB上，畫出射線PA，并將射線PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與BD交于點(diǎn)E，根據(jù)題意在圖中畫出圖形，圖中∠PBE的度數(shù)為_________度；解：畫出圖形如答圖1.135

(2)【問(wèn)題探究】根據(jù)(1)所畫圖形，探究線段PA與PE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；解：PA＝PE，理由如下：過(guò)點(diǎn)P作PM∥AB交AC于點(diǎn)M，如答圖2，∴∠MPC＝∠ABC＝45°.∴△PCM是等腰直角三角形.∴CP＝CM，∠PMC＝45°.∴CA－CM＝CB－CP，即AM＝BP，∠AMP＝135°＝∠PBE.∵∠APE＝90°，∴∠EPB＝90°－∠AP