專題16等腰三角形的性質(zhì)

閱讀與思考

等腰三角形是一類特殊三角形，具有特殊的性質(zhì)，這些性質(zhì)為角度的計算、線段相等、直線位置關(guān)

系的證明等問題提供了新的理論依據(jù)．因此，在解與等腰三角形相關(guān)的問題時，除了要運用全等三角形

知識方法外，又不能囿于全等三角形，應(yīng)善于利用等腰三角形的性質(zhì)探求新的解題途徑，應(yīng)熟悉以下基

本圖形、基本結(jié)論．

1800∠A

⑴圖1中，A18002B，∠B∠C，∠DAC2∠B2∠C．

2

⑵圖2中，只要下述四個條件：

①ABAC；②∠1∠2；③CDDB；④AD⊥BC中任意兩個成立，就可以推出其余兩個成

立．

D

AA

12

BCBDC

圖

1圖2

例題與求解

【例1】如圖，在△ABC中，D在AC上，E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，

則∠A=___________．

（五城市聯(lián)賽試題）

解題思路：圖中有很多相關(guān)的角，用∠A的代數(shù)式表示這些角，建立關(guān)于∠A的等式．

A

D

E

BC

【例2】如圖，在△ABC中，已知∠BAC=900，AB=AC，D為AC中點，AE⊥BD于E，延長AE交

BC于F，求證：∠ADB=∠CDF．

（安徽省競賽試題）

解題思路：∠ADB與∠CDF對應(yīng)的三角形不全等，因此，需構(gòu)造全等三角形，而在等腰三角形中，

作頂角的平分線或底邊上的高(中線)是一條常用的輔助線．

A

ED

B

FC

【例3】如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=900，D是AC上一點，且AE垂直BD的延長線于E，

1

又AE=BD，求證：BD是∠ABC的角平分線．

2

（北京市競賽試題）

解題思路：∠ABC的角平分線與AE邊上的高重合，故應(yīng)作輔助線補全圖形，構(gòu)造全等三角形、等

腰三角形．

A

ED

CB

【例4】如圖，在△ABC中，∠BAC=∠BCA=440，M為△ABC內(nèi)一點，使∠MCA=300，∠MAC=160，

求∠BMC度數(shù)．

（北京市競賽試題）

B

M

AC

解題思路：作等腰△ABC的對稱軸(如圖1)，通過計算，證明全等三角形，又440+160=600；可以AB

為一邊，向點C所在的一側(cè)作等邊△ABN，連結(jié)CN，MN(如圖2)；或以AC為一邊，向點B所在的一

側(cè)作等邊△ACN，連結(jié)BN(如圖3)．

BN

B

OB

M

ADCM

AC

圖M

1AC

N

圖3

圖2

【例5】如圖，△ABC是邊長為1的等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=1200的等腰三角形，以D

為頂點作一個600角，角的兩邊分別交AB于M，交AC于N，連結(jié)MN，形成一個三角形．求證：△AMN

的周長等于2．

（天津市競賽試題）

解題思路：欲證△AMN的周長等于2，只需證明MN=BM+CN，考慮用補短法證明．

A

N

M

BC

D

【例6】如圖，△ABC中，∠ABC=460，D是BC邊上一點，DC=AB，∠DAB=210，試確定∠CAD

的度數(shù)．

（北京市競賽試題）

解題思路：解本題的關(guān)鍵是利用DC=AB這一條件．

A

BDC

能力訓練

A級

1．如果等腰三角形一腰上的高另一腰的夾角為450，那么這個等腰三角形的底角為_____________．

2．如圖，已知∠A=150，AB=BC=CD=DE=EF，則∠FEM=_____________．

3．如圖，在等邊△ABC的AC，BC邊上各取一點P、Q，使AP=CQ，AQ，BP相交于點O，則

∠BOQ=____________.

4．如圖，在△ABC中，∠BCA=900，∠BAC=600，BC=4，在CA的延長線取點D，使AD=AB，則

D，B兩點之間的距離是____________．

A

B

OP

EM

C

AN

BDF

BQCDAC

(第2題)(第3題)(第4題)

5．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC上一點，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（）

1

A．900-∠AB．900-∠A

2

1

C．1800-∠AD．450-∠A

2

6．如圖，在△ABC中，∠ACB=900，AC=AE，BC=BF，則∠ECF=（）

A．600B．450

C．300D．不確定

（安徽省競賽試題）

A

F

E

CB

第5題圖第6題圖

7．△ABC的一個內(nèi)角的大小是400，且∠A=∠B，那么∠C的外角的大小是（）

A．1400B．800或1000C．1000或1400D．800或1400

(“希望杯”邀請賽試題)

1111

8．三角形三邊長a，b，c滿足，則三角形一定是（）

abcabc

A．等邊三角形B．以a為底邊的等腰三角形

C．以c為底邊的等腰三角形D．等腰三角形

（北京市競賽試題）

9．如圖，在△ABC中，AB=AC，D，E分別是腰AB，AC延長線上的點，且BD=CE，連結(jié)DE交

BC于G，求證：DG=EG．

（湖北省競賽試題）

A

D

G

BC

E

1

10．如圖，在△ABC中，∠BAC=900，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE，求證：CE=BD．

2

（江蘇省競賽試題）

A

E

D

BC

11．已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=900，D為AB邊中點，∠EDF=900，將∠EDF繞D點旋轉(zhuǎn)，

它的兩邊分別交AC，BC(或它們的延長線)于E、F，當∠EDF繞D點旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC于E時(如圖1)，

1

易證：S△DEF+S△CEF=S△ABC，當∠EDF繞D點旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時，在圖2和圖3這兩種情況下，

2

上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫

出你的猜想，不需證明．

（牡丹江市中考試題）

A

AA

D

EDD

F

EB

CBCB

FFC

圖1圖2圖3

12．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=800，O為△ABC內(nèi)一點，且∠OBC=100，∠OCA=200，

求∠BAO的度數(shù)．

（天津市競賽試題）

B級

1．如圖，在△ABC中，∠ABC=1000，AM=AN，CN=CP，則∠MNP=_________．

A

C

A

NE

PF

ABB

MPCBMNC

(第1題)(第2題)(第3題)

2．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=900，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，兩邊PE，PF

1

分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，給出以下4個結(jié)論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF=S

2

△ABC；④EF=AP．當∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時(點E不與A，B重合)．上述結(jié)論正確的是

____________．

（蘇州市中考試題）

3．如圖，在△ABC中，AB=BC，M，N為BC邊上兩點，并且∠BAM=∠CAN，MN=AN，則∠MAC

的度數(shù)是____________．

4．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC與∠ACB的平分線相交于D，∠ADC=1300，那么∠CAB

的大小是（）

A．800B．500C．400D．200

A

M

AC

D

E

D

B

DCAB

BC

第題

(第4題)(第5題)(6)

5．如圖，在△ABC中，∠BAC=1200，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，則∠C的大小是（）

A．200B．250C．300D．450

6．如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=900，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC

1

交AC的延長線于M，連CD，下列四個結(jié)論：①∠ADC=450；②BD=AE；③AC+CE=AB；④

2

AB-BC=2MC．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

7．如圖，已知△ABC為等邊三角形，延長BC至D，延長BA至E，并且使AE=BD，連結(jié)CE、DE，

求證：CE=DE．

E

A

B

CD

8．如圖，△ABC中，已知∠C=600，AC＞BC，又△ABC′、△A′BC、△AB′C都是△ABC外的等邊

三角形，而點D在AC上，且BC=DC．

⑴證明：△C′BD≌△B′DC；

⑵證明：△AC′D≌△DB′A；

⑶對△ABC、△ABC′、△A′BC、△AB′C，從面積大小關(guān)系上，你能得出什么結(jié)論？

（江蘇省競賽試題）

C′

A

B

D

B′CA′

9．在△ABC中，已知AB=AC，且過△ABC某一頂點的直線可將△ABC分成兩個等腰三角形，試求

△ABC各內(nèi)角的度數(shù)．

（江蘇省揚州中學測試題）

10．如圖，在△ABC中，∠C=900，∠CAD=300，AC=BC=AD，求證：CD=BD．

C

D

AB

11．已知△ABC中，∠B為銳角，從頂點A向邊BC或BC的延長線引垂線交BC于H點，又從頂

2BH2BK

點C向邊AB或AB的延長線引垂線交AB于K，試問：當，是整數(shù)時，△ABC是怎樣的三

BCAB

角形？并證明你的結(jié)論．

（“智能杯”通訊賽試題）

專題16等腰三角形的性質(zhì)

例145°

例2提示：過點A作∠A的平分線BD交于G，先證明△ABG≌△ACF，再證明△AGD≌△CFFD

例3提示：延長BC，AE交于一點.、

例4提示：如圖，作BD⊥AC于D，則∠OCD=∠OAD=30°，∴∠BA0=44°－30°=14°，

∠MAO=∠OAC－∠MAC=14°，∴∠BAO=∠MAO，又∵∠AOD=∠COD=90°－30°=60°，∴∠

AOB=∠AOM=120°，∴OB=OM.又∵AO=AO，∴△AOB≌△AOM

又∵∠BOM=120°，∴∠OMB=30°，故∠BMC=180°－∠OMB=150°.

例5如圖，在AC延長線上截取CM1=BM，由Rt△BDM≌Rt△CDM1，得MD=M1D，∠MDB=∠M1DC.

∴∠MDM1=120°－∠MDB+∠M1DC=120°，又∠MDN=60°，∴∠NDM1=60°，∵MD=MD1，∠

MDN=∠NDM1=60°，DN=DN，∴△MDN≌△M1DN，得MN=NM1，故△AMN周長：

AM+MN+AN=AM+AN+NM1=AM+AM1=AB+AC=2.

例6解法1如圖a，作△ABD關(guān)于AD的軸對稱圖形△ADC，則∠EAD=21°，AE=AB，∴DE=BD，

又∠ADC=21°+46°=67°，故∠ADE=∠ADB=180°－67°=113°，∠CDE=113°－67°=56°，連

CE，可證△CDE≌△ABD≌△AED，∠ODE=∠OED=46°，得OD=OE，又DC=AE，則AO=CO，∠

OCA=∠OAC，∠COE=2∠ACO，∠COE=2×46°=92°=2∠ACO.從而∠ACO=46°=∠OAC，∴∠

DAE+∠EAC=67°.

解法2如圖b，過A點作AE∥BC.過D作DE∥AB，連接EC.

∵∠EDC=∠ABC=46°，DE=AB=CD，

1

∴∠DCE=∠CED=×（180°－46°）=67°

2

∵∠ADC=∠ABC+∠BAD=46°+21°=67°

∴∠ADC=∠DCE，，∴AD=EC.

∴梯形ADCE為等腰梯形

∴AC=DE（等腰梯形對角線相等），

∴AB=AC=CD，∴∠DAC=∠ADC=67°.

A級

1.67.5°或22.5°2.75°3.60°4.85.A6.B7.B

8.D提示：由已知得(b－c)(a－b)(a+c)=0，故b=c或a=b.

9.提示：過D作DF∥AC交BC于F，證明△DFG≌△ECG.

10.提示：延長CE交BA的延長線于F，證明△BEC≌△BEF，再證明△AFC≌△ADB.

11.提示：圖2成立，聯(lián)系圖1，可證明△ECD≌△FBD，

1

SSSSSSSS

DEFCEFECDCDFFBDCDFCDB2ACB

1

圖3不成立，此時SSS

DEFCEF2ABC

12.作∠BAC的角平分線與CO的延長線交于D，連BD，則△ABD≌△ACD，則∠ABD=∠ACD=30°，

∠OBD=∠ABC－∠OBC－∠ABD=20°=∠ABD，∠DOB=∠OBC+∠OCB=40°=∠DAB，從而△ABD

1

≌△OBD，AB=OB，即△ABO為等腰三角形，得∠BAO=（180°－40°）=70°

2

B級

1.40°2.①②③