高一年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)試卷第I卷（選擇題）一、單選題（共40分）1.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】利用全稱量詞命題的否定直接判斷得解.【詳解】命題“，”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以命題“，”的否定為“，”.故選：B2.已知全集為R，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知集合的描述，結(jié)合交、并、補(bǔ)運(yùn)算即可判斷各選項(xiàng)的正誤【詳解】A中，顯然集合A并不是集合B子集，錯(cuò)誤.B中，同樣集合B并不是集合A的子集，錯(cuò)誤.C中，，錯(cuò)誤.D中，由，則，，正確.故選：D．3.設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由零點(diǎn)存在性定理判斷即可.【詳解】和均為增函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.又，，由零點(diǎn)存在性定理得，函數(shù)存在唯一零點(diǎn)在區(qū)間上.故選：C.4.小明同學(xué)在公園散步時(shí)，對(duì)公園的扇形石雕（圖1）產(chǎn)生了濃厚的興趣，并畫出該扇形石雕的形狀（圖2），在扇形AOB中，，則扇形AOB的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)扇形面積公式即可求解．【詳解】由已知可得扇形的圓心角，扇形半徑，則扇形面積為故選：A.5.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式判斷奇偶性和單調(diào)性即可.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，不合題意；因?yàn)椴皇瞧婧瘮?shù)，不合題意；因?yàn)椴皇瞧婧瘮?shù)，不合題意；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，是奇函數(shù)，符合題意.故選：C6.若，，則（）A. B.1 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算公式和換底公式計(jì)算.【詳解】因?yàn)?，，所以，，所以，，因此，．故選：B.7.已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，.則（）A.5 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】先求出周期，再利用周期代入即可求值.【詳解】因?yàn)?，所?所以的周期為4，則，又，令得：，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以.故選：D8.已知函數(shù)，，若，則下列各式成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式、導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】由題可得，即，在同一坐標(biāo)系中分別繪出函數(shù)，，圖象，由，可知，由，可得，聯(lián)立，解得，因?yàn)楹瘮?shù)與互為反函數(shù)，所以由反函數(shù)性質(zhì)知、關(guān)于對(duì)稱，則，，且，，對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，，則，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：B.二、多選題（共18分）9.下列說法正確的是（）A.若的值域?yàn)?，則的值域?yàn)锽.函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)C.函數(shù)的最小值為D.“”是“關(guān)于的方程有一正根和一負(fù)根”的充要條件【答案】CD【解析】【分析】由圖象的平移判斷A；求函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)，即可判斷B；利用換元法及對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的最小值，即可判斷C；求出方程有一正根和一負(fù)根時(shí)，的范圍，即可判斷D．【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)榈膱D象是由的圖象向右平移1個(gè)單位得到的，又因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以的值域也為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)且圖象過定點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，則函數(shù)即為，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，所以，即函數(shù)的最小值為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)關(guān)于的方程有一正根和一負(fù)根，則有，解得，所以“”是“關(guān)于的方程有一正根和一負(fù)根”的充要條件，故D正確．故選：CD．10.已知函數(shù).則下列說法正確的是（

）A.，則B.的值域?yàn)镃.當(dāng)時(shí)，有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則D.若在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為【答案】AD【解析】【分析】對(duì)于A，列方程求解驗(yàn)算即可；對(duì)于B，直接驗(yàn)算值域即可；對(duì)于C，注意到當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有一個(gè)實(shí)數(shù)根，從而只需，由此即可判斷；對(duì)于D，只需且，解不等式組即可判斷.【詳解】對(duì)于A，若，解得，故A正確；對(duì)于B，若，則時(shí)，，時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，注意到當(dāng)時(shí)，，∴此時(shí)有一個(gè)實(shí)數(shù)根，∴還需使得時(shí)，有一個(gè)實(shí)數(shù)根，又時(shí)，，∴，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在上單調(diào)遞減，首先時(shí)，單調(diào)遞減，有，其次時(shí)，顯然單調(diào)遞減，最后還需滿足，解得，故D正確.故選：AD.11.如圖所示為函數(shù)（，）的部分圖象，則下列說法正確的是（）A.B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.將的圖象向右平移個(gè)單位可以得到的圖象D.方程在上有三個(gè)根【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，利用五點(diǎn)法作圖求出函數(shù)解析式，再逐項(xiàng)求解判斷.【詳解】觀察圖象，得的最小正周期，解得，由，得，而，解得，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，因此在區(qū)間上不單調(diào)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，由，得或，因此方程在上有2個(gè)根，D錯(cuò)誤.故選：AC第II卷（非選擇題）三、填空題（共15分）12.函數(shù)在上的最大值是_______．【答案】2【解析】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】令，設(shè)且，，當(dāng)且時(shí)，，則，即，可得在上單調(diào)遞減，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為2．故答案為：2.13.計(jì)算：_______；_______．【答案】①.3②.【解析】【分析】結(jié)合指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，即可求解．【詳解】，.故答案為：3；.14.設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù)，例如：，，若函數(shù)，則的定義域是__________，值域是__________.【答案】①.②.【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)新定義，令可得定義域；然后分兩方面證明的值域是即可.【詳解】令，得的定義域是，下面求值域：一方面，根據(jù)高斯函數(shù)的定義，有.故對(duì)，由，有，；對(duì)，由，有，.所以對(duì)任意，都有.另一方面，對(duì)任意，有，；對(duì)任意，有所以的值域一定包含.綜合以上兩個(gè)方面，可知的值域是.故答案為：，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是能理解高斯函數(shù)的定義.四、解答題（共77分）15.（1）已知，求的表達(dá)式；（2）已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，．求函數(shù)的解析式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在原式中用替換，得，與原式聯(lián)立方程組，求解即可．（2）設(shè)，可得出，求出的表達(dá)式，利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得出函數(shù)在時(shí)的解析式．【詳解】在中用替換，得，于是有，消去，得．所求函數(shù)的表達(dá)式為．（2）奇函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，，．故．16.（1）已知，在第二象限，求，的值；（2）已知，求的值；（3）已知，，求的值.【答案】（1）（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系代入計(jì)算即可得到，從而得到；（2）將原式化為齊次式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.（3）結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系解出方程即可.【詳解】（1）在第二象限，，.（2）由，所以（3）因?yàn)?，且，解得或（舍去），則.17.已知函數(shù)，其中．（1）求的定義域；（2）判斷的奇偶性，并給予證明；（3）求使的x取值范圍．【答案】（1）；（2）奇函數(shù)，證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的定義知真數(shù)大于0，即可求定義域；（2）利用奇偶性的定義得知函數(shù)為奇函數(shù)；（3）由，可得，即可求解.【詳解】(1)∵已知,∴,即,解得,故f(x)的定義域?yàn)??1,1).(2)∵的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,,故函數(shù)是奇函數(shù)．(3)由>0可得,即,解得,故求使>0的的取值范圍是(0,1).【點(diǎn)睛】判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件：(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系．在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立．18.已知函數(shù).（1）求該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）易得，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解；（2）由得到，根據(jù)，得到，則由求解.【小問1詳解】，，令，，則，，故該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，；小問2詳解】對(duì)任意，都有可得，所以，又，所以，要滿足對(duì)任意，都有，則有，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.已知函數(shù)（，且）過點(diǎn)．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)為的反函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；（3）若函數(shù)，其中為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，已知函數(shù)，對(duì)于任意，都存在，使得等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）把點(diǎn)代入解析式即可求得結(jié)果；（2）利用反函數(shù)概念求出的解析式，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可求得參數(shù)的取值范圍；（3）根據(jù)條件求出和的解析式，將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再利用換元法并分離參數(shù)結(jié)合基本不等式即可求得結(jié)果.【小問1詳解】函數(shù)過點(diǎn)，可得，解得，故函數(shù)的解析式為，【小問2詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為的反函數(shù)，所以，易知在上為單調(diào)遞減函數(shù)，又在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，解得；所以的取值范圍為；