試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁浙江省強(qiáng)基聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期2月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知集合A={x||x?1|<2}，B=?1,0,1,2,3，則A∩B=（

A．?1,0 B．?1,3 C．0,1,2 D．1,2,3【答案】C【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合A，再利用交集的定義求解.【詳解】依題意，A=x?1<x<3，而所以A∩B=0,1,2故選：C2．若z?2z=i，則z=A．?1+i B．?1?i C．1?i【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可求解.【詳解】z?2z又21?i=故選：D3．已知向量a=4,0，b=x,3，若a+2A．?1 B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】由a=4,0，b=x,3，由a+2b⊥a?故選：C.4．將半徑為4的半圓面圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的體積為（

）A．83π B．833π 【答案】B【分析】由題意求出圓錐的高，結(jié)合圓錐的體積公式計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，半圓的周長(zhǎng)為4π，設(shè)圓錐底面圓的半徑為r則4π=2πr所以圓錐的高為?=4所以圓錐的體積為V=1故選：B.5．已知sinα+β=1725，sinαA．2425 B．?2425 C．7【答案】D【分析】根據(jù)兩角和差的正弦公式即可求得.【詳解】由sin=2sinαcosβ=2故選：D.6．已知圓O：x2+y2=2上一點(diǎn)P1,1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，M是圓O上異于P，Q的任意一點(diǎn)，若MP,MQ分別交x軸于點(diǎn)A．2 B．2 C．22 【答案】B【分析】設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)，寫出Q坐標(biāo)，寫出直線MP,MQ方程，求得R,S坐標(biāo)，然后得到OR?【詳解】Q1,?1，設(shè)Mx則MP:y?1y0則Ry0?故OR?故選：B.7．已知函數(shù)fx=2ax?lnx,x>02x2+A．12e,12 B．12【答案】A【分析】由fx?f?x≥0轉(zhuǎn)換成2a?ln【詳解】fx?f?x≥0等價(jià)于2ax?lnx?2x2?即a≥lnx2xx+1令?x=ln可得：?x=lnx2x由?maxx=lne2e令gx=x+1x，由基本不等式可得當(dāng)x→+∞，g對(duì)于a≥lnx2x可得a≥lnx對(duì)于a≤lnx2x可得：a≤lnx故a的取值范圍為12故選：A.8．現(xiàn)有一排方塊，其中某些方塊間有間隔.從中拿出一個(gè)方塊或緊貼的兩個(gè)方塊，而不改變其余方塊的位置，稱為一次操作.如圖所示，狀態(tài)為3,2的方塊：可以通過一次操作變成以下狀態(tài)

中的任何一種：3,1，3，2,2，1,2或1,1,2.游戲規(guī)定由甲開始，甲、乙輪流對(duì)方塊進(jìn)行操作，拿出最后方塊的人獲勝.對(duì)于以下開局狀態(tài)，乙有策略可以保證自己獲得游戲勝利的是（

）A．3,2,1 B．4,2 C．2,1,1 D．5,3【答案】A【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，可以通過例舉所有的可行性，在甲操作后，乙采取對(duì)稱策略，即可保證自己能贏；對(duì)于選項(xiàng)B、C、D，可通過操作驗(yàn)證，甲贏.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，3,2,1經(jīng)過甲操作可以變?yōu)?,2，3,1，3,1,1，2,2,1，1,2,1或1,1,2,1.對(duì)于3,2，乙操作成2,2；對(duì)于3,1，乙操作成1,1；對(duì)于3,1,1，乙操作成1,1,1,1；對(duì)于2,2,1，乙操作成2,2；對(duì)于1,2,1，乙操作成1,1；對(duì)于1,1,2,1，乙操作成1,1,1,1.此時(shí)甲操作后，乙可以采取對(duì)稱策略，保證自己能拿到最后一個(gè)方塊，無論如何乙都能贏，所以A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，甲將4,2操作為2,2，此時(shí)乙可以操作為2，2,1，1,2，甲必勝；對(duì)于選項(xiàng)C，甲將2,1,1操作為1,1，甲必勝；對(duì)于選項(xiàng)D，甲將5,3操作為1,2,3，由選項(xiàng)A知甲必勝.故選：A.二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)據(jù)8,6,4,11,3,7,9,10的上四分位數(shù)為9B．若0<PC<1，0<PD<1，且C．根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖判斷出兩個(gè)變量線性相關(guān)，由最小二乘法求得其回歸直線方程為y=0.4x+a，若其中一個(gè)散點(diǎn)坐標(biāo)為?a,5.4，則D．將兩個(gè)具有相關(guān)關(guān)系的變量x,y的一組數(shù)據(jù)x1,y1，x2,y2，…，xn（附：b=i=1nxi【答案】BD【分析】利用上四分位數(shù)的性質(zhì)判斷A，利用條件概率公式和獨(dú)立事件概率公式判斷B，利用散點(diǎn)圖的性質(zhì)判斷C，利用決定系數(shù)的性質(zhì)判斷D即可.【詳解】對(duì)于A，我們把數(shù)據(jù)8,6,4,11,3,7,9,10重新排列，得到3,4,6,7,8,9,10,11，而9+102則數(shù)據(jù)8,6,4,11,3,7,9,10的上四分位數(shù)為9.5，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)镻D=1?PD由條件概率公式得PD得到PCD=PC對(duì)于C，散點(diǎn)不一定在回歸直線上，不能直接代入直線方程，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由于R2=1?i=1ny則y′=y從而yi?yi，故選：BD.10．設(shè)函數(shù)fx=1?A．曲線y=fx存在對(duì)稱軸 B．曲線y=fC．fx≤2【答案】ACD【分析】根據(jù)二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)可得fx=2sinπ2x【詳解】A：fx又x=1是y=2sin(所以曲線y=fx存在對(duì)稱軸x=1B：fa?x所以曲線y=fxC：由于f又y=2sin(所以f(x)≤22，當(dāng)且僅當(dāng)D：當(dāng)x=0時(shí)，2f(0)=0，顯然等號(hào)成立；當(dāng)x≠0時(shí)，有fxx=故選：ACD.11．已知橢圓Γ：x29+y24=1，直線l：2x+3y+12=0.A1，A2是橢圓的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過直線l上任意一點(diǎn)P作橢圓Γ的切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N，橢圓上任意一點(diǎn)Q（異于A1，A．直線MN過定點(diǎn)B．F1，F(xiàn)2，B1C．當(dāng)MN∥l時(shí)，?3D．QB【答案】ABD【分析】根據(jù)橢圓的極點(diǎn)和極線方程可列式求出直線l關(guān)于橢圓Γ的極點(diǎn)坐標(biāo)，即可由此求出A、C答案。由極點(diǎn)和極限方程性質(zhì)可表示出過Q點(diǎn)的切線方程，由此表示出F1,F【詳解】對(duì)于A，根據(jù)橢圓極點(diǎn)、極線定義，直線l關(guān)于橢圓Γ存在極點(diǎn)，即為直線MN的定點(diǎn)（證明后續(xù)提供），設(shè)極點(diǎn)為Rx0,y0，則直線l的方程為x故直線l關(guān)于橢圓Γ的極點(diǎn)（定點(diǎn)）為R?對(duì)于B，設(shè)Qx1,y1，則Q點(diǎn)處的切線方程為xx1而F1?5,0，故F1對(duì)于C，當(dāng)MN∥l時(shí)，直線MN的方程為y=?2對(duì)于D，由圓的相交弦定理和橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知QB等號(hào)在Q為短軸端點(diǎn)時(shí)取到，故D正確.故選：ABD.附注：1.定義：任取一點(diǎn)，它可以在圓錐曲線上，也可以在圓錐曲線外或內(nèi)，過這點(diǎn)作圓錐曲線的割線，產(chǎn)生兩個(gè)交點(diǎn)，過這兩個(gè)交點(diǎn)作圓錐曲線的切線，兩條切線相交于一點(diǎn).隨著割線繞任取之點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，交點(diǎn)將描繪出一條直線.若任取之點(diǎn)稱為極點(diǎn)，則這條直線就稱為極點(diǎn)的極線.反之，任意作一條直線，它可以與圓錐曲線相交、相切或相離，在直線上且位于圓錐曲線外任取一點(diǎn)，過這點(diǎn)作圓錐曲線的兩條切線，連接兩個(gè)切點(diǎn)可得一直線.讓任取之點(diǎn)在其所在直線上運(yùn)動(dòng)，則連接兩切點(diǎn)的直線也跟著運(yùn)動(dòng)，但它將繞著一個(gè)不動(dòng)的點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng).若開始時(shí)的直線稱為極線，則這個(gè)不動(dòng)的點(diǎn)就稱為這條極線的極點(diǎn).2.結(jié)論：設(shè)極點(diǎn)坐標(biāo)為Px0,極點(diǎn)的極線的方程都是x證明：（1）先證明也就是求出極點(diǎn)在橢圓上時(shí)橢圓切線方程為xx設(shè)過點(diǎn)Px0,與橢圓聯(lián)立方程得：k2因?yàn)榍芯€方程只存在一個(gè)解，即Δ=化簡(jiǎn)得：Δ=4ka從而得出切線方程為y?y0=?（2）極點(diǎn)在橢圓之外的情況.過極點(diǎn)作橢圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為Ax1,由上面的第（1）條，直接寫出兩條切線的方程：xx1由于極點(diǎn)當(dāng)然在這兩條切線上，所以x0x1這又說明，點(diǎn)Ax1,y1所以上式就是直線AB的方程，即極點(diǎn)P的極線的方程.（3）極點(diǎn)在橢圓之內(nèi)的情況.過點(diǎn)Px0,y0于是由第（1）條，得過點(diǎn)P′的橢圓切線方程為x讓y=0，得切線與x軸的交點(diǎn)也就是切線的橫截距m=a同理可以得到切線與y軸的交點(diǎn)即切線的縱截距n=b于是，由直線的截距式方程xm+yn=1【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：運(yùn)用極點(diǎn)、極線方法，解決圓錐曲線的切線相關(guān)的直線過定點(diǎn)等問題，可大大減少運(yùn)算.三、填空題12．雙曲線x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)為F1，【答案】3【分析】因?yàn)镻F1⊥x【詳解】因?yàn)镻F1⊥x軸，所以P在RtΔPF1F所以PF2?PF故答案為：3.13．在動(dòng)畫和游戲開發(fā)中，相切的曲線可生成平滑的角色路徑和物體表面.若兩條曲線在公共點(diǎn)處有相同的切線，且曲線不重合，則稱兩條曲線相切.設(shè)兩拋物線y=x2+a與y2【答案】38【分析】由題意得出兩拋物線在第一象限相切，設(shè)兩拋物線的公共切點(diǎn)為x0,y【詳解】由題意可知，兩拋物線y=x2+a設(shè)兩個(gè)拋物線相切于x0,y0，拋物線y2=2函數(shù)y=22x所以有2x0=1所以切點(diǎn)為2?32,1故答案為：314．對(duì)7個(gè)相鄰的格進(jìn)行染色，每個(gè)格均可從紅、綠、黃三種顏色中選一種，則沒有相鄰紅格的概率為.【答案】136【分析】通過討論紅格個(gè)數(shù)，由古典概型概率公式求解即可，【詳解】0個(gè)紅格，共271個(gè)紅格，共C72個(gè)紅格，共C63個(gè)紅格，共C54個(gè)紅格，共C4所以P=2故答案為：136四、解答題15．在ΔABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a(1)求A.(2)若b=5，c=2，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點(diǎn)P，（Ⅰ）求AM；（Ⅱ）求cos∠MPN【答案】(1)A=(2)（Ⅰ）392；（Ⅱ）【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到3sinA?cos（2）（Ⅰ）AM=12（Ⅱ）AM與BN的夾角等于∠MPN，其中AM=12計(jì)算出AM?BN=3，BN【詳解】（1）由正弦定理得sinA∵sinB=∴3sin∵sinC≠0，∴3∴sinA?又0<A<π，故?∴A?π6=（2）（Ⅰ）∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴AM=AM=1∴AM=（Ⅱ）∵M(jìn)，N分別是BC，AC的中點(diǎn)，AM=12所以AM與BN的夾角等于∠MPN，∴cos∠MPN=∵AM==1BN=1又（Ⅰ）中AM=所以cos∠MPN=16．已知拋物線C：y2=2px的焦點(diǎn)為F，拋物線C上點(diǎn)M2,(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)D?1,0，過D作直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，證明：x=1是∠AFB【答案】(1)y(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義即可求得；（2）根據(jù)題意，直線AB斜率不為0，設(shè)其方程為：x=my?1，和拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理可得kFA+kFB=0【詳解】（1）由MF=xM所以拋物線C的方程為y2（2）根據(jù)題意，直線AB斜率不為0，設(shè)其方程為：x=my?1，Ax1,由x=my?1y2=4x得y2?4my+4=0，由Δ由韋達(dá)定理得：y1+y則k=2my1y2所以x=1是∠AFB的角平分線.17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB=2CD=2，AD=4，∠BAD=60°，PD⊥CD，E為AB的中點(diǎn)，M為(1)證明：PM⊥AB；(2)若PA=15，N為PC中點(diǎn)，且AN與平面PDM所成角的正弦值為156，求四棱錐【答案】(1)證明見解析(2)2【分析】（1）利用勾股定理證明AB⊥BD垂直，再利用題干得AB⊥PD，即可得到AB⊥平面PBD，即可得到結(jié)論.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面所成角的向量求法解得高度h，即可求得四棱錐的體積.【詳解】（1）證明：在梯形ABCD中，連接交BD于CE一點(diǎn)，因?yàn)锽E=CD且BE∥CD，所以四邊形所以BD與CE的交點(diǎn)即為CE中點(diǎn)M.由已知可得，AB=2，AD=4，∠BAD=60°，由余弦定理得BD=23所以三角形為直角三角形，所以AB⊥BD，又AB∥CD，PD⊥CD，所以AB⊥PD,且BD∩PD=D,所以AB⊥平面又PM?平面PBD，所以AB⊥PM.（2）由（1）知，CD⊥平面PDM，如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DB，DC為x，y軸，垂直于底面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A23,?2,0設(shè)Px,0,z，則Nx2平面PDM的一個(gè)法向量為n=設(shè)直線AN與平面PDM所成角為θ，則sinθ=化簡(jiǎn)得x?43由PA=15，可得x?232+故V=118．已知函數(shù)fx=3x(1)若函數(shù)fx是偶函數(shù)，求φ(2)當(dāng)φ=0時(shí)，討論函數(shù)fx在0,+(3)若?x≥0，fx≥0，求【答案】(1)φ=±(2)兩個(gè)零點(diǎn)(3)φ∈【分析】（1）由偶函數(shù)的定理建立等式，求出φ；（2）代入φ=0，得到f0=0，寫出f'x，令?x=f'x后在求導(dǎo).由fx解析式可知當(dāng)x≥π時(shí)，fx>0恒成立.當(dāng)0<x<π時(shí)，?（3）當(dāng)x≥23π時(shí)，fx>0恒成立，所以當(dāng)0≤x<23π時(shí)，由f0≥0，求出φ的范圍.再將【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)fx是偶函數(shù)，所以f即3x解得：φ=±π（2）當(dāng)φ=0時(shí)，fxf0=0，令?x=f'x當(dāng)x≥π時(shí)，f當(dāng)0<x<π時(shí)，?x=6+8又f'0=?8<0，所以存在x1∈0,x∈0,x1，f'x<0，fx單調(diào)遞減，而f0=0，fx1<0綜上，函數(shù)fx在0,+（3）當(dāng)x≥23π時(shí)，fx>則φ∈?（?。┊?dāng)φ∈?π,?2π3時(shí)，（ⅱ）當(dāng)φ∈?若x∈π2,2π所以fx若x∈0,π2，則x+φ∈?2（ⅲ）當(dāng)φ∈?π2,0時(shí)，若只要考慮sinx+φ>0，此時(shí)令則?′x=6+8sinx+φ>0，所以存在x0∈0,若x∈0,x0，則f'x<0，fx遞減；若所以fx≥fx此時(shí)cosx0+φ=3綜上，φ∈?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛，本題是函數(shù)綜合問題，考查了利用導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，由函數(shù)單調(diào)性解決不等式恒成立問題.本題需要先通過三角函數(shù)的值域先得到不等式在某個(gè)區(qū)間恒成立，再通過某個(gè)特殊值得到φ的范圍，然后通過函數(shù)解析式的特殊性，分別討論φ的范圍內(nèi)不等式恒成立.本題用到了隱零點(diǎn)的方法求得函數(shù)的最小值，要想不等式大于等于零恒成立，轉(zhuǎn)變?yōu)樽钚≈荡笥诘扔诹?，然后解得φ的范?19．設(shè)n≥3，對(duì)于數(shù)列a1，a2，…，an，若對(duì)任意k∈1,2,?,n?1，a1+a2+?+(1)判斷數(shù)列sin0，sinπ2，sinπ，sin3π2，sin2π與數(shù)列cos(2)若存在公比為負(fù)數(shù)的等比數(shù)列a1，a2，…，a2025(3)設(shè)a1，a2，…，an為強(qiáng)數(shù)列，且數(shù)列中正數(shù)與負(fù)數(shù)交替出現(xiàn)（不出現(xiàn)0），證明：一定可以從數(shù)列a1，【答案】(1)答案見解析(2)q=?1(3)證明見解析【分析】（1）先求兩個(gè)數(shù)列中所有三角函數(shù)值，然后根據(jù)