一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分曲線積分多元函數(shù)積分學(xué)

三、二重積分的性質(zhì)第一節(jié)一、引例二、二重積分的定義與可積性二重積分的概念與性質(zhì)

解法:類似定積分解決問題的思想:一、引例1.曲頂柱體的體積給定曲頂柱體:底：

xoy面上的閉區(qū)域D頂:連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“分割,近似,求和,取極限”

1)“分割”用任意曲線網(wǎng)分D為n個(gè)區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n個(gè)2)“近似”在每個(gè)3)“求和”則中任取一點(diǎn)小曲頂柱體

4)“取極限”令

2.平面薄片的質(zhì)量有一個(gè)平面薄片,在xoy平面上占有區(qū)域D,計(jì)算該薄片的質(zhì)量M.其面密度為設(shè)D的面積為

,則若非常數(shù),仍可用“分割,近似,求和,取極限”解決.1)“分割”用任意曲線網(wǎng)分D為n個(gè)小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域.

2)“近似”中任取一點(diǎn)3)“求和”4)“取極限”則第k小塊的質(zhì)量

兩個(gè)問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同“分割,近似,求和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:

二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D

任意分成n個(gè)小區(qū)域任取一點(diǎn)若存在一個(gè)常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域D上的有界函數(shù),

引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果在D上可積,也常記作二重積分記作這時(shí)直線來劃分區(qū)域D,此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的因

二重積分存在定理:若函數(shù)在D上可積.在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則例如,在D:上連續(xù)，二重積分存在;

三、二重積分的性質(zhì)(k為常數(shù))

為D的面積,則

特別,由于則5.若在D上6.設(shè)D的面積為

,則有

7.(二重積分的中值定理)證:由性質(zhì)6可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點(diǎn)在閉

為D的面積,則至少存在一點(diǎn)使使連續(xù),因此區(qū)域D上

例1.比較下列積分的大小:其中解:積分域D的邊界為圓周它與x軸交于點(diǎn)(1,0),而域D位從而于直線的上方,故在D上

內(nèi)容小結(jié)1.二重積分的定義2.二重積分的性質(zhì)(與定積分性質(zhì)相似)3.曲頂柱體體積的計(jì)算二次積分法

P812(1，2),3(1，2)作業(yè)第二節(jié)

第二節(jié)一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分二重積分的計(jì)算法

設(shè)曲頂柱體的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的

一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分同樣,曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計(jì)算

先對(duì)y后對(duì)x的二次積分二重積分的計(jì)算是轉(zhuǎn)化為：稱D為X–型區(qū)域稱D為Y–型區(qū)域?qū),y相繼的兩次定積分來實(shí)現(xiàn)的。先對(duì)x后對(duì)y的二次積分D：D：

說明:(1)若積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y–型區(qū)域,為計(jì)算方便,可選擇積分序,必要時(shí)還可以交換積分序.則有(2)若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,則

例1.計(jì)算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區(qū)域.解法1.將D看作X–型區(qū)域,則解法2.將D看作Y–型區(qū)域,

則

例2.計(jì)算其中D是曲線解:選擇先對(duì)y后對(duì)x積分,則所圍成的閉區(qū)域.直線及21思考:如果選擇先對(duì)x后對(duì)y積分,是什么形式

注意：（1）二重積分的結(jié)果是一個(gè)常數(shù)（2）外層積分限一定是常數(shù)限（3）內(nèi)層積分限可以是常數(shù)，也可以是外層積分積分變量的函數(shù)，不能含有本重積分變量（4）上限>下限

例3.計(jì)算其中D是解:所圍成的閉區(qū)域.直線及2

例4.計(jì)算D是直線所圍成的解:由被積函數(shù)可知,先對(duì)x積分不行,說明:有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.

閉區(qū)域.例5.交換下列積分順序解:積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則

例6.計(jì)算其中D由所圍成.解:令(如圖所示)顯然,

二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分1.極坐標(biāo)系平面點(diǎn)P極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的一般關(guān)系：極坐標(biāo)系下的基本曲線：ρ=常數(shù)表示以原點(diǎn)為中心的圓=常數(shù)表示從原點(diǎn)發(fā)出的射線

曲線的極坐標(biāo)方程極坐標(biāo)方程直角坐標(biāo)方程曲線名稱及圖形圓圓直線直線直線

2.利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分被積函數(shù)的處理積分區(qū)域D的處理面積元素的處理

在極坐標(biāo)系下,用同心圓ρ=常數(shù)小區(qū)域及射線

=常數(shù),分劃區(qū)域D為n個(gè)可近似看作矩形面積,則小區(qū)域的面積

設(shè)則特別,對(duì)

若f≡1則可求得D的面積思考:下列各圖中域D分別與x,y軸相切于原點(diǎn),試答:問

的變化范圍是什么?(1)(2)

例7.計(jì)算其中解:在極坐標(biāo)系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角由于故坐標(biāo)計(jì)算.

注:利用例6可得到一個(gè)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及工程上非常有用的反常積分公式事實(shí)上,當(dāng)D為R2時(shí),利用例6的結(jié)果,得①故①式成立.

例8:計(jì)算其中

xyo解:在極坐標(biāo)系下故當(dāng)被積函數(shù)中含有因子、積分區(qū)

或域是圓域或圓的一部分區(qū)域時(shí)，這樣的二重積分適合用極坐標(biāo)計(jì)算，否則應(yīng)用直角坐標(biāo)計(jì)算。二重積分計(jì)算中坐標(biāo)系的選取解:，其中及

y

軸圍成.原式例9.求D

由02.例10

把下列積分化為極坐標(biāo)形式的二次積分解:例11.求兩個(gè)底圓半徑為R的直角圓柱面所圍的體積.解:設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為利用對(duì)稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為

例12.求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:設(shè)由對(duì)稱性可知

內(nèi)容小結(jié)(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形:

若積分區(qū)域?yàn)閯t

若積分區(qū)域?yàn)閯t

則極坐標(biāo)系情形:若積分區(qū)域?yàn)?/p>

(3)計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)?

畫出積分域?

選擇坐標(biāo)系?

確定積分序?

寫出積分限，積分被積函數(shù)含積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式或域是圓或扇形時(shí)應(yīng)考慮用極坐標(biāo)，否則用直角坐標(biāo)

作業(yè)P911(1,2);2(1,2);3(3);第三節(jié)

5(1,4);7;10;作業(yè)P9111(1,3，5);12(1,3);13(1,4);

14(1,2);16。第三節(jié)一、立體體積二、曲面的面積三、物體的質(zhì)心四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量二重積分的應(yīng)用

一、立體體積曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為

立體體積上頂面函數(shù)下底面函數(shù)立體在xy面上投影區(qū)域

例1

求圍成區(qū)域的體積.

。解二、曲面的面積設(shè)光滑曲面則面積A可看成曲面上各點(diǎn)處小切平面的面積dA無限積累而成.設(shè)它在D上的投影為d

,(稱為面積元素)則

故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即

若光滑曲面方程為若光滑曲面方程為隱式則則有且

例2.計(jì)算雙曲拋物面被柱面解:曲面在xoy面上投影為則所截出的面積A.

例3.計(jì)算半徑為a的球的表面積.解:設(shè)球面方程為

整個(gè)球的表面積是其上半部分表面積的兩倍，若物體為占有xoy面上區(qū)域D的平面薄片,則它的質(zhì)心坐標(biāo)為其面密度—對(duì)x軸的

靜矩—對(duì)y軸的

靜矩三、物體的質(zhì)心

(A為D的面積)得D的形心坐標(biāo):常數(shù)時(shí),

例4.求位于兩圓和解:利用對(duì)稱性可知而之間均勻薄片的質(zhì)心.

如果物體是平面薄片,面密度為則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式是二重積分.四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

例5.求半徑為a的均勻半圓薄片對(duì)其直徑解:建立坐標(biāo)系如圖,半圓薄片的質(zhì)量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

作業(yè)P97

1，2,4（1,3）,6（1,2）習(xí)題課

第四節(jié)

三重積分

1.定義設(shè)存在,，任取則稱此極限為函數(shù)在

上的三重積分.稱為體積元素,

在直角坐標(biāo)系下常寫作如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于零時(shí)，極限定義在空間閉區(qū)域

上，將

任意分為n個(gè)小閉區(qū)域記為即一、三重積分的概念2.三重積分的性質(zhì)（與二重積分相似）（空間區(qū)域

的體積）主要性質(zhì)：作用1：常用來求空間區(qū)域的體積.作用2：當(dāng)?shù)捏w積易求時(shí)，積分值等于體積。二、利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分則若

上方曲面下方曲面投影域z

：的下方曲面z表達(dá)式（用x、y表示）上方曲面z表達(dá)式

若：

則，

是化圍成閉區(qū)域.例1.為三次積分，解：、D的圖形見右，xyxyO11

由三個(gè)坐標(biāo)面及例2.求圍成.

111xyz0

yx011解：就稱為點(diǎn)M的柱面坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:空間點(diǎn)M在xOy面上投影點(diǎn)N的極坐標(biāo)為N，則三、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分1.柱面坐標(biāo)的概念2.。3.利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分（化為先z,中的三次積分）,最后上、下限的確定方法：z

：的下方曲面z表達(dá)式（用表示）上方曲面z表達(dá)式：

由的投影域確定，同二重積分極坐標(biāo)。4.適合柱面坐標(biāo)計(jì)算的情形（1）在xOy面上的投影域與圓有關(guān)；（2）被積函數(shù)形如：。

其中

是化所圍成的閉區(qū)域.例3.為柱面坐標(biāo)下三次積分，解：、D的圖形見右，xyxyO11其中

為由例4.計(jì)算三重積分所圍解:在柱面坐標(biāo)系下及平面柱面成半圓柱體.

例5.

計(jì)算三重積分解:在柱面坐標(biāo)系下所圍成.與平面其中

由拋物面原式=

四、三重積分的應(yīng)用1．空間物體的質(zhì)量2．空間物體的質(zhì)心設(shè)空間物體在點(diǎn)的密度為（三）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。3．空間物體對(duì)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例6求半徑為

R的均勻半球體的質(zhì)心．解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由對(duì)稱性：

故質(zhì)心坐標(biāo)為

作業(yè)P1041(1),(2);3(1)(3);4;5(1)(3);

6;7

第四節(jié)第五節(jié)

對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分

假設(shè)曲線形細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件在平面所占弧段為AB,其線密度為“分割,取近似,求和,求極限”

可得為計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量,1.引例:

曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用

設(shè)L是平面上一條有限長(zhǎng)的光滑曲線,義在L上的一個(gè)有界函數(shù),都存在,L上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,記作若通過對(duì)L的任意分割局部的任意取點(diǎn),2.對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念

下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.稱為被積函數(shù)，L稱為積分弧段.曲線形構(gòu)件的質(zhì)量和對(duì)

是定如果L

是閉曲線,則記為

思考:(1)若在L上f(x,y)≡1,(2)定積分是否可看作對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的特例?否!

對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分要求ds0,但定積分中dx可能為負(fù).3.性質(zhì)（k為常數(shù))(L

由組成)(l為曲線弧L

的長(zhǎng)度)

4、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn)化定理:且上的連續(xù)函數(shù),是定義在，則求曲線積分

在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，

(1)

若

L

的方程為

，則

(2)

若

L

的方程為

，則

注:例1.

計(jì)算其中L是拋物線與點(diǎn)B(1,1)之間的一段弧.解:上點(diǎn)O(0,0)

例2.

計(jì)算

L是O

(0,0)到B

(1,1).

解:上例3.

求

，L為整個(gè)圓周解L的方程可改寫為原式==L例4.

求

,L：上半圓周及x

軸所圍區(qū)域的整個(gè)邊界.

xyOOL1L2解

L1：例4.

求

,L為上半圓周及x

軸所圍區(qū)域的整個(gè)邊界.

xyOOL1L2L2：作業(yè)P1091(1),(2),(4),(5)第六節(jié)

對(duì)坐標(biāo)的曲線積分

1.

引例:

變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用在

xoy平面內(nèi)從點(diǎn)A沿光滑曲線弧L移動(dòng)到點(diǎn)B,

求移“分割”

“取近似”“求和”

“取極限”常力沿直線所作的功本例解決辦法:動(dòng)過程中變力所作的功W.1)“分割”:2)“取近似”把

L分成

n個(gè)小弧段3)“求和”4)“取極限”(其中

為

n

個(gè)小弧段的最大長(zhǎng)度)

2.定義.設(shè)L為xoy

平面內(nèi)從

A到B

的一條有向光滑弧,向任意插入一點(diǎn)列

把

L

函數(shù)

在L

上有界.在L上沿L

的方弧段

上任意取定的點(diǎn)，如果當(dāng)各小弧段長(zhǎng)度的

設(shè)

，點(diǎn)

為有向分成n個(gè)有向小弧段最大值時(shí)，極限總存在，則稱此極限為函數(shù)

在有向曲線弧L上對(duì)坐標(biāo)

x

的曲線積分（或第二類曲線積分），記作

即類似地，如果

總存在，則稱此極限稱為函數(shù)

在有向曲線弧L上對(duì)坐標(biāo)

y的曲線積分，記作

，即注1：注2：質(zhì)點(diǎn)受到力

作用，沿平面曲

線L移動(dòng)所作的功為3.主要性質(zhì)設(shè)

L－

表示

L

的反向弧,則注：對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分曲線的方向。4.對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法定理:在有向曲線弧

L上有定義且L的參數(shù)方程為，當(dāng)參數(shù)

t單調(diào)地由連續(xù),α變到β時(shí)，點(diǎn)M從L的起點(diǎn)沿L運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn),,在以α及β為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且

,則

若L

：,且起點(diǎn)對(duì)應(yīng)

x＝a,終點(diǎn)對(duì)應(yīng)

x＝b（1）則

若L

：,且起點(diǎn)對(duì)應(yīng)

y＝c，終點(diǎn)對(duì)應(yīng)

y＝d（2）則注：例1.計(jì)算其中L為沿拋物線解法1取x為參數(shù),則解法2取y為參數(shù),則從點(diǎn)的一段.

例2.計(jì)算其中L為(1)半徑為a圓心在原點(diǎn)的上半圓周,方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向;(2)從點(diǎn)A(a,0)沿x軸到點(diǎn)B(–a,0).解:(1)取L的參數(shù)方程為(2)取L的方程為則則

例3.計(jì)算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3)有向折線

解:

(1)原式(2)原式(3)原式

作業(yè)P1141(1),(2),(3),(4)2原點(diǎn)O的距離成正比,思考與練習(xí)

設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在處受恒指向原點(diǎn),沿橢圓此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)沿逆時(shí)針移動(dòng)到提示:F

的大小與M到原F

的方向力F的作用,求力F

所作的功.思考:

若題中F的方向改為與OM垂直且與

y

軸夾銳角,則

第七節(jié)

格林公式及其應(yīng)用

一、格林公式

1.平面區(qū)域

D的邊界L的正向的概念：當(dāng)觀察者沿該方向行走時(shí)，D內(nèi)在他近處的那部分總在他的左邊.簡(jiǎn)言之，外面逆時(shí)針里面順時(shí)針。2.格林公式定理1.

設(shè)區(qū)域

D

由分段光滑正向閉曲線

L圍成,函數(shù)

則在

D上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),上述公式稱為格林公式。證明:1)若D既是X-型區(qū)域,又是

Y-型區(qū)域,且則定理1即同理可證①②①、②兩式相加得:定理12)

若區(qū)域

D不能同時(shí)用上述不等式組表示（如圖）,D12D3DL則添加輔助線將

D分割為有限個(gè)部分區(qū)域，

分區(qū)域都可同時(shí)用上述不等式組表示，使每個(gè)部則。正向閉曲線L所圍區(qū)域D的面積：注：例如,橢圓所圍面積定理1例1.設(shè)L是一條分段光滑的閉曲線,證明證:令則利用格林公式,得

例2.設(shè)

L:逆時(shí)針方向,求解:

令則利用格林公式,得Oxy原式例3.計(jì)算其中D是以O(shè)(0,0),A(1,1),

B(0,1)為頂點(diǎn)的三角形閉域.解:令,則利用格林公式,有

例2.計(jì)算其中D

是以O(shè)(0,0),A(1,1),

B(1,0)

為頂點(diǎn)的三角形順時(shí)針方向邊界.

解:xyA(1,1)B(1,0).O(0,0)..原式D的正向?yàn)長(zhǎng)D例3.計(jì)算其中L沿上半圓

由點(diǎn)（1，0）到（0，0）解:作圖示輔助線

L而所以

原式1,則(1,0)(0,0)LxyL1D

:y=0二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件

1.平面單連通區(qū)域的概念：?jiǎn)芜B通區(qū)域

(

無洞區(qū)域

)復(fù)連通區(qū)域

(有洞區(qū)域

)設(shè)D為平面區(qū)域，如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于D，則稱D為平面單連通區(qū)域，否則稱為復(fù)連通區(qū)域。簡(jiǎn)言之，DD定理2.設(shè)D是單連通域

,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(2)對(duì)D內(nèi)任意閉曲線

L,都有(3)曲線積分(1)在D內(nèi)每一點(diǎn)都有在D內(nèi)與路徑無關(guān).函數(shù)則以下三個(gè)命題等價(jià):2.平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件證明(1)(2)設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線,利用格林公式,得所圍區(qū)域?yàn)槎ɡ?證明(2)(3)設(shè)為D內(nèi)任意兩條由A到B的有向曲線，則(根據(jù)條件(1))例5.驗(yàn)證在全平面內(nèi)與,則路徑無關(guān)，并計(jì)算解:令所以