壓軸題專訓(xùn)一二次函數(shù)壓軸題1．如圖①，拋物線y＝－x2＋bx＋c過(guò)點(diǎn)A(－1，0)，點(diǎn)B(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C.在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E(m，0)(0＜m＜3)，過(guò)點(diǎn)E作直線ME⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)M.(1)拋物線的表達(dá)式為

_______________；21y＝－x2＋2x＋3(2)當(dāng)m＝1時(shí)，點(diǎn)D是直線ME上的點(diǎn)且在第一象限內(nèi)．若△ACD是以CA為斜邊的直角三角形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；對(duì)于y＝－x2＋2x＋3，令x＝0，則y＝3，所以C(0，3)．當(dāng)m＝1時(shí)，設(shè)D(1，y)．因?yàn)椤鰽CD是以CA為斜邊的直角三角形，所以AD2＋CD2＝AC2，所以22＋y2＋12＋(3－y)2＝12＋32，解得y1＝1，y2＝2，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，1)或(1，2)．21(3)如圖②，連結(jié)BC交ME于點(diǎn)F，連結(jié)AF，設(shè)△ACF和△BFM的面積分別為S1和S2，當(dāng)S1＝4S2時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．設(shè)直線BC的表達(dá)式為y＝kx＋d，所以直線BC的表達(dá)式為y＝－x＋3.因?yàn)镋(m，0)，ME⊥x軸，所以M(m，－m2＋2m＋3)，F(xiàn)(m，－m＋3)，所以EF＝－m＋3，MF＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m.因?yàn)锳(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)，所以AB＝3－(－1)＝4，OC＝3，BE＝3－m，21所以S1＝S△ACF＝S△ABC－S△ABF＝

AB·(OC－EF)＝

×4×[3－(－m＋3)]＝2m，S2＝S△BFM＝

MF·BE＝

(－m2＋3m)(3－m)．因?yàn)镾1＝4S2，所以2m＝

(－m2＋3m)(3－m)×4，化簡(jiǎn)得m(m2－6m＋8)＝0.因?yàn)?＜m＜3，所以m2－6m＋8＝0，解得m1＝2，m2＝4(不符合題意，舍去)，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2，0)．212.[2024·龍巖二檢]拋物線y＝－

x2＋bx＋c與x軸的交點(diǎn)為A(－2，0)，B(6，0)，頂點(diǎn)為E，對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為D.(1)求拋物線的表達(dá)式；21解：由拋物線y＝－

x2＋bx＋c與x軸的交點(diǎn)為A(－2，0)，B(6，0)，可知拋物線的表達(dá)式為y＝－

(x＋2)(x－6)＝－

x2＋2x＋6.(2)連結(jié)AE，點(diǎn)F在線段DE上，若AE上存在點(diǎn)G，使得∠AFG＝90°，且AF＝FG，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；解：拋物線y＝－

x2＋2x＋6的對(duì)稱軸為直線x＝2，頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2，8)，∴AD＝4，DE＝8.過(guò)點(diǎn)G作GH⊥DE于點(diǎn)H，如圖①.由∠AFG＝∠ADF＝90°，可知∠FAD＝∠GFH.又∵AF＝FG，∠ADF＝∠FHG＝90°，∴△ADF≌△FHG，∴HF＝AD＝4，DF＝GH.設(shè)DF＝GH＝t，則EH＝8－4－t＝4－t.∵GH∥AD，∴△EGH∽△EAD，21(3)點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B，E重合)，直線AP，BP分別與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)M，N，求證：△PEM與△PEN的面積相等．證明：如圖②，設(shè)點(diǎn)P由題意知m≠±2且m≠6，設(shè)直線AP的表達(dá)式為y＝px＋q，依題意，得∴直線AP的表達(dá)式為y＝－

(m－6)x－(m－6)，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝－

(m－6)x－(m－6)＝－2m＋12，21∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，－2m＋12)，∴EM＝|8－(－2m＋12)|＝|2m－4|，同理可求直線BP的表達(dá)式為y＝－

(m＋2)x＋3(m＋2)，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝－

(m＋2)x＋3(m＋2)＝2m＋4，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2，2m＋4)，∴EN＝|2m＋4－8|＝|2m－4|.設(shè)點(diǎn)P到直線MN的距離為h，則