《勾股定理》學(xué)歷案一、學(xué)習(xí)主題勾股定理是數(shù)學(xué)中非常重要的一個定理，我們將圍繞勾股定理展開學(xué)習(xí)，包括它的歷史淵源、定理內(nèi)容、證明方法以及實際應(yīng)用等方面。二、學(xué)習(xí)目標(biāo)1、知識與技能理解勾股定理的概念，能準(zhǔn)確表述勾股定理的內(nèi)容。掌握勾股定理的幾種常見證明方法，如趙爽弦圖證明法、畢達(dá)哥拉斯證明法等。能夠運用勾股定理解決簡單的幾何問題，如已知直角三角形的兩邊求第三邊等。2、過程與方法通過對勾股定理歷史的探究，感受數(shù)學(xué)文化的魅力，提高對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。在勾股定理證明的學(xué)習(xí)過程中，培養(yǎng)邏輯推理能力和空間想象能力。通過實際應(yīng)用勾股定理解決問題，提高數(shù)學(xué)建模能力和解決實際問題的能力。3、情感態(tài)度與價值觀體會數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的重要作用，增強民族自豪感（如中國古代在勾股定理研究方面的卓越成就）。在探索勾股定理的過程中，培養(yǎng)勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神。三、學(xué)習(xí)重難點1、學(xué)習(xí)重點勾股定理的內(nèi)容及證明。勾股定理在實際問題中的應(yīng)用。2、學(xué)習(xí)難點勾股定理的證明，尤其是理解證明過程中的邏輯關(guān)系和幾何變換。如何將實際問題轉(zhuǎn)化為勾股定理的數(shù)學(xué)模型，準(zhǔn)確找到直角三角形的三邊關(guān)系。四、學(xué)習(xí)資源1、教材：數(shù)學(xué)教材中關(guān)于勾股定理的章節(jié)，其中包含定理的闡述、證明示例以及練習(xí)題。2、網(wǎng)絡(luò)資源：可以搜索到勾股定理相關(guān)的歷史故事、多種證明方法的動畫演示以及實際應(yīng)用案例的網(wǎng)站。3、教具：制作直角三角形的模型，用于直觀地展示勾股定理中的三邊關(guān)系。五、學(xué)習(xí)過程1、勾股定理的歷史在中國，早在周朝時期，就有“勾三股四弦五”的記載。古代數(shù)學(xué)家商高提出了“故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五”，這是勾股定理的一個特殊情況的描述。后來，三國時期的趙爽對勾股定理進(jìn)行了詳細(xì)的注釋和證明，他創(chuàng)制了“勾股圓方圖”，也就是我們所說的趙爽弦圖。趙爽弦圖通過對大正方形面積的兩種不同計算方法，巧妙地證明了勾股定理。在西方，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯也發(fā)現(xiàn)了這個定理。傳說他在朋友家做客時，觀察到地面上鋪的正方形大理石磚，以等腰直角三角形斜邊為邊長的正方形面積等于以兩直角邊為邊長的正方形面積之和，從而發(fā)現(xiàn)了勾股定理。由于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在當(dāng)時的影響力，這個定理在西方也被稱為畢達(dá)哥拉斯定理。從古至今，勾股定理在不同的文明和地域中都有各自的發(fā)展歷程，這充分說明了它的重要性和普遍性。2、勾股定理的內(nèi)容直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即a2＋b2＝c2。這個公式簡潔地表達(dá)了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系。例如，一個直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么根據(jù)勾股定理，斜邊的平方等于32+42＝9＋16＝25，所以斜邊c＝5。3、勾股定理的證明（1）趙爽弦圖證明法我們來看趙爽弦圖，它是由四個全等的直角三角形（直角邊分別為a、b，斜邊為c）和一個小正方形組成的大正方形。大正方形的邊長為c，其面積可以表示為c2。同時，大正方形的面積也可以看作是四個直角三角形的面積加上中間小正方形的面積。四個直角三角形的面積為4×（1/2)ab＝2ab，中間小正方形的邊長為(ba)，其面積為(ba)2＝b22ab＋a2。所以大正方形的面積又可以表示為2ab＋b22ab＋a2＝a2＋b2。由于大正方形的面積兩種表示方法相等，所以a2＋b2＝c2，證明了勾股定理。（2）畢達(dá)哥拉斯證明法對于等腰直角三角形，設(shè)直角邊為a，斜邊為c。我們以這個等腰直角三角形為基礎(chǔ)構(gòu)建一個大正方形。大正方形的邊長為(a＋b)，其面積為(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2。這個大正方形內(nèi)部包含了四個等腰直角三角形和一個小正方形。四個等腰直角三角形的面積為4×（1/2)a2＝2a2，小正方形的邊長為c，其面積為c2。所以大正方形的面積又可以表示為2a2+c2。由于大正方形面積的兩種表示相等，即a2＋2ab＋b2＝2a2+c2，又因為在等腰直角三角形中b＝a，化簡可得a2+a2＝c2，即2a2＝c2，對于一般的直角三角形也可以通過類似的構(gòu)造方法證明a2＋b2＝c2。4、勾股定理的應(yīng)用（1）在幾何計算中的應(yīng)用已知直角三角形的兩條邊，求第三條邊是勾股定理最基本的應(yīng)用。例如，已知一個直角三角形的一條直角邊為5，斜邊為13，求另一條直角邊。設(shè)另一條直角邊為x，根據(jù)勾股定理x2+52＝132，即x2＝13252＝16925＝144，所以x＝12。在一些復(fù)雜的幾何圖形中，如果能夠找到直角三角形，也可以利用勾股定理進(jìn)行計算。比如在一個梯形中，已知梯形的高、上底和下底的一部分長度，通過構(gòu)造直角三角形，可以求出其他未知的邊的長度。（2）在實際生活中的應(yīng)用工程測量方面，在測量兩點之間的距離，但是中間有障礙物無法直接測量時，可以利用勾股定理。例如，要測量A、B兩點的距離，在A點向另一個方向引一條直線AC，在AC上找一點D，使∠ADB＝90°，測量出AD和BD的長度，然后根據(jù)勾股定理就可以計算出AB的長度。在航海中，確定船的位置也會用到勾股定理。當(dāng)知道兩個燈塔與船的距離以及兩個燈塔之間的距離時，可以通過勾股定理計算出船相對于燈塔的位置。六、學(xué)習(xí)評價1、課堂提問在講解勾股定理的歷史時，可以提問學(xué)生關(guān)于勾股定理在不同文明中的發(fā)現(xiàn)者等基礎(chǔ)知識，如“中國古代哪位數(shù)學(xué)家對勾股定理有特殊的貢獻(xiàn)？”“畢達(dá)哥拉斯是哪個國家的數(shù)學(xué)家？”等。在講解定理內(nèi)容和證明后，提問學(xué)生勾股定理的公式表達(dá)以及證明過程中的關(guān)鍵步驟，例如“請闡述趙爽弦圖證明勾股定理的核心思路”。2、課后作業(yè)布置一些關(guān)于勾股定理計算的練習(xí)題，如已知直角三角形的兩邊求第三邊的數(shù)值計算。給出一些實際生活中的問題，要求學(xué)生運用勾股定理建立數(shù)學(xué)模型并解決問題，如根據(jù)給出的建筑物高度和影子長度，計算太陽光線與地面的夾角等。3、測試在一個單元學(xué)習(xí)結(jié)束后，進(jìn)行一次小測試，測試內(nèi)容包括勾股定理的歷史、內(nèi)容、證明方法以及各種應(yīng)用題型，全面考查學(xué)生對勾股定理的掌握程度。七、學(xué)習(xí)拓展1、勾股數(shù)滿足勾股定理a2＋b2＝c2的正整數(shù)組(a,b,c)稱為勾股數(shù)，如(3,4,5)、（5,12,13)等。探究勾股數(shù)的規(guī)律是一個有趣的數(shù)學(xué)課題?？梢砸龑?dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一些簡單的勾股數(shù)生成規(guī)律，例如，當(dāng)m>n且m、n為正整數(shù)時，a＝m2n2，b＝2mn，c＝m2＋n2構(gòu)成一組勾股數(shù)。2、勾股定理的推廣在平面直角三角形中的勾股定理可以推廣到三維空間中的直角四面體。直角四面體中三個直角面的面積的平方和等于斜面的面積的平方。這是勾股定理在高維空間中的一種延伸，可以讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)定理的發(fā)展和推廣的思想。3、與其他數(shù)學(xué)知識的聯(lián)