2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國(guó)版）

第三章函數(shù)

3.5二次函數(shù)的應(yīng)用

考點(diǎn)分布考查頻率命題趨勢(shì)

考點(diǎn)1拋物線與線段長(zhǎng)、數(shù)學(xué)中考中，有關(guān)二次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用的部分，每年若

☆☆

面積、角度考查會(huì)出現(xiàn)1道題,分值為3~10分，通常以選擇題、

填空題、解答題的形式考查。對(duì)于這部分知識(shí)的復(fù)習(xí)

考點(diǎn)2二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)

☆☆

需要學(xué)生熟練平時(shí)多訓(xùn)練，掌握解題技巧，會(huì)根據(jù)實(shí)

用

際問(wèn)題建立二次函數(shù)模型，求出函數(shù)解析式，會(huì)求解

考點(diǎn)3二次函數(shù)圖象中的

二次函數(shù)極值，注意自變量取值范圍，應(yīng)用二次函數(shù)

☆☆

斜三角形面積問(wèn)題

知識(shí)解答。

☆☆☆代表必考點(diǎn)，☆☆代表常考點(diǎn)，☆星表示選考點(diǎn)。

夯實(shí)基礎(chǔ)

考點(diǎn)1.拋物線與線段長(zhǎng)、面積、角度

此類問(wèn)題一般是通過(guò)分析動(dòng)點(diǎn)在幾何圖形邊上的運(yùn)動(dòng)情況，確定出有關(guān)動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象的變化情況．分

析此類問(wèn)題，首先要明確動(dòng)點(diǎn)在哪條邊上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中引起了哪個(gè)量的變化，然后求出在運(yùn)動(dòng)

過(guò)程中對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，最后根據(jù)函數(shù)表達(dá)式判別圖象的變化．

1.線段問(wèn)題

（1）確定線段長(zhǎng)關(guān)系式（根據(jù)已知線段關(guān)系求點(diǎn)坐標(biāo)）：先在圖中找出對(duì)應(yīng)線段，弄清已知點(diǎn)和未

知點(diǎn)；再聯(lián)系二次函數(shù)和一次函數(shù)，設(shè)出未知點(diǎn)的坐標(biāo)，使其只含一個(gè)未知數(shù)；繼而表示出線段的長(zhǎng)

度（如果該線段與坐標(biāo)軸平行的話，則利用橫縱坐標(biāo)相加減確定；如果與坐標(biāo)軸不平行的話，先轉(zhuǎn)化

為有邊在與坐標(biāo)軸平行的三角形中，再利用勾股定理、銳角三角函數(shù)或相似確定）.

（2）線段數(shù)量關(guān)系問(wèn)題：根據(jù)前面所得的線段長(zhǎng)的關(guān)系式，結(jié)合題干列出滿足線段數(shù)量關(guān)系的方程

，解方程求解即可（注意排除不符合題意的數(shù)值）

（3）線段最值問(wèn)題：求兩條線段和差、三角形周長(zhǎng)、四邊形周長(zhǎng)等一類最值問(wèn)題，首先聯(lián)想到“對(duì)

稱性質(zhì)”，并進(jìn)行解決。

2.面積問(wèn)題

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)或圖形運(yùn)動(dòng)的時(shí)間并表示出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出圖形的面積；

（3）用二次函數(shù)的知識(shí)來(lái)求最大值或最小值時(shí)，常采用配方法求解；

（4）特別注意，當(dāng)所研究的圖形在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中發(fā)生變化，要根據(jù)圖形的形狀進(jìn)行分類討論，注意分

析整個(gè)過(guò)程中圖形的變化情況，以防漏解.分類討論時(shí)要注意在每一種情況下的自變量的取值范圍.

求面積最值時(shí)，分別求出圖形的面積在每種情況下的最值，比較即可得到面積的最值.

（5）面積為定值時(shí)，可將圖形面積與圖形中動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合起來(lái)，列方程求得參數(shù)的值即可求得點(diǎn)

坐標(biāo).

3.角問(wèn)題

將二次函數(shù)圖像上的三角形三頂點(diǎn)坐標(biāo)求出，可以求出三邊長(zhǎng)度，作高，利用三角函數(shù)的定義求出角

的正弦、或余弦、或正切值，最后得出角的大小。

考點(diǎn)2.二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

在生活中，我們常會(huì)遇到與二次函數(shù)及其圖象有關(guān)的問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的一般思路：首先要讀

懂題意，弄清題目中牽連的幾個(gè)量的關(guān)系，并且建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，再根據(jù)題目中的已知條件建

立數(shù)學(xué)模型，即列出函數(shù)關(guān)系式，然后運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)去解決實(shí)際問(wèn)題．主要考

查的類型有：

1.幾何圖形的最大面積問(wèn)題

（1）求出函數(shù)解析式和自變量的取值范圍；

（2）配方變形，或利用公式求它的最大值或最小值,

（3）檢查求得的最大值或最小值對(duì)應(yīng)的自變量的值必須在自變量的取值范圍內(nèi).

【提示】求幾何圖形最大最小面積時(shí)需要考慮兩個(gè)方面

一個(gè)關(guān)鍵：依據(jù)常見幾何圖形的面積公式，建立函數(shù)關(guān)系式；

一個(gè)注意：最值有時(shí)不在頂點(diǎn)處，則要利用函數(shù)的增減性來(lái)確定。

2.商品利潤(rùn)最大問(wèn)題

求解最大利潤(rùn)問(wèn)題的一般步驟

（1）建立利潤(rùn)與價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系式：

運(yùn)用“總利潤(rùn)=總售價(jià)-總成本”或“總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)

×銷售量”

（2）結(jié)合實(shí)際意義，確定自變量的取值范圍；

（3）在自變量的取值范圍內(nèi)確定最大利潤(rùn)：

可以利用配方法或公式求出最大利潤(rùn)；也可以畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，利用簡(jiǎn)圖和性質(zhì)求出.

3.拱橋問(wèn)題和運(yùn)動(dòng)中的拋物線問(wèn)題

【重要提醒】求二次函數(shù)的最大（或最小）值思路

當(dāng)自變量的范圍有限制時(shí)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的最值可以根據(jù)以下步驟

來(lái)確定：

1.配方，求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸.

2.畫出函數(shù)圖象，標(biāo)明對(duì)稱軸，并在橫坐標(biāo)上標(biāo)明x的取值范圍.

3.判斷，判斷x的取值范圍與對(duì)稱軸的位置關(guān)系.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，確定當(dāng)x取何值時(shí)函數(shù)有最

大或最小值.然后根據(jù)x的值，求出函數(shù)的最值.

考點(diǎn)3.二次函數(shù)圖象中的斜三角形面積問(wèn)題

分別表示出三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，再表示出三邊的長(zhǎng)度，分類討論，列方程解出坐標(biāo).

通過(guò)作垂線，用勾股定理或相似建立等量關(guān)系求解三角形高，利用三角形面積公式求出其面積.

【易錯(cuò)點(diǎn)提示】二次函數(shù)存在點(diǎn)的問(wèn)題

1.解決二次函數(shù)存在點(diǎn)問(wèn)題，一般先假設(shè)該點(diǎn)存在，根據(jù)該點(diǎn)所在的直線或拋物線的表達(dá)式，設(shè)出

該點(diǎn)的坐標(biāo)；然后用該點(diǎn)的坐標(biāo)表示出與該點(diǎn)有關(guān)的線段長(zhǎng)或其他點(diǎn)的坐標(biāo)等；最后結(jié)合題干中其他

條件列出等式，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，然后判別該點(diǎn)坐標(biāo)是否符合題意，若符合題意，則該點(diǎn)存在，否則

該點(diǎn)不存在．

2.函數(shù)壓軸題主要分為兩大類：一是動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象問(wèn)題；二是與動(dòng)點(diǎn)、存在點(diǎn)、相似等有關(guān)的二次

函數(shù)綜合題．

（1）解答動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象問(wèn)題，要把問(wèn)題拆分，分清動(dòng)點(diǎn)在不同位置運(yùn)動(dòng)或不同時(shí)間段運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)應(yīng)的

函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而確定函數(shù)圖象；

（2）解決二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，首先要明確動(dòng)點(diǎn)在哪條直線或拋物線上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度是多少，結(jié)合

直線或拋物線的表達(dá)式設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或表示出與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的線段長(zhǎng)度，最后結(jié)合題干中與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)

的條件進(jìn)行計(jì)算．

考點(diǎn)1拋物線與線段長(zhǎng)、面積、角度

1

yx3xa

【例題1】（2024甘肅）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線4與x軸交于A，

B4,0兩點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸上，且OCOB，D，E分別是線段AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D，E不

與點(diǎn)A，B，C重合）．

（1）求此拋物線的表達(dá)式；

（2）連接DE并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)P，當(dāng)DEx軸，且AE1時(shí)，求DP的長(zhǎng)；

（3）連接BD．

①如圖2，將△BCD沿x軸翻折得到BFG，當(dāng)點(diǎn)G在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

②如圖3，連接CE，當(dāng)CDAE時(shí)，求BDCE的最小值．

12117420

【答案】（1）yxx3（2）（3）①G,；②97

44639

【解析】【分析】（1）把點(diǎn)B代入拋物線關(guān)系式，求出a的值，即可得出拋物線的關(guān)系式；

1

（2）根據(jù)拋物線yx3x4可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)AE1，利用三角函

4

數(shù)，求出DE的長(zhǎng)，再求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)P與點(diǎn)E的橫坐標(biāo)相同，得出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，代入

拋物線的關(guān)系式，求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，即可得出EP的值，最后求出DP的值即可；

（3）①連接DG交AB于點(diǎn)M，設(shè)OMaa0，則AMOAOM3a，求出

44

MGMDAMtanCAO3a，得出點(diǎn)Ga,a3，將其代入拋物線關(guān)系式，列

33

出關(guān)于a的方程，解方程，求出a的值，即可得出G的坐標(biāo)；

②在AB下方作EAQDCB且AQBC，連接EQ，CQ，證明△AEQ△CDB，得出

EQBD，說(shuō)明當(dāng)C，E，Q三點(diǎn)共線時(shí)，BDCEEQCE最小，最小為CQ，過(guò)C作CHAQ，

垂足為H，先證明∠CAH=45°，算出AC長(zhǎng)度，即可求出CH、AH，得出HQ，最后根據(jù)勾股定理

求出CQ的長(zhǎng)度即可得出結(jié)果．

1

【詳解】（1）∵B4,0在拋物線yx3xa上，

4

1

∴434a0，解得a4，

4

111

∴yx3x4，即yx2x3；

444

1

（2）在yx3x4中，令y0，得x3，x4，

412

∴A3,0，OA3，

∵OCOB4，

∴C0,4，

∵AE1，

OC44

∴DEAEtanCAOAE1，

OA33

OEOAAE312，

∴E2,0，

∵DEx軸，

∴xPxDxE2，

13

∴y2324，

P42

3

∴PE，

2

4317

∴DPDEPE．

326

（3）①連接DG交AB于點(diǎn)M，如圖1所示：

∵△BCD與BFG關(guān)于x軸對(duì)稱，

∴DGAB，DMGM，

設(shè)OMaa0，則AMOAOM3a，

4

MGMDAMtanCAO3a，

3

4

∴Ga,a3，

3

41

∵點(diǎn)Ga,a3在拋物線yx3x4上，

34

14

∴a3a4a3，

43

4

解得a3（舍去），a，

123

420

∴G,；

39

②在AB下方作EAQDCB且AQBC，連接EQ，CQ，如圖2所示：

∵AECD，

∴△AEQ△CDBSAS，

∴EQBD，

∴當(dāng)C，E，Q三點(diǎn)共線時(shí)，BDCEEQCE最小，最小為CQ，

過(guò)C作CHAQ，垂足為H，

∵OC^OB，OCOB4，

∴CBA45，BC42，

∵CAH180CABEAQ180CABDCBCBA45，

252

ACOA2OC232425，AHCHAC，

22

52132

HQAHAQAHBC42，

22

∴CQCH2HQ2

22

52132

22

97，

即BDCE的最小值為97．

【變式練1】（2024山東泰安一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l:ya(x2)(a0)與x軸交

于點(diǎn)A，與拋物線E:yax2交于B，C兩點(diǎn)（B在C的左邊）．

（1）求A點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖1，若B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)A，B，C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，

求實(shí)數(shù)a的值；

（3）定義：將平面直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫作格點(diǎn)，如2,1，2,0等均為

格點(diǎn)．如圖2，直線l與拋物線E所圍成的封閉圖形即陰影部分（不包含邊界）中的格點(diǎn)數(shù)恰好是26

個(gè)，求a的取值范圍．

151320

【答案】（1）2，0（2）a1或a；（3）a或a7．

523

【解析】【分析】（1）對(duì)于直線l:yax2，令y0，求出x，即可求解；

（2）表示出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，利用勾股定理解方程求解，注意直角頂點(diǎn)不確定，需分類討論；

（3）直線l與拋物線E所圍成的封閉圖形（不包含邊界）中的格點(diǎn)只能落在y軸和直線x1上，各

為13個(gè)，分別求出a的范圍．

【小問(wèn)1詳解】

解：對(duì)于直線l:yax2，

當(dāng)y0時(shí)，x2，

∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為2,0；

【小問(wèn)2詳解】

解：聯(lián)立直線l:ya(x2)與拋物線E:yax2得：

ya(x2)

，

2

yax

x2x20，

x1或x2，

B(1，a)，C(2，4a)，

B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B點(diǎn)，

B(1，a)，

AB2(21)2(0a)2a21，

AC2(22)2(4a0)216a216，

BC2(21)2(4aa)225a29，

若CAB90，則AB2AC2BC2，即a2116a21625a29，所以a1，

15

若ABC90，則AB2BC2AC2，即a2125a2916a216，所以a，

5

若ACB90，則AC2BC2AB2，即16a21625a29a21，此方程無(wú)解．

15

a1或a；

5

【小問(wèn)3詳解】

解：如圖，直線l與拋物線E所圍成的封閉圖形（不包含邊界）中的格點(diǎn)只能落在y軸和直線x1上，

D(0，2a)，E(1，a)，F(xiàn)(1，3a)，

ODEF2a，

格點(diǎn)數(shù)恰好是26個(gè)，

落在y軸和直線x1上的格點(diǎn)數(shù)應(yīng)各為13個(gè)，

13

落在y軸的格點(diǎn)應(yīng)滿足132a14，即a7，

2

1313

①若a7，即y7，

22E

所以線段EF上的格點(diǎn)應(yīng)該為(1,7)，(1，8)(1，19)，

193a20

1920

a

33

1320

a

23

②若a7，yE7，yF21，所以線段EF上的格點(diǎn)正好13個(gè)，

1320

綜上，a或a7．

23

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，

勾股定理，關(guān)鍵是弄清格點(diǎn)只能落在y軸和直線x1上，各為13個(gè)，并對(duì)點(diǎn)D、F進(jìn)行定位．

29

【變式練2】（2024湖北一模）已知拋物線yaxxc與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B兩點(diǎn)，與y

4

軸交于點(diǎn)C0,3．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B，C重合），作PDx軸，垂足為D，連接PC．

①如圖1，若點(diǎn)P在第三象限，且CPD45，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②直線PD交直線BC于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)E關(guān)于直線PC的對(duì)稱點(diǎn)E落在y軸上時(shí)，求四邊形PECE的

周長(zhǎng)．

3295148535

【答案】（1）yxx3（2）①P,；②或

443333

【解析】

【分析】（1）把點(diǎn)A(1,0)，C0,3代入，即可求解；

（2）①過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥DP于點(diǎn)Q，可得△CPQ為等腰直角三角形，從而得到PQ=CQ，設(shè)點(diǎn)

32939

Pm,mm3，則OD=-m，PDm2m3，再由四邊形OCQD為矩形，可得

4444

39

QC=OD=PQ=-m，DQ=OC=3，從而得到PQm2m，即可求解；②過(guò)點(diǎn)E作EM∥x軸于點(diǎn)

44

33

M，先求出直線BC的解析式為yx3，證得四邊形PECE為菱形，可得CEPEt23t，

44

3293

然后根據(jù)△CEM∽△CBO，設(shè)點(diǎn)Pt,tt3，則點(diǎn)Et,t3，然后分三種情況討論，

444

即可求解．

解：（1）把點(diǎn)A(1,0)，C0,3代入得：

93

ac0a

4，解得：4，

c3c3

39

∴拋物線解析式為yx2x3；

44

（2）解：①如圖，過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥DP于點(diǎn)Q，

∵點(diǎn)C（0，-3），∴OC=3，

∵CPD45，

∴△CPQ為等腰直角三角形，∴CQ=PQ，

32939

設(shè)點(diǎn)Pm,mm3，則OD=-m，PDm2m3，

4444

∵PDx軸，

∴∠COD=∠ODQ=∠CQD=90°，

∴四邊形OCQD為矩形，

∴QC=OD=PQ=-m，DQ=OC=3，

3939

∴PQDPDQm2m33m2m，

4444

39

∴mm2m，

44

5

解得：m或0（舍去），

3

514

∴點(diǎn)P,；

33

②如圖，過(guò)點(diǎn)E作EM∥x軸于點(diǎn)M，

39

令y=0，x2x30，

44

解得：x14,x21（舍去），

∴點(diǎn)B（-4，0），

∴OB=4，

∴BCOB2OC25，

設(shè)直線BC的解析式為ykxnk0，

把點(diǎn)B（-4，0），C（0，-3）代入得：

3

4kn0k

，解得：4，

n3

n3

3

∴直線BC的解析式為yx3，

4

∵點(diǎn)E關(guān)于直線PC的對(duì)稱點(diǎn)E落在y軸上時(shí)，

∴CECE，PEPE，PCEPCE，

∵DP⊥x軸，

∴PD∥CE′，

∴CPEPCE，

∴CPEPCE，

∴CE=PE，

∴PEPECECE，

∴四邊形PECE為菱形，

∵EM∥x軸，

∴△CEM∽△CBO，

EMCE

∴，

OBBC

3293

設(shè)點(diǎn)Pt,tt3，則點(diǎn)Et,t3，

444

當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，EM=-t，

332932

當(dāng)-4＜t＜0時(shí)，PEt3tt3t3t，

4444

3

∴CEPEt23t，

4

3

t23t

∴t，

4

45

7

解得：t或0（舍去），

3

335

∴PEt23t，

412

3535

∴四邊形PECE的周長(zhǎng)為4PE4；

123

當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)時(shí)，EM=-t，

329332

當(dāng)t≤-4時(shí)，PEtt3t3t3t，

4444

3

t23t17

∴t4，解得：t或0（舍去），

3

45

385

此時(shí)PEt23t，

412

8585

∴四邊形PECE的周長(zhǎng)為4PE4；

123

329332

當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)，即t＞0時(shí)，EM=t，PEtt3t3t3t，

4444

3

t23t7

∴t4，解得：t或0，

3

45

不符合題意，舍去；

8535

綜上所述，四邊形PECE的周長(zhǎng)為或．

33

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、對(duì)稱的性質(zhì)和

菱形的判定方法；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會(huì)利用相似比計(jì)算線段的

長(zhǎng)和解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)2二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

【例題2】（2024甘肅威武）如圖1為一汽車停車棚，其棚頂?shù)臋M截面可以看作是拋物線的一部分，

如圖2是棚頂?shù)呢Q直高度y（單位：m）與距離停車棚支柱AO的水平距離x（單位：m）近似滿足

函數(shù)關(guān)系y0.02x20.3x1.6的圖象，點(diǎn)B6，2.68在圖象上．若一輛箱式貨車需在停車棚下避

雨，貨車截面看作長(zhǎng)CD4m，高DE1.8m的矩形，則可判定貨車________完全停到車棚內(nèi)（填

“能”或“不能”）．

【答案】能

【解析】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意求出當(dāng)x2時(shí)，y的值，若此時(shí)y的值大于

1.8，則貨車能完全停到車棚內(nèi)，反之，不能，據(jù)此求解即可．

【詳解】解：∵CD4m，B6，2.68，

∴642，

在y0.02x20.3x1.6中，當(dāng)x2時(shí)，y0.02220.321.62.12，

∵2.121.8，

∴可判定貨車能完全停到車棚內(nèi)．

【變式練1】（2024廣州一模）如圖1，是某次排球比賽中運(yùn)動(dòng)員墊球時(shí)的動(dòng)作，墊球后排球的運(yùn)動(dòng)

路線可近似地看作拋物線，在圖2所示的平面直角坐標(biāo)系中，運(yùn)動(dòng)員墊球時(shí)（圖2中點(diǎn)A）離球網(wǎng)的

水平距離為5米，排球與地面的垂直距離為0.5米，排球在球網(wǎng)上端0.26米處（圖2中點(diǎn)B）越過(guò)球

網(wǎng)（女子排球賽中球網(wǎng)上端距地面的高度為2.24米），落地時(shí)（圖2中點(diǎn)C）距球網(wǎng)的水平距離為

2.5米，則排球運(yùn)動(dòng)路線的函數(shù)表達(dá)式為（）．

14851485

A．yx2xB．yx2x

7515275152

14851485

C．yx2xD．yx2x

7515275152

【答案】A

【解析】根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的圖象，得出圖中A、B、C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式

即可．

5

0.262.242.5（米）

2

155

根據(jù)題意和所建立的坐標(biāo)系可知，A（-5，），B（0，），C（，0），

222

設(shè)排球運(yùn)動(dòng)路線的函數(shù)關(guān)系式為y=ax2+bx+c，將A、B、C的坐標(biāo)代入得：

1

2a5bc

2

5

c，

2

255

abc0

42

1485

解得，a,b,c，

75152

1485

∴排球運(yùn)動(dòng)路線的函數(shù)關(guān)系式為yx2x

75152

【變式練2】（2024四川南充一模）如圖，水池中心點(diǎn)O處豎直安裝一水管，水管噴頭噴出拋物線

形水柱，噴頭上下移動(dòng)時(shí)，拋物線形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點(diǎn)與點(diǎn)O在同一水平面．安裝

師傅調(diào)試發(fā)現(xiàn)，噴頭高2.5m時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)2.5m；噴頭高4m時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)3m．那

么噴頭高_(dá)_____m時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)4m．

【答案】5.5

2

【解析】【分析】設(shè)原拋物線的解析式為yaxhb，當(dāng)向上移動(dòng)1.5米到4米高度時(shí)，拋

2

物線解析式為：yaxhb1.5，將兩個(gè)交點(diǎn)分別代入求解確定原解析式，設(shè)向上平移k個(gè)

2

1749

單位后，yaxk，將點(diǎn)（4,0）代入求解，然后結(jié)合題意即可得出結(jié)果．

416

2

【詳解】解：設(shè)原拋物線的解析式為yaxhb，根據(jù)題意可得，與x軸交于點(diǎn)（2.5,0）代入

得：

2

0a2.5hb①，

當(dāng)向上移動(dòng)1.5米到4米高度時(shí)，

2

拋物線解析式為：yaxhb1.5，與x軸交于點(diǎn)（4,0），代入得

2

0a4hb1.5②，

聯(lián)立①②求解可得：

311

h

2a4

，

13

ba()2

42a

∴將其代入②解得a1，

2

311132

∴原拋物線的解析式為yxa()，

2a442a

設(shè)向上平移k個(gè)單位后，

2

311132

∴yxa()k

2a442a

與x軸交點(diǎn)為（4,0），代入得：

2

311132

04a()k

2a442a

解得：k=3，

∴原拋物線向上移動(dòng)3個(gè)單位，

即噴頭高3+2.5=5.5米．

【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，設(shè)出二次函數(shù)的解析式，然后利用待定系數(shù)法求

解是解題關(guān)鍵．

考點(diǎn)3二次函數(shù)圖象中的斜三角形面積問(wèn)題

【例題3】（2024江蘇揚(yáng)州）如圖，已知二次函數(shù)yx2bxc的圖像與x軸交于A(2,0)，B(1,0)

兩點(diǎn)．

（1）求b、c的值；

（2）若點(diǎn)P在該二次函數(shù)的圖像上，且PAB的面積為6，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【答案】（1）b1，c2

，，，

（2）P1(24)P2(34)

【解析】【分析】本題主要考查二次函數(shù)與幾何圖形的綜合，掌握待定系數(shù)法求解析式，解一元二次

方程的方法是解題的關(guān)鍵．

（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解；

（2）根據(jù)題意設(shè)Pm,n，結(jié)合幾何圖形面積計(jì)算方法可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，代入后解一元二次方程

即可求解．

【小問(wèn)1詳解】

解：二次函數(shù)yx2bxc的圖像與x軸交于A(2,0)，B(1,0)兩點(diǎn)，

42bc0

∴，

1bc0

b1

解得，，

c2

∴b1，c2；

【小問(wèn)2詳解】

解：由（1）可知二次函數(shù)解析式為：yx2x2，A(2,0)，B(1,0)，

∴AB1(2)3，

設(shè)Pm,n，

1

∴SAB·n6，

PAB2

∴n4，

∴n4，

∴當(dāng)x2x24時(shí)，1870，無(wú)解，不符合題意，舍去；

當(dāng)2時(shí)，，；

xx24x13x22

，，，

∴P1(24)P2(34)．

【變式練1】（2024湖北武漢一模）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+mx+n的圖象經(jīng)過(guò)A（0，6），且對(duì)

稱軸是直線x＝2.5．

（1）求該函數(shù)解析式；

（2）在拋物線上找點(diǎn)P，使△PBC的面積1，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【答案】（1）y＝x2﹣5x+6；

（2）（1，2）和（4，2）．

【解析】（1）由題意得，

，

解得，

∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣5x+6；

（2）令y＝0，

則x2﹣5x+6＝0，

解得x1＝2，x2＝3，

∴B（2，0），C（3，0），

設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m，

∵△PBC的面積1，

∴，

解得m＝±2，

當(dāng)m＝2時(shí)，x2﹣5x+6＝2，

解得x1＝1，x2＝4；

當(dāng)m＝﹣2時(shí)，x2﹣5x+6＝﹣2，即x2﹣5x+8＝0，

Δ＝（﹣5）2﹣4×1×8＝25﹣32＝﹣7＜0，

∴此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，

故舍去m＝﹣2，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，2）和（4，2）．

【變式練2】（2024廣州一模）如圖，拋物線yx2bxc過(guò)點(diǎn)A1,0、點(diǎn)B5,0，交y軸于

點(diǎn)C．

（1）求b，c的值．

（2）點(diǎn)Px0,y00x05是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)

①當(dāng)x0取何值時(shí)，PBC的面積最大？并求出PBC面積的最大值；

②過(guò)點(diǎn)P作PEx軸，交BC于點(diǎn)E，再過(guò)點(diǎn)P作PF∥x軸，交拋物線于點(diǎn)F，連接EF，問(wèn)：

是否存在點(diǎn)P，使PEF為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）b4，c5

5125

（）①當(dāng)時(shí)，的面積由最大值，最大值為；

2x0PBC

28

7333333

②當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,或4,5時(shí)，PEF為等腰直角三角形

22

【解析】【分析】（1）將將A1,0、B5,0代入拋物線yx2bxc即可求解；

（2）①由（1）可知：yx24x5，得C0,5，可求得BC的解析式為yx5，過(guò)點(diǎn)P作PEx

軸，交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，易得2，根據(jù)的面積

BCExQPEyEy0x05x0PBC

112

，可得的面積55125，

S△PECS△PEBPBCPEx0xCPExBx0x0

22228

即可求解；

4

②由題意可知拋物線的對(duì)稱軸為x對(duì)2，則x4x，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸左

21F0

側(cè)時(shí)，即0x02時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，即2x05時(shí)，分別進(jìn)行討論求解即可．

【小問(wèn)1詳解】

解：將A1,0、B5,0代入拋物線yx2bxc中，

1bc0b4

可得：，解得：，

255bc0c5

即：b4，c5；

【小問(wèn)2詳解】

①由（1）可知：yx24x5，

當(dāng)x0時(shí)，y5，即C0,5，

設(shè)BC的解析式為：ykxb，

將B5,0，C0,5代入ykxb中，

5kb0k1

可得，解得：，

b5b5

∴BC的解析式為：yx5，

過(guò)點(diǎn)P作PEx軸，交BC于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)Q，

2

∵Px0,y00x05，則y0x04x05，

∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)也為x0，則縱坐標(biāo)為yEx05，

22

∴PEyEy0x05x04x05x05x0，

PBC的面積S△PECS△PEB

11

PExxPExx

20C2B0

1

PExx

2BC

52

x05x0

2

2

55125，

x0

228

5

∵0，

2

5125

∴當(dāng)時(shí)，的面積有最大值，最大值為；

x0PBC

28

7333333

②存在，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,或4,5時(shí)，PEF為等腰直角三角形．

22

2

理由如下：由①可知PEx05x0，

4

由題意可知拋物線的對(duì)稱軸為直線x對(duì)2，

21

∵PF∥x軸，

x0xF

∴EPF90，x對(duì)2，則x4x，

2F0

當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，即0x02時(shí)，

PFxFx042x0，當(dāng)PEPF時(shí)，PEF為等腰直角三角形，

22

即：x05x042x0，整理得：x07x040，

733733

解得：x（x2，不符合題意，舍去）

0202

7333333

此時(shí)23333，即點(diǎn)P,；

y0x04x05

222

當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，即2x05時(shí)，

PFx0xF2x04，當(dāng)PEPF時(shí)，PEF為等腰直角三角形，

22

即：x05x02x04，整理得：x03x040，

解得：x04（x012，不符合題意，舍去）

2

此時(shí)：y044455，即點(diǎn)P4,5；

7333333

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,或4,5時(shí)，PEF為等腰直角三角形．

22

【點(diǎn)睛】本題二次函數(shù)綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)及圖象上的點(diǎn)

的特點(diǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)行分類討論．

考點(diǎn)1拋物線與線段長(zhǎng)、面積、角度

1.（2024甘肅臨夏）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yx2bxc與x軸交于A1,0，B3,0

兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，作直線BC．

（1）求拋物線的解析式．

（2）如圖1，點(diǎn)P是線段BC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQBC，垂足為Q，請(qǐng)問(wèn)線段PQ

是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）如圖2，點(diǎn)M是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作線段MN∥OC（點(diǎn)N在直線BC下方），已知

MN2，若線段MN與拋物線有交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM的取值范圍．

【答案】（1）yx22x3

9315

（2）存在，最大值是2，P,

824

317317

（3）x0或3x

2MM2

【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論

的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．

（1）兩點(diǎn)式直接求出函數(shù)解析式即可；

2

（2）過(guò)點(diǎn)P作PEx軸，交BC于點(diǎn)D，設(shè)Pm,m2m3，根據(jù)三角函數(shù)得到

PQPDcosOBC，得到當(dāng)PD最大時(shí)，PQ的值最大，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可；

（3）設(shè)Mt,t3，得到xNt，求出點(diǎn)N恰好在拋物線上且MN2時(shí)的t值，即可得出結(jié)果．

【小問(wèn)1詳解】

解：∵拋物線yx2bxc與x軸交于A1,0，B3,0兩點(diǎn)，

∴yx1x3，

∴yx22x3；

【小問(wèn)2詳解】

存在；

∵yx22x3，

∴當(dāng)x0時(shí)，y3，

∴C0,3，

∵B3,0，

∴OC3OB，

∴OBC45，

設(shè)直線BC的解析式為：ykx3，把B3,0代入，得：k1，

∴yx3，

2

過(guò)點(diǎn)P作PEx軸，交BC于點(diǎn)D，設(shè)Pm,m2m3，則：Dm,m3，

2

2239

∴PDm2m3m3m3mm，

24

∵PQBC，

∴PQD90PEB，

∵PDQBDE，

∴DPQOBC45，

2

∴PQPDcos45PD，

2

∴當(dāng)PD最大時(shí)，PQ最大，

2

39

∵PDm，

24

399

∴當(dāng)m時(shí)，PD的最大值為，此時(shí)PQ最大，為2，

248

315

∴P,；

24

【小問(wèn)3詳解】

設(shè)Mt,t3，則：xNt，

當(dāng)點(diǎn)N恰好在拋物線上時(shí)，則：Nt,t22t3，

∴MNt3t22t3t23t，

當(dāng)MN2時(shí)，則：t23t2，

317317

解得：t或t，

22

∵線段MN與拋物線有交點(diǎn)，

317317

∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍是x0或3x．

2MM2

2

2.（2024甘肅威武）如圖1，拋物線yaxhk交x軸于O，A4,0兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為B2,23．點(diǎn)

C為OB的中點(diǎn)．

（1）求拋物線ya(xh)2k的表達(dá)式；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CHOA，垂足為H，交拋物線于點(diǎn)E．求線段CE的長(zhǎng)．

（3）點(diǎn)D為線段OA上一動(dòng)點(diǎn)（O點(diǎn)除外），在OC右側(cè)作平行四邊形OCFD．

①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F落在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

②如圖3，連接BD，BF，求BDBF的最小值．

33

【答案】（1）yx223x（2）（3）①F22,3②27

22

【解析】

【小問(wèn)1詳解】

∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為B2,23．

設(shè)拋物線ya(x2)223，

2

把A4,0代入解析式，得a42230，

3

解得a，

2

323

∴yx223x223x．

22

【小問(wèn)2詳解】

∵頂點(diǎn)為B2,23．點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，

∴C1,3，

∵CHOA，

∴CH∥y軸，

∴E的橫坐標(biāo)為1，

設(shè)E1,m，

333

當(dāng)x1時(shí)，m23，

22

33

∴E1,．

2

333

∴CE3．

22

【小問(wèn)3詳解】

①根據(jù)題意，得C1,3，

∵四邊形OCFD是平行四邊形，

∴點(diǎn)C，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)相同，

設(shè)Fm,3，

∵點(diǎn)F落在拋物線上，

3

∴3m223m，

2

解得，(舍去)；

m122m222

故F22,3．

②過(guò)點(diǎn)B作BNy軸于點(diǎn)N，作點(diǎn)D關(guān)于直線BN的對(duì)稱點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GHy軸于點(diǎn)H，連

接DG，CH，F(xiàn)G，

則四邊形ODGH是矩形，

∴ODHG,ODHG，

∵四邊形OCFD是平行四邊形，

∴ODCF,ODCF，

∴GHCF,GHCF，

∴四邊形CFGH是平行四邊形，

∴FGCH，

∵BGBFFG，

故當(dāng)B、G、F三點(diǎn)共線時(shí)，BGBF取得最小值，

∵BGBD，

∴BGBF的最小值，就是BDBF的最小值，且最小值就是CH，

延長(zhǎng)FC交y軸于點(diǎn)M，

∵OD∥CF，

∴HMCHOD90，

∵C1,3，

∴CM1,OM3，

∵B2,23，

∴ONNH23，

∴HMONNHOM33，

∴HCCM2HM22827，

故BDBF的最小值是27．

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的

判定和性質(zhì)，勾股定理，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求線段和的最小值，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，軸對(duì)稱

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)2二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

1.（2024四川自貢）九（1）班勞動(dòng)實(shí)踐基地內(nèi)有一塊面積足夠大的平整空地．地上兩段圍墻ABCD

于點(diǎn)O（如圖），其中AB上的EO段圍墻空缺．同學(xué)們測(cè)得AE6.6m，OE1.4m，OB6m，

OC5m，OD3m．班長(zhǎng)買來(lái)可切斷的圍欄16m，準(zhǔn)備利用已有圍墻，圍出一塊封閉的矩形菜地，

則該菜地最大面積是________cm2．

【答案】46.4

【解析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用．要利用圍墻和圍欄圍成一個(gè)面積最大的封閉的矩形菜地，那就

必須盡量使用原來(lái)的圍墻，觀察圖形，利用AO和OC才能使該矩形菜地面積最大，分情況，利用矩

形的面積公式列出二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．

【詳解】要使該矩形菜地面積最大，則要利用AO和OC構(gòu)成矩形，

設(shè)矩形在射線OA上的一段長(zhǎng)為xm，矩形菜地面積為S，

當(dāng)x8時(shí)，如