2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國(guó)版）

第四章三角形及四邊形

4.6特殊的平行四邊形

考點(diǎn)分布考查頻率命題趨勢(shì)

數(shù)學(xué)中考中，有關(guān)特殊的平行四邊形的部分，

考點(diǎn)1矩形的判定及性質(zhì)☆☆☆

每年考查2~3道題,分值為6~12分，通常以

☆☆

考點(diǎn)2菱形的判定及性質(zhì)選擇題、填空題、解答題的形式考查。屬于中

考必考內(nèi)容，涉及知識(shí)綜合性強(qiáng)，在解答題里

考點(diǎn)3正方形的判定及性質(zhì)☆☆

出現(xiàn)，一般考查證明和計(jì)算。特別是壓軸試題

滲透本專(zhuān)題知識(shí)。需要在系統(tǒng)掌握基礎(chǔ)知識(shí)前

考點(diǎn)4幾何中的分割與拼接問(wèn)題☆☆☆

提下，加強(qiáng)訓(xùn)練，熟能生巧。

☆☆☆代表必考點(diǎn)，☆☆代表?？键c(diǎn)，☆星表示中頻考點(diǎn)。

夯實(shí)基礎(chǔ)

考點(diǎn)1矩形的判定及性質(zhì)

1．矩形的定義：有一個(gè)角是直角的_______叫做矩形。

2．矩形的性質(zhì)

（1）矩形的四個(gè)角都是______；

（2）矩形的______平分且相等。

3．矩形判定定理

（1）有一個(gè)角是_____的平行四邊形是矩形；

（2）對(duì)角線(xiàn)_____的平行四邊形是矩形；

（3）有______角是直角的四邊形是矩形。

4．矩形的面積：S=ab（a、b分別表示矩形的長(zhǎng)、寬）

考點(diǎn)2菱形的判定及性質(zhì)

1.菱形的定義：有一組_____相等的平行四邊形叫做菱形。

2.菱形的性質(zhì)

（1）菱形的四條邊都______；

（2）菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)互相_____，并且每一條對(duì)角線(xiàn)____一組對(duì)角。

3.菱形的判定定理

（1）一組鄰邊_____的平行四邊形是菱形；

（2）對(duì)角線(xiàn)互相_____的平行四邊形是菱形；

（3）四條邊____的四邊形是菱形。

4．菱形的面積：S=ah=mn/2（菱形底邊長(zhǎng)為a，高為h，兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別為m和n）

考點(diǎn)3正方形的判定及性質(zhì)

1．正方形定義：有一組鄰邊_____并且有一個(gè)角是_____的平行四邊形叫做正方形。

2．正方形的性質(zhì)：

（1）具有______、______、______的一切性質(zhì)；

（2）正方形的四個(gè)角都是_____，四條邊都_____；

（3）正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)____，并且互相________，每一條對(duì)角線(xiàn)____一組對(duì)角；

（4）正方形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有4條對(duì)稱(chēng)軸；

（5）正方形的一條對(duì)角線(xiàn)把正方形分成兩個(gè)全等的_____直角三角形，兩條對(duì)角線(xiàn)把正方形分成四個(gè)

全等的小等腰直角三角形；

（6）正方形的一條對(duì)角線(xiàn)上的一點(diǎn)到另一條對(duì)角線(xiàn)的兩端點(diǎn)的距離____。

3．正方形的判定

判定一個(gè)四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：

一是先證它是_____，再證有一組_____相等。即有一組鄰邊相等的矩形是正方形。

二是先證它是_____，再證有一個(gè)角是____。即有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。

b2

4．正方形的面積：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為b，S=a2

2

考點(diǎn)4幾何中的分割與拼接問(wèn)題

1.用下面的實(shí)例來(lái)說(shuō)明分割與拼接

一個(gè)直角三角形可以分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形。把完全相同的這個(gè)直角三角形通過(guò)

拼接可以得到一個(gè)矩形。利用這一思想方法可以建立恒等式，來(lái)證明勾股定律，可以求解矩形面積等。

2.割補(bǔ)求圖形陰影部分面積：直接求面積較復(fù)雜或無(wú)法計(jì)算時(shí)，可通過(guò)旋轉(zhuǎn)、平移、割補(bǔ)等方法，

對(duì)圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，為利用公式法或和差法創(chuàng)造條件，從而求解．

①全等法（體現(xiàn)拼接思想）

圖形公式

S陰影=S△AOB

S陰影=S扇形BOC

S陰影=S矩形ACDF

S陰影=S正方形PCQE

②等面積法（體現(xiàn)拼接思想）

圖形公式

S陰影=S扇形COD

③平移法（體現(xiàn)拼接思想）

圖形公式

S陰影=S正方形BCFE

S陰影=S矩形ABHG

④旋轉(zhuǎn)法（體現(xiàn)拼接思想）

圖形公式

S陰影=S扇形AOE

S陰影=S扇形BOD

S陰影=S扇形ABE-S扇形MBN

⑤對(duì)稱(chēng)法（體現(xiàn)拼接思想）

圖形公式

S陰影=S△ACD

S陰影=S扇形CDE

S陰影=S△OBC=S正方形ABCD

1

4

S陰影=S扇形ACB-S△ACD

【易錯(cuò)點(diǎn)提示】分割與拼接思想方法是中考試卷里靚麗風(fēng)景線(xiàn)，求解不規(guī)則圖形陰影部分面積問(wèn)題常

常用到分割與拼接。需要作答時(shí)認(rèn)真觀(guān)察圖形特點(diǎn)，把不規(guī)則圖形面積的求法轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的

求法。

考點(diǎn)1矩形的判定及性質(zhì)

【例題1】（2024甘肅威武）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，ABD60，

AB2，則AC的長(zhǎng)為（）

A.6B.5C.4D.3

【變式練1】（2024四川南充一模）如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)F，G，H分別是BE，

BC，CE的中點(diǎn)，AF＝3，則GH的長(zhǎng)為．

．【變式練2】（2024四川自貢一模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)．求

證：DE＝BF．

考點(diǎn)2菱形的判定及性質(zhì)

【例題2】（2024貴州?。┤鐖D，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，連接AE，

4

AF．若sinEAF，AE5，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)_____．

5

【變式練1】（2024河南一模）如圖，菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BD的中點(diǎn)，若EF＝5，則

菱形ABCD的周長(zhǎng)為（）

A．20B．30C．40D．50

變式練2】（2024重慶一模）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC＝12，BD＝16，分別以點(diǎn)A，B，

C，D為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與該菱形的邊相交，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保

留）

π

考點(diǎn)3正方形的判定及性質(zhì)

【例題3】（2024福建省）如圖，正方形ABCD的面積為4，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，

CD，AD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的面積為_(kāi)_____．

【變式練1】（2024深圳一模）下列命題是假命題的是（）

A．對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等的平行四邊形是正方形．B．對(duì)角線(xiàn)互相垂直的矩形是正方形．

C．對(duì)角線(xiàn)相等的菱形是正方形．D．對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分的四邊形是正方形．

【變式練2】（2024天津一模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC和CD上，AE

＝AF，∠EAF＝60°，則CF的長(zhǎng)是（）

A．B．C．﹣1D．

考點(diǎn)4幾何中的分割與拼接問(wèn)題

【例題4】（2024河北?。┣榫硤D1是由正方形紙片去掉一個(gè)以中心O為頂點(diǎn)的等腰直角三角形

后得到的．

該紙片通過(guò)裁剪，可拼接為圖2所示的鉆石型五邊形，數(shù)據(jù)如圖所示．

（說(shuō)明：紙片不折疊，拼接不重疊無(wú)縫隙無(wú)剩余）

操作嘉嘉將圖1所示的紙片通過(guò)裁剪，拼成了鉆石型五邊形．

如圖3，嘉嘉沿虛線(xiàn)EF，GH裁剪，將該紙片剪成①，②，③三塊，再按照?qǐng)D4所示進(jìn)行拼接．根

據(jù)嘉嘉的剪拼過(guò)程，解答問(wèn)題：

（1）直接寫(xiě)出線(xiàn)段EF的長(zhǎng)；

（2）直接寫(xiě)出圖3中所有與線(xiàn)段BE相等的線(xiàn)段，并計(jì)算BE的長(zhǎng)．

探究淇淇說(shuō)：將圖1所示紙片沿直線(xiàn)裁剪，剪成兩塊，就可以拼成鉆石型五邊形．

請(qǐng)你按照淇淇的說(shuō)法設(shè)計(jì)一種方案：在圖5所示紙片的BC邊上找一點(diǎn)P（可以借助刻度尺或圓規(guī)），

畫(huà)出裁剪線(xiàn)（線(xiàn)段PQ）的位置，并直接寫(xiě)出BP的長(zhǎng)．

【變式練1】（2024湖北一模）如圖1，將長(zhǎng)為，寬為的矩形分割成四個(gè)全等的直角三角

形，拼成“趙爽弦圖”（如圖2），得到大正方形2a+3，中間2陰a影部分是一個(gè)小正方形．

ABCD

(1)用關(guān)于的代數(shù)式表示圖2中陰影小正方形的邊長(zhǎng)；

(2)當(dāng)a時(shí)，該陰影小正方形的面積是多少？

【變式a練=22】（2024廣西一模）我國(guó)古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形(古人稱(chēng)直角三角形為勾股形)

分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形,得到一個(gè)恒等式.后人借助這種分割方法所得的圖形證

明了勾股定理,如圖所示的矩形由兩個(gè)這樣的圖形拼成,若a=3,b=4,則該矩形的面積為()

A.20B.24C.?99/4D.?53/2

考點(diǎn)1.矩形的判定及性質(zhì)

1.（2024四川成都市）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論一定正

確的是（）

A.ABADB.ACBDC.ACBDD.

ACBACD

2.（2024黑龍江齊齊哈爾）已知矩形紙片ABCD，AB5，BC4，點(diǎn)P在邊BC上，連接AP，

將ABP沿AP所在的直線(xiàn)折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，把紙片展平，連接BB，CB，當(dāng)VBCB為

直角三角形時(shí)，線(xiàn)段CP的長(zhǎng)為_(kāi)_____．

3.（2024黑龍江綏化）在矩形ABCD中，AB4cm，BC8cm，點(diǎn)E在直線(xiàn)AD上，且DE2cm，

則點(diǎn)E到矩形對(duì)角線(xiàn)所在直線(xiàn)的距離是______cm．

4.（2024江蘇連云港）如圖，將一張矩形紙片ABCD上下對(duì)折，使之完全重合，打開(kāi)后，得到折痕

EF，連接BF．再將矩形紙片折疊，使點(diǎn)B落在BF上的點(diǎn)H處，折痕為AG．若點(diǎn)G恰好為線(xiàn)段BC

最靠近點(diǎn)B的一個(gè)五等分點(diǎn)，AB4，則BC的長(zhǎng)為_(kāi)_________．

5.（2024貴州?。┤鐖D，四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，AD∥BC，ABC90，

有下列條件：

①AB∥CD，②A(yíng)DBC．

（1）請(qǐng)從以上①②中任選1個(gè)作為條件，求證：四邊形ABCD是矩形；

（2）在（1）的條件下，若AB3，AC5，求四邊形ABCD的面積．

6.（2024上海市）如圖所示，在矩形ABCD中，E為邊CD上一點(diǎn)，且AEBD．

（1）求證：AD2DEDC；

1

（2）F為線(xiàn)段AE延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足EFCFBD，求證：CEAD．

2

7.（2024廣東）中國(guó)新能源汽車(chē)為全球應(yīng)對(duì)氣候變化和綠色低碳轉(zhuǎn)型作出了巨大貢獻(xiàn)．為滿(mǎn)足新能

源汽車(chē)的充電需求，某小區(qū)增設(shè)了充電站，如圖是矩形PQMN充電站的平面示意圖，矩形ABCD是

其中一個(gè)停車(chē)位．經(jīng)測(cè)量，ABQ60，AB5.4m，CE1.6m，GHCD，GH是另一個(gè)

車(chē)位的寬，所有車(chē)位的長(zhǎng)寬相同，按圖示并列劃定．

根據(jù)以上信息回答下列問(wèn)題：（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)31.73）

（1）求PQ的長(zhǎng)；

（2）該充電站有20個(gè)停車(chē)位，求PN的長(zhǎng)．

8.（2024湖北省）如圖，矩形ABCD中，E,F分別在A(yíng)D,BC上，將四邊形ABFE沿EF翻折，

使A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P落在CD上，B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為G，PG交BC于H．

（1）求證：△EDP∽△PCH．

（2）若P為CD中點(diǎn)，且AB2,BC3，求GH長(zhǎng)．

（3）連接BG，若P為CD中點(diǎn)，H為BC中點(diǎn)，探究BG與AB大小關(guān)系并說(shuō)明理由．

考點(diǎn)2.菱形的判定及性質(zhì)

1.（2024黑龍江綏化）如圖，四邊形ABCD是菱形，CD5，BD8，AEBC于點(diǎn)E，則AE

的長(zhǎng)是（）

2448

A.B.6C.D.12

55

2.（2024甘肅臨夏）如圖，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形ABOC的頂點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)

為3,4，則頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）

A.4,2B.3,4C.2,4D.4,3

3.（2024福建?。┤鐖D，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD邊上，AEBAFD，求

證：BEDF．

4.（2024廣東）如圖，菱形ABCD的面積為24，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC上的動(dòng)點(diǎn)．若△BEF

的面積為4，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_____．

5.（2024云南?。┤鐖D，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn)，且AB∥CD，

AD∥BC，四邊形EFGH是矩形．

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）若矩形EFGH的周長(zhǎng)為22，四邊形ABCD的面積為10，求AB的長(zhǎng)．

考點(diǎn)3.正方形的判定及性質(zhì)

1.（2024山東煙臺(tái)）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為對(duì)角線(xiàn)BD，AC的三等分點(diǎn)，連

接AE并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)G，連接EF，F(xiàn)G，若AGF，則FAG用含α的代數(shù)式表示為（）

459045

A.B.C.D.

2222

2.（2024廣西）如圖，邊長(zhǎng)為5的正方形ABCD，E，F(xiàn)，G，H分別為各邊中點(diǎn)，連接AG，BH，

CE，DF，交點(diǎn)分別為M，N，P，Q，那么四邊形MNPQ的面積為（）

A.1B.2C.5D.10

3.（2024武漢市）如圖是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”，它是由

四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形MNPQ拼成的一個(gè)大正方形ABCD．直線(xiàn)MP交正方形

ABCD的兩邊于點(diǎn)E，F(xiàn)，記正方形ABCD的面積為S1，正方形MNPQ的面積為S2．若

S1

BEkAE(k1)，則用含k的式子表示的值是___________．

S2

4.（2024甘肅臨夏）如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AD邊上不與端點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是對(duì)

角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，連接BE，AF交于點(diǎn)O，且ABEDAF．

【模型建立】

（1）求證：AF⊥BE；

【模型應(yīng)用】

1

（2）若AB2，AD3，DFBF，求DE的長(zhǎng)；

2

【模型遷移】

1AF

（3）如圖2，若矩形ABCD是正方形，DFBF，求的值．

2AD

5.（2024江蘇揚(yáng)州）如圖，點(diǎn)A、B、M、E、F依次在直線(xiàn)l上，點(diǎn)A、B固定不動(dòng)，且AB2，

分別以AB、EF為邊在直線(xiàn)l同側(cè)作正方形ABCD、正方形EFGH，PMN90，直角邊MP恒

過(guò)點(diǎn)C，直角邊MN恒過(guò)點(diǎn)H．

（1）如圖1，若BE10，EF12，求點(diǎn)M與點(diǎn)B之間的距離；

（2）如圖1，若BE10，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B、E之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，求HE的最大值；

（3）如圖2，若BF22，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B、F之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M隨之運(yùn)動(dòng)，連接CH，點(diǎn)O是CH

的中點(diǎn)，連接HB、MO，則2OMHB的最小值為_(kāi)______．

考點(diǎn)4.幾何中的分割與拼接問(wèn)題

1.（2024四川眉山）如圖，圖1是北京國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，它取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦

圖”，是由四個(gè)全等的直角三角形拼成．若圖1中大正方形的面積為24，小正方形的面積為4，現(xiàn)將

這四個(gè)直角三角形拼成圖2，則圖2中大正方形的面積為（）

A.24B.36C.40D.44

2.（2024江西?。D1所示的七巧板，拼成圖2所示的四邊形ABCD，連接AC，則

tanCAB______．

3.（2024四川資陽(yáng)）如圖，在矩形ABCD中，AB4，AD2．以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑

作弧交AB于點(diǎn)E，再以AB為直徑作半圓，與DE交于點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_______．

考點(diǎn)1.矩形的判定及性質(zhì)

1．在矩形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，若△AOB的面積為2，則矩形ABCD的面積為（）

A．4B．6C．8D．10

2．如圖，在平行四邊形ABCD中，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接EB，EC，DB請(qǐng)你添加一個(gè)

條件，使四邊形DBCE是矩形．

3.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足為N．

（1）求證：△ABN≌△MAD；

（2）若AD＝2，AN＝4，求四邊形BCMN的面積．

4．如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別為OA、OC的中點(diǎn)，

延長(zhǎng)BM至點(diǎn)E，使EM＝BM，連接DE．

（1）求證：△AMB≌△CND；

（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四邊形DEMN的面積．

考點(diǎn)2.菱形的判定及性質(zhì)

1．如圖，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，DC邊上，添加以下條件不能判定△ABE≌△

ADF的是（）

A．BE＝DFB．∠BAE＝∠DAFC．AE＝ADD．∠AEB＝∠AFD

2.如圖，BD是菱形ABCD的一條對(duì)角線(xiàn)，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，若∠ADB＝32°，則∠DCE的

度數(shù)為度．

3.如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)O為對(duì)角線(xiàn)AC與BD的交點(diǎn)，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求

菱形ABCD兩對(duì)邊的距離h.

4.如圖，在菱形ABCD中